Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf

§ 2] СИСТЕМЫ БЕЗ ИЗМЕРЕНИЯ ВНЕШНИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ 221

составляющих вектор F. Вместо координат уи . . ., ут, составляющих вектор у %введем новые переменные

и далее поведение системы будем изучать в пространстве % , . . . , хп, а ее состояние характеризовать вектором х с этими компонентами *). Предположим, что за счет выбора коэффициентов матрицы С движение в скользя­ щем режиме по пересечению плоскостей (Ш ЛИ ) в прост­ ранстве хг, . . ., хп удалось наделить желаемыми свойства­ ми, и попытаемся сделать это многообразие многообразием Скольжения. Для этой цели компоненты вектора и составим :,з виде суммы воздействий по координатам вектора состоя­ ния а; и по координатам вектора у, которые, как и в ска­ лярном случае, характеризуют внешние воздействия:

а вектор ux формируется в соответствии с (9.41), так как такой закон управления необходим в случае переменных параметров системы.

Запишем теперь уравнения движения системы в прост­ ранстве х1, . . ., хп. Предварительно решим систему урав­ нений (10.8) относительно исключенных из вектора со-

222 УПРАВЛЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ [ГЛ.Х

где Н n D y — матрицы размерности т X п и т X I, зави­ сящие от коэффициентов исходной системы. Функцию иу перепишем в виде

где 0 (t) — матрица, элементами которой являются функ­ ции Qtj (t) (i, / = 1, . . т), и об их выборе будет сказано ниже. Для получения уравнений движения относительно х1, . . хп нужно вместо первых т уравнений исходной системы (10.6) записать уравнения x t = хтН (i = 1, .. т), вместо уравнений относительно уг, . . ., ут — уравне­ ния, которые получатся в результате дифференцирова­ ния системы (10.8) в силу исходной системы, и, наконец, вместо компонент вектора у всюду, за исключением послед­ него слагаемого в (10.12), следует подставить их значения из (10.11). Эта процедура оказывается реализуемой для систем вида (10.6), (10.7). При нарушении условия (10.7)J правые части в уравнениях (10.8) оказались бы недиффе-.| ренцируемыми функциями. В итоге получим систему

х = Ах + Вих — В (Wv — 6) у - BBDVF + DF + DF, (10.13)

где элементы матриц А , В, D, D зависят от коэффициентов исходной системы, матрицы 0, а также производных от коэффициентов уравнения (10.8). Будем считать, что все параметры в системе (10.13) являются ограниченными функциями времени *).

Действуя далее в соответствии с процедурой метода иерархии управлений, выберем параметры управляющего воздействия таким образом, чтобы пересечение границ разрыва (Ш ЛИ ) оказалось многообразием скольжения. Вычислим величину 3ft+1, предполагая, что на пересечении

гласно этому ограничению коэффициенты и их-производные в систе­ ме (10.6) должны быть ограниченными функциями. Кроме того, от­ метим, что для ограниченности коэффициентов в решении (10.11) системы (10.8) должно выполняться условие

inf |(det I ^ m+j|| )|ф 0 («,/' = 1, .. т).

§ 2] СИСТЕМЫ БЕЗ ИЗМЕРЕНИЯ ВНЕШНИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ 223

где хк, A k, B h, ихк, D h находятся в соответствии (9.31) и (9.34), Т-” и 0Й— матрицы размерности (тп — к) X т

с элементами Т у и 0;£ (i = к + 1, . . т; / = 1, . . ., т),

■матрица Dh определяется из аналогичного (9.44) соотноше­ ния

В к = Dk — Вк (СкВк CkBk)~r (CkDk CkDk),

|К } к

Величина sfc+1 в силу системы (10.14) имеет вид

где 4+i совпадает с правой частью (9.34) при гк = п — к — 1

Будем в дальнейшем рассматривать векторы у и F как внешние воздействия для системы (10.13), причем для измерения доступны лишь компоненты вектора у. Так же как и при синтезе комбинированных систем, предваритель­ но выполним условия, при которых многообразие s = 0 является многообразием скольжения для свободного дви­ жения (т. е. при у = F == 0). Для систем с переменными параметрами согласно § 5 главы IX такими условиями являются неравенства (9.42), которым должны удовлетво­ рять коэффициенты a i;- и (5£j в функции их.

224 УПРАВЛЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ ЕГЛ.Х

Наложим ограничения на класс допустимых внешних воздействий Д, . . ., /,:

Очевидно, что при таких ограничениях и ограниченных

Сначала следует найти верхние границы для функций

&mj (/ = 1, . . ., т) из (10.17) при к = т — 1, которые определяются только параметрами системы и классом внешних воздействий (10.16) и не зависят от остальных элементов матрицы 0 (i). Далее по этим оценкам из (10.17)

Итак, в выражении для sh+1 функция sf+1, зависящая от неизмеряемых внешних возмущений, при ограничениях

ными функциями времени. Компоненты вектора у, из ко­

торых составлена функция s^+i, мы условились рассматри­ вать как доступные для измерения внешние воздействия. Для этого случая задача синтеза может быть решена на основе описанного в предыдущем параграфе метода по­ строения комбинированных систем. В результате приме-