Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf

§ 4. Селективная инвариантность

Пусть движение системы управления описывается уравнениями

А 21, А г2, j51} В2 — постоянные или переменные матрицы. Компоненты вектора и1 претерпевают разрывы на плос­

костях «i (ж1) = 0 (i = 1,..., тх), а вектора и2 — на плоскостях si (ж2) = 0 (г = 1,..., т 2).

Задача состоит в определении условий, при которых во время движения в скользящем режиме компоненты вектора ж1 не зависят от вектора жг. Компоненты век­ тора ж8 в уравнениях относительно ж1 можно рассмат­ ривать как внешние возмущения, поэтому для решения

Если найдется такая матрица Л*, что выполняется ус­ ловие (11.10), то движение в скользящем режиме по пе­

ПРИМЕНЕНИЕ СКОЛЬЗЯЩИХ РЕЖИМОВ

ВЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ

§1. Постановка задачи и принцип построения системы оптимизации

Вэтой главе рассматривается задача статической оптимизации, состоящая в нахождении такого сочета­ ния входных параметров оптимизируемого объекта, при котором скалярный выход объекта достигает экстре­ мального (например, минимального) значения.

232 ПРИМЕНЕНИЕ СКОЛЬЗЯЩИХ РЕЖИМОВ [ГЛ. XII

Применительно к одномерному случаю, когда входной параметр является скалярным, идея развиваемого здесь подхода заключается в следующем. Выходная величина оптимизируемого объекта сравнивается с некоторым подоб--, ранным специальным образом задающим воздействием, которое является монотонно убывающей функцией време­ ни. Входное же воздействие объекта формируется на основе сигнала рассогласования между его выходом и задающим воздействием и должно свести это рассогласование к нулю. В результате выходная величина объекта, отслеживая монотонно убывающее задающее воздействие, достигает своего минимума. Специфика задачи, связанной с построе­ нием такой своеобразной следящей системы, заключается в том, что локальный коэффициент усиления объекта управ­ ления неизвестен и изменяется как по величине, так и по знаку. С физической точки зрения, управляющее устройст­ во в такой системе без использования какой-либо инфор­ мации об этом коэффициенте должно обеспечить такое направление изменения входной величины объекта, чтобы его входная величина всегда убывала, повторяя задающее , воздействие независимо от того, на какой ветви экстре­ мальной характеристики находится объект в данный мо­ мент. Сформулированная таким образом задача слежения без измерения локального коэффициента усиления в каж­ дой точке экстремальной характеристики будет решаться за счет преднамеренного введения в систему движения в скользящем режиме. Заметим, что получение информа­ ции о локальном коэффициенте усиления объекта, по сути дела, означает измерение градиента экстремальной харак­ теристики (или каких-либо его проекций), которое обычно предусматривается в экстремальных системах. Сущест­ венно, что само измерение чаще всего связано с введением в систему специальных устройств для организации проб­ ных движений на входе объекта и анализа их реакции на выходе [70, 76].

Основной целью настоящей главы является изложение сущности самого метода, и поэтому наиболее подробно рассматривается задача одномерной оптимизации. Затем поясняется, каким образом описываемый метод может быть использован при решении многомерных задач оптимиза­ ции, и приводятся его модификации, позволяющие осущест­ вить оптимизацию при наличии ограничений типа равенств

и неравенств на входные параметры объекта. Обсуждаются возможности использования предложенных алгоритмов для решения задач оптимизации нестационарных объектов, '-а_также возможности этих алгоритмов для организации различных процедур изменения направления поиска в

пространстве входных параметров.

§ 2. Одномерная оптимизация с постоянной скоростью поиска

Рассмотрим простейшую задачу оптимизации статиче­ ского объекта, описываемого уравнением

/ (х) дифференцируема, достигает минимума при некото­

ром неизвестном значении входной величины х0 и ^ =j=О

при х =j= х0. Задача состоит в организации такого процесса поиска, который позволяет минимизировать выходную

стема, состоит из управляющего устройства (УУ на рис. 15), формирующего функцию уп­

равления и, которая подается на интегрирующее звено, в результате чего и осуществляется процесс поиска. В со­ ответствии с намеченным в § 1 планом решения задачи оптимизации нам предстоит построить систему, в которой выходная величина у отслеживает какую-либо монотонно убывающую функцию и тем самым приближается к экстре­

где g (t) и является монотонно убывающей функцией, на­ зываемой в дальнейшем задающим воздействием. В этом

параграфе будет рассмотрена система оптимизации, в ко­ торой задающее воздействие убывает с постоянной скоро­ стью.

Решение сформулированной таким образом задачу будем искать в классе релейных систем, в которых управ-' ление и может принимать лишь одно из двух возможных значений. Структурная схема системы изображена на рис. 16, а движение в ней описывается уравнениями

малая положительная величина. О назначении дополни­ тельного воздействия v будет сказано ниже.

Обычно в релейных системах функция управления име­ ет вид и — A sign е. Однако при использовании такого управления в нашей следящей системе на одной из ветвей экстремальной характеристики оно приведет к отрицатель­ ной обратной связи и соответственно на другой — к поло­ жительной. Следовательно, в такой системе (разумеется, если не производится измерение величины градиента) невозможно обеспечить слежение оптимизируемой величи­ ны у за задающим воздействием g (t). Покажем, что эта задача может быть решена с помощью управления (12.3.)^ являющегося релейной функцией двух аргументов

(рис. 17).

Пусть начальные условия в системе таковы, что

и предположим пока, что функция v равна нулю. Рассмот­ рим поведение системы при таких начальных условиях с помощью уравнения движения относительно координаты

^ошибки, которое согласно (12.2), (12.3) имеет вид

лишь в некоторой окрестности экстремума. Тогда в силу того, что либо у = g, либо у — g + б, и g является моно­ тонно убывающей функцией (g = — р < 0), выходная вели­ чина объекта за конечное время достигнет этой окрестно­ сти. Выберем теперь воздействие v, о котором выше шла речь, таким образом, чтобы это воздействие, с одной сто­ роны, обеспечивало создание в системе начальных ус­ ловий типа (12.4) и, с другой стороны, позволило застабилйзировать движение системы в окрестности экстрему­ ма. Необходимость решения этих задач обусловлена тем, что приведенное выше рассуждение справедливо лишь для начальных условий типа (12.4), а после достижения окрестности экстремума дальнейшее убывание g (t) лише­ но смысла. Для этой цели функцию v следует выбрать до­ статочно большой по модулю величиной, положительной при < 0 , s2< 0, отрицательной при )> 0, s2 0 и равной нулю при %52 < 0. Тогда за счет «быстрого» изме­ нения задающего воздействия g в системе возникнут на­

чальные условия типа (12.4). Так как интегрирующее зве­ но, формирующее задающее воздействие g (<), является элементом управляющего устройства, то эту величину можно менять сколь угодно быстро, и в дальнейшем будем» считать, что начальные условия (12.4) создаются в системе мгновенно. В соответствии с приведенными ранее рас­ суждениями после этого в системе возникнет скользящий режим, обеспечивающий при v = 0 движение к экстремуму. Во время этого движения одна из величин sx или s2 знако­ постоянная, а другая — знакопеременная величина, ме­ няющаяся с высокой частотой и малой амплитудой *). При описанном законе изменения функции v и совпадении знаков % и s2 во время скользящего режима величина v будет отлична от нуля, функция g в эти моменты времени не будет равна — р, и может оказаться, что задающее воздействие g (t) уже не будет монотонно убывающей функ­ цией. Это явление можно исключить, если переключаю­ щие устройства, реализующие функцию v, обладают сим­ метричными гистерезисными петлями, ширина которых превосходит удвоенную амплитуду колебаний Sj или s2 в скользящем режиме. В таком случае функция v имеет вид

где 2Д — ширина гистерезисной петли (рис. 18). На ин­ тервалах |Si |< Д и I s21<С Д величина v сохраняет то зна­ чение (— М, 0 или М), которое она имела до попадания изображающей точки в эти интервалы**). При таком спо­

ранее, регулируемая величина за счет скользящего режи­ ма попадает в некоторую область Е, содержащую

*) Напомним, что в любой реальной системе из-за наличия неидеальностей движение в скользящем режиме происходит не точно по поверхности разрыва, а в некоторой ее окрестности.

**) Состояние рассматриваемой системы характеризуется по­ ложением изображающей точки на оси е.