Файл: Уткин, В. И. Скользящие режимы и их применения в системах с переменной структурой.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 139

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

226

УПРАВЛЕНИЕ СВОБОДНЫМ ДВИЖЕНИЕМ ОБЪЕКТОВ

[Гл. X

если

inf |det ||d^J| =j= 0

и

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/з (t)lfj (0 1< B0

(B0— const;

/ =

1

, . . 1), (10.20)

то неравенство (10.16) справедливо.

Действительно,

обо­

значим z = DVF и оценим дробь

 

 

 

 

 

 

sup

2 (c£-+id!c)fj +

2

h

)

 

 

 

 

 

3=1________________ l = i _____________

 

 

 

 

 

 

I

2

| 2 dqjf) I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9=1

3=1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1/j

I cft+i(I 4 i

+

°UAi

i)

 

 

 

< sup

----------- j--------------------=

 

 

 

 

'

 

9=1

2

K

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

%

I*;

I

 

(10.21)

 

 

 

 

= sup Щ ----------<

Mk.

 

 

 

 

'

2

K

i

 

 

 

Здесь

 

 

 

9=1

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I dii I

' (I c!t+A |+ B01ck+idk|),

 

 

 

Tkj — 2

 

 

 

 

i=l

 

 

 

 

 

 

 

 

eta — элементы

обратной матрицы (Dv)~x.

Так

как все

коэффициенты

y hj

являются ограниченными функциями

времени, то такие положительные числа М к, при которых неравенства (10.21) справедливы, всегда найдутся. Таким образом, для входных воздействий из класса (10.20) огра­ ничение (10.16) выполняется.

Ограничения (10.20) более сильные, чем (10.16). Они исключают, например, знакопеременные функции, тогда как неравенство (10.16), вообще говоря, выполняется при всех fj, не равных нулю одновременно. Например, для

т = I ~ 2 и Д = cos соt, /2 = sin соt неравенства (10.20)

нарушаются, а (10.16) может и не нарушаться*).

*) Неравенства (10.20) могут нарушаться не только для зна­ копеременных функций. Например, для / = 2 -j- sin coZ2 при боль­ ших t могут нарушаться как (10.20), так и (10.16).

* I ]

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

227

При

I ■< т все рассуждения останутся в силе,

если

в оценке (10.21) из всех строк матрицы Dv выбрать I линей­ но независимых и сохранить в знаменателе соответствую­ щие им слагаемые, а остальные отбросить. Тогда, несмот- 'рн на увеличение левой части в неравенствах (10.21), поло­ жительные числа M h все равно найдутся, и следователь­ но, ограничения (10.16) останутся справедливыми и для этого случая.

Г Л А В А XI

ИНВАРИАНТНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

§ 1. Постановка задачи и условия инвариантности скользящих движений

Во всех рассмотренных ранее задачах управления для получения желаемых уравнений скольжения следова­ ло соответствующим образом выбрать коэффициенты урав­ нений поверхностей разрыва. В случае, если объект управ­ ления является нестационарным, с практической точки врения важно выделить класс систем, в которых скользя­ щие движения не зависят от внешних возмущений и от из­ менения параметров объекта. В связи с этим уместно

отметить, что на первом

этапе развития теории систем

с переменной структурой

[34] основные результаты были

получены применительно к системам со скалярным управ­ лением, обладающим свойством инвариантности скользя­ щих режимов за счет формирования функции управления из координаты ошибки и ее производных. Такого рода системы описываются уравнениями вида (II. VII), а воз­ никающие в них скользящие режимы согласно (II.VIII) зависят лишь от коэффициентов уравнения плоскости разрыва.

Рассмотрим теперь условия инвариатности скользящих

режимов для динамических систем

общего вида

 

х = / (х, t) + В (х, t) и +

h (х, t).

(11.1)

Система (11.1) отличается от системы (2.2) наличием до­ полнительного /г-мерного вектора h (х, t), а компоненты m-мерного вектора и по-прежнему претерпевают разрывы

8*

228

ИНВАРИАНТНЫЕ

СИСТЕМЫ

УПРАВЛЕНИЯ

[ГЛ. XI

на поверхностях s, (ж)

= 0 (i =

1, . . т) в соответствии

с (2.3).

 

 

инвари­

 

Покажем, что движение в скользящем режиме

антно по отношению к вектор-функции h (х , t), если в любой момент времени этот вектор принадлежит пространству, натянутому на векторы-столбцы матрицы В (х, t). Выполне­ ние этого условия означает, что существует т-мерный вектор X (ж, t), удовлетворяющий соотношению

h (х, t) = В (х , t) X (х, t).

(11-2)

Действуя в соответствии с процедурой метода эквивалент­ ного управления, запишем для системы (11.1) уравнение скользящего движения, возникающего на пересечении всех поверхностей разрыва

х = [Е — В (G 5)'1 G] / (х, t) — [Е — В (GB)'1G] h (х, t), (11.3)

где G — матрица размерности т X п, строками которой являются градиенты функций st (х). В результате непос­ редственной подстановки вместо h (х, t) вектора В (ж, t) X хХ (х, t) в уравнение (11.3) убеждаемся, что условие (11.2) действительно является условием инвариатности сколь­ зящих движений по отношению к вектору h (х, t).

Далее мы воспользуемся этим общим условием для получения различных видов инвариатности в линейных нестационарных системах (III.I). Порознь будут рассмот­ рены условия независимости скользящих движений от внешних возмущений, изменения параметров объекта, а также независимости какой-либо совокупности координат от других координат системы.

§ 2. Инвариантность к внешним возмущениям

Пусть система управления вынужденным движением линейного объекта описывается уравнением

х = A (t) х + D (t) F (t) + В (t) и.

(11.4)

Параметры уравнения (11.4) определяются в соответствии с (III.I) Выясним, при каких условиях движение в сколь­ зящем режиме по пересечению п л о ск о ст е й = 0 (г = 1, ...

. . ., т) не будет зависеть от произвольных внешних воз­ мущений Д, . . Д, составляющих вектор F (t). Рассмат-

§ 2] ИНВАРИАНТНОСТЬ К ВНЕШНИМ ВОЗМУЩЕНИЯМ

229

риваемая здесь задача об инвариантности, которая пред­ полагает независимость уравнений движения от возмуще­ ний, отличается от обычно изучаемой в теории инвариант- ■’-дости постановки, связанной с достижением независимости от возмущений какой-либо координаты [73, 91, 92]. Возму­ щения /i, ■ •., /; — произвольные независимые функции времени. Поэтому условия инвариантности следует найти по отношению к каждому из них в отдельности. Согласно (11.2) независимость движения в скользящем режиме от Д, . . ., /, будет иметь место, если каждой из столбцов d> (t) матрицы D (t) можно разложить по направлениям векторов-столбцов матрицы В (t). Другими словами, ин­ вариантность по отношению к возмущениям в системе (11.4) может быть достигнута, если существует такая матри­

ца Ad (t), для которой выполняется соотношение

D(t) = B (t)A D(t).

(11.5)

В частности, для системы (II.VII) со скалярным управле­ нием, в которой уравнения скольжения (II.VIII) не зави­ сят от скалярного возмущения / (t), полученное условие инвариантности выполняется, так как в векторах Ъ и d все элементы, кроме последнего, равны нулю, и поэтому эти векторы коллинеарны.

Существенно, что в системах рассмотренного типа движение не зависит от возмущений, вообще говоря, лишь с момента возникновения скользящего режима на пересе­ чении поверхностей разрыва. Задачи создания скользящих движений могут быть решены с помощью описанных в разделах II и III методов управления вынужденным дви­ жением. В случае, если внешние воздействия не удается измерить, структура дифференциальных уравнений долж­ на удовлетворять определенным требованиям, в частности, для систем со скалярным управлением и скалярным воз­ мущением одно из уравнений системы не должно зависеть от функции управления (см. главу VIII). В тех случаях, когда эти требования не выполняются, желаемую структу­ ру уравнений движения можно получить искусственно за счет введения в систему линейных фильтров с разрывны­ ми параметрами. Метод синтеза, основанный на этой идее, применительно к системам с инвариантными скользящими движениями, описан в монографии [45].

230

ИНВАРИАНТНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

[ГЛ. Xi

§ 3. Инвариантность к изменяющимся параметрам объекта

Рассмотрим систему управления свободным движением объекта с переменными параметрами

х = А (г) х + АЛ (£) х + В (t) к,

(11.6)

где АА (г) — матрица переменных параметров, влияние которых на процесс управления желательно устранить. И в этом случае возможность разложения векторовстолбцов матрицы АА (t) по направлениям векторовстолбцов матрицы В (t) свидетельствует о возможности достижения инвариантности по отношению к элементам АЛ (£). Существование матрицы Аа (t), для которой

АЛ (£) — В (£) Да (0>

(11.7)

является достаточным условием независимости сколь­ зящих движений от АЛ (t) в системе (11.6) по пересе­ чению плоскостей разрыва s{ = 0 (г = 1,..., т). Условия (11.7) можно ослабить, если учесть, что скользящие движения со свойством инвариантности возникают на многообразии (III.II), и поэтому вектор АЛ (t) а;для то­ чек этого многообразия запишется в виде

АЛ {t)x = [АЛ' (J) — АЛ" (i) (С")'1 С') хт,

(11.8)

где хт, С и С" определяются согласно (III.IV),

АЛ (t)x = 1 АЛ' (t) j АЛ" (<)||.

П—771 т

В соответствии с (11.8) инвариантность будет иметь

место, если существует такая матрица Аа (2), для ко­ торой выполняется соотношение

АЛ' (0 — АЛ" (t) (<O'Г 1 С = В (t) Аа (г).

Для системы (II.VII), в которой движение в сколь-; зящем режиме (II.VIII) не зависит от коэффициентов аг,..., ап, все строки матрицы АЛ (£), кроме последней, равны нулю. Все элементы, кроме последнего, равны нулю и в векторе Ъ этой системы. Это означает, что все столбцы матрицы АЛ (i) и столбец Ъ коллинеарны и, следовательно, условия инвариантности скользящих дви­ жений (11.7) для системы (II.VII) выполняются,

Смотрите также файлы