Файл: Судовые системы автоматического контроля (системный подход к проектированию)..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 131

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Из = 0 ,1 5 ; р4 =

0,35; р5 = 0,3; р6 = 0,1;

р7 = 0,05; р8= 0,02.

По значениям

весовых коэффициентов

построена гистограмма

(рис. 1.4), аппроксимируемая нормальным распределением с пара­ метрами М [Гер] = 600 ч, о [Гср] = 130 ч. Проверка этой гипо­ тезы может быть осуществлена известными методами математической статистики, например, с помощью критерия %2.

Как уже отмечалось, одной из важных задач информационного

обеспечения является прогнозирование значения того или иного

показателя контролируемой системы, входящей в состав технических

средств судна, или САК на ранних этапах проектирования. В пре­

дыдущем параграфе рассматривались аналитические методы прогно­ зирования. Однако эти методы

дают

достоверные

результаты

р

 

/

 

 

при большом количестве систем-

’

 

 

 

прототипов. Если это требова­

 

 

 

 

ние не выполняется, для прогно­

0,3

М *

/ \М 5

 

зирования могут быть исполь­

 

 

1Л'

 

 

зованы

только

различные

ме­

 

\

 

 

 

тоды

экспертной оценки.

 

0,2

L

__

 

 

/

\

 

В

 

общем случае

прогнози­

 

 

руемое

значение

показателя

0,1

М з /

 

\

Мб

представляет

собой

случайную

 

/

 

\

Я17

величину х,

имеющую некото­

 

 

рую

функцию

распределения

 

М 2

 

 

Ms

 

200 т

600

800 t 1000

f {х).

Каждый

показатель

как

 

 

 

 

 

 

случайная величина имеет свое

 

Рис. 1.4.

 

 

специфическое

распределение.

 

 

 

 

 

Задача

состоит

в построении такого

обобщенного распределения,

которое отражало бы наиболее

общие закономерности и могло слу­

жить

исходной

типовой моделью распределения значений показате­

лей системы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При выборе формы распределения необходимо учитывать следу­

ющие

 

соображения,

вытекающие из

особенностей

судовых

систем:

1) значения показателей ограничены сверху и снизу и, если рассматривать их как случайные величины, имеют ограниченную по абсциссе непрерывную, одномодальную функцию распределения; 2) значение показателя зависит от большого числа случайных факторов, каждый из которых в отдельности оказывает несуще­

ственное влияние. Вместе с тем, имеются факторы, число которых

невелико, а влияние существенно. Именно эти факторы приводят

к различию значений одноименных показателей в разных вариантах реализации системы. Влияние этих факторов вызывает асимметрию распределения.

Таким образом, типовое распределение значений показателей

судовых систем должно быть как правило непрерывным, одномо­

дальным, асимметричным и ограниченным слева и справа по абсциссе.

Среди практически применяемых распределений такого класса наи­

большей гибкостью обладает

бета-распределение [34, 57], которое

и целесообразно принять в

качестве типового.

31

Плотность бета-распрёделёния выражается следующим образом:

 

(1.4.1)

f (х) = 0

при х < а, х > Ь,

где В (р, q) — бета-функция; a,

b, р, q — параметры распределения,

причем а и b определяют левую и правую границы распределения

соответственно.

На рис. 1.5 представлены кривые бета-распределения при раз­ личных р и q. Из рисунка видно, что, меняя эти параметры, можно

получить практически все одномодальные распределения (при р ^ 1

и <7 1).

Выражения для математического ожидания М [х], моды Мо [х\

и дисперсии D [х] соответственно

имеют вид

 

 

 

М [х] = а -ф ф — a) j ^

,

 

 

Мо [х] — а -\- (Ь — а) p + q —2

’

(1.4.2)

D

[х] ~ (b — а)2

PQ

 

 

 

 

(Р +

<7)2(Р +

Ч +

О '

 

Эти выражения трудно использовать для решения рассматривае­

мой задачи, так как параметры р и q бета-распределения не имеют

ясной физической интерпретации. Поэтому проделаем некоторые преобразования.

Рассматривая выражения (1.4.2) как систему уравнений и исклю­

чая р и q, получаем

М 3

[х] — (a -f Ь +

Мо [х]) М г [х] + (ab +

а Мо [х]

+

 

+

b Mo [х ] + D [х ] М [х ] + (aD

[х ] +

 

 

+ bD

\х] — ab Мо [х] — 3D [х] Мо [х] = 0 .

(1.4.3)

Для

практических

расчетов целесообразно

аппроксимировать

это выражение

более

простым

 

 

 

 

М [х] ~ - - ± ^ М° [2Х| + b = О,

 

(1.4.4)

Из математической статистики [34, 57] известно, что для одно­ модальных распределений можно полагать

D

[*] = &(& — а)2.

(1.4.5)

Учитывая это, получим

 

 

(p +

q)4p + q + l)

= k = const.

(1.4.6)

 

 

32

Тогда

1

2.

(1.4.7)

6k

 

 

Для определения величины k можно использовать то известное из математической статистики обстоятельство [19], что по крайней

мере 89% площади под кривой плотности любого распределения

лежит внутри трех стандартных отклонений от среднего. Основы­

ваясь на этом, можно считать k = 1/36 [19]. Тогда

М м = Ж М о Ш ^ )

(1.4.8)

D[x] = ~ { b — a f.

Следовательно, чтобы найти значения математического ожидания

и дисперсии оцениваемого показателя, необходимо знать значения

моды и граничных точек распределения. Информацию об этих вели­ чинах можно получить, опросив экспертов. Таким обра­ зом, если эксперты могут оце­

нить

граничные

значения

оцениваемого показателя

(а

и Ь)

и

его

наиболее

ве­

роятное значение (моду Мо),

то,

используя

выражения

(1.4.8), можно вычислить ма­

тематическое ожидание и ди­

сперсию

значения

показа­

теля

х.

 

 

 

 

Использование

выраже­

ний (1.4.8) требует от экспер­

тов оценки значений трех

то­

чек

распределения.

Обычно

для

вновь разрабатываемых

систем

оценка

моды некоторых показателей вызывает большие

затруднения. Поэтому желательно построить такую модель рас­ пределения оцениваемого показателя, которая была бы приме­

нима при наличии информации только о его граничных значениях.

Используя по изложенным выше причинам класс бета-распределе­ ний, в качестве искомого можно принять частный вид этого рас­ пределения

/ (х) = С (х — а) (b — х)2.

(1.4.9)

Константа С в этом выражении определяется из условия нор­ мировки

ь

| f(x)dx— 1.

а3

3Зазка797

3 3

 

Тогда плотность распределения величины х в границах а и Ь

f(x) - {Ь^ ауг(х - а)(ь ~ * ) 2-

(1.4.10)

Для такого распределения математическое ожидание, мода и

дисперсия соответственно

равны

 

, .

г ,

За + 2Ь

 

м

[X] =

— ± ----,

 

Мо [лг] =

--- g— ,

(1.4.11)

 

D [х] = 0,04 (Ь — а)2.

Для использования этих выражений от экспертов требуется

информация только о граничных значениях а и b показателя, что значительно упрощает процедуру опроса.

Рассмотрим пример использования последнего метода. В процессе проектирования судовой САК были предложены два варианта, отличающиеся структурой, методом отработки информации, номен­

клатурой блоков и загрузкой оператора.

На основе анализа особенностей контролируемых систем и тре­

бований к САК

были выбраны следующие основные показатели,

по совокупности

которых можно сравнивать возможные варианты:

1)надежность САК, оцениваемая как вероятность безотказной

работы за заданное время (х4);

2)универсальность, оцениваемая как процент основных узлов

САК, пригодных без переделок для проектируемых судов (х2);

3)достоверность информации, оцениваемая вероятностью пра­

вильного обнаружения неисправности (х3);

4)время обнаружения места неисправности в контролируемых системах (х4).

Остальные требования к системе, в том числе стоимость, были

признаны менее существенными и учитывались как ограничения.

В техническом задании были оговорены следующие значения

перечисленных показателей: хг ^ 0,95; х 2 ^ 0,9; х3 ^ 0,8; х4 ^ «с Ю с.

Была сформирована группа экспертов-специалистов по проекти­ рованию и эксплуатации систем в составе четырех человек, причем число сторонников обоих методов построения системы было одина­

ково. По материалам предварительных разработок САК, с учетом сведений о контролируемых системах, эксперты дали оценки

показателей, представленные в табл. 1.1.

Для определения значения математического ожидания i-ro по­ казателя (i = 1, 2, 3, 4) по оценкам /'-го эксперта (/ = 1, 2, 3, 4)

использовалось выражение

М[х] = — iimax + 3Xi/mln .

34

Смотрите также файлы