Файл: Гусев, К. Г. Поляризационная модуляция.pdf

чать ее в круглые скобки в отличие от простого умноже­ ния i на у.

Основное определение: произведение двух комплекс­

Приняв такое определение произведения комплекс­ ных чисел, представленных на двойной комплексной плоскости, мы можем вывести как следствие правила перемножения мнимых единиц г, / и (ij). Для этого

каждый из сомножителей с разными мнимыми едини­

цами в выражениях для чисел <§4, <§2 представим через

тригонометрические функции по формулам Эйлера, про­ изведем почленное перемножение этих чисел по прави­ лам обычной алгебры и сгруппируем члены с одинако­ выми комбинациями мнимых единиц. При этом совме­ щенные мнимые единицы, стоящие в показателях степени перед <р, и ф2, необходимо обязательно взять в круглые скобки. Затем проделаем аналогичную опе­

рацию с комплексным числом <gi2 и приравняем полу­

ченные числа. Чтобы равенство соблюдалось, необхо­ димо принять следующие правила перемножения мни­ мых единиц:

= £ , [ c o s c o s 0, -f- i (ij) sin?,sin 6j -f-i cos?, sin0, +

- f 07) sin?, cos 0,].

Для числа (?2 развернутая форма записи такая же,

нужно только 1 заменить на 2. Почленное перемножение выражений в квадратных скобках приводит к равенству

§ г = Е,Ег {[cos ?, cos ?2+ (ij) (ij) sin ?, sin ?2] X

+ i (ij) sin (?, - f 9,) sin (0, + 02)].

Очевидно, что § 2 = ( ? 12, если равны действительные

коэффициенты при одинаковых комбинациях мнимых единиц. Отсюда и следует выражение (1.3.8). Учитывая это правило перемножения мнимых единиц, можно по­ казать справедливость основного определения для про­ изведения двух и более комплексных чисел вида (1.3.7)

II ПрН ф1=/=Ч>2 =И=0 .

Из (1.3.8) следует и еще один важный вывод: совме­ щенную мнимую единицу (ij) можно раскрыть, но при

этом необходимо изменить на противоположный знак у остальных сомножителей с совмещенной мнимой еди­ ницей.

Если остается только один сомножитель с совмещен­ ной мнимой единицей, то его можно раскрывать без всяких последствий и полученные самостоятельные мни­

(ij)e- il9 = ijeil'r= eil,fel' ,azM2

II т. д.

Справедливо и обратное: свертывание произведения двух мнимых единиц i j в совмещенную мнимую еди­ ницу (ij) сопровождается изменением на противополож­

ный знака перед совмещенной мнимой единицей у осталь­ ных сомножителей.

Введенное выше правило перемножения комплекс­ ных чисел с двумя мнимыми единицами коммутативно.

20

Можно также ввести правило деления таких комплекс­ ных чисел на комплексное число, не равное нулю, по обычным правилам для комплексных чисел, т. е.

<м (ч>1 • 9i- Ф.)

Ф. - Ф.)-

&2(¥2' 02' Фг)

Эта алгебраическая операция совместно с операция­ ми суммирования и вычитания превращает пространство комплексных чисел типа (1.3.7) в поле.

Дальнейшее исследование этого вопроса увело бы нас -в сторону от основной темы, поэтому рассмотрение комплексных чисел с двумя мнимыми единицами мы закончим определением суммы таких чисел, полагая, что вычитание, как операция, обратная суммированию, не требует особого определения.

Сумма двух (и более) комплексных чисел <?,(?,, 0,, ?,) и <ёа(?2, 62. ф2) равна комплексному числу, которое полу­

чается при суммировании действительных коэффициен­ тов при одинаковых мнимых единицах в развернутой форме записи этих комплексных чисел.

Запись поляризационной диаграммы эллиптическиполяризованной волны в виде (1.3.6), т. е. числом на двойной комплексной плоскости, позволяет сравнительно Просто получить многие интересные формы представле­ ния этой волны в различных базисах разложения. Неко­ торые из этих форм представления нам понадобятся в дальнейшем. Они позволяют лучше понять структуру эллиптически-поляризованной волны, наглядно демонст­ рируют многообразие форм ее представления. Наконец, приведенные ниже преобразования помогут лучше осво­ иться с правилами оперирования над комплексными чис­ лами вида (1.3.5), (1.3.6).

ны в виде суммы двух линейных векторов. Если в выра­ жении (1.3.6) раскрыть показательные формы по триго­ нометрическим функциям, то после несложных преобра­ зований мы получим хорошо известное разложение эллиптически-поляризованной волны по координатным

21

осям ох и оу:

Q- m £ie _ ycos <pcos q_j_у s;n cp sin Qy _j_

(1.4.1)

-j-1 (cos 9 sin 0— j sin 9 cos 6).

Поскольку мнимой оси i на комплексной плоскости соответствует ось оу, то в выражении (1.4.1) действи­

тельная по i часть есть составляющая Ех, а мнимая

по [ часть — Еу.

Таким образом, проекции эллиптически-поляризован- ной волны на координатные оси определяются как дей­ ствительная и мнимая по i части комплексного числа

вида (1.3.5):

Ёх= Re* { § (t)}; £ у= 1 т г- {£ (0},

где символы Re,, Inij означают вещественную и мнимую части по комплексной плоскости ( 1, /).

Действительные выражения компонент волны, совпа­ дающих с осями ох и оу, найдем из условия

Ex= R<Ui Еу = 1тгRe/{(? (/)}.

Представим теперь поляризационную диаграмму эллиптически-поляризованной волны нулевой фазы в виде

жителей с совмещенной мнимой единицей, кроме одного, и, следовательно, раскрытие (ij)' или свертывание ij не

сопровождается никакими изменениями этого выра­ жения.

Разлагая далее coscp и sin ср по формулам Эйлера и группируя соответствующие члены, получаем две фор­

22

Очевидно, эти выражения равнозначны, так как они, во* первых, описывают одну и ту же эллиптически-поляри-

зованную волну (при j умножении их на eJ (<fi_fe)) и, во-

вторых, эти выражения переходят одно в другое путем простой замены i на j и наоборот в круглых скобках,

что согласно (1.4.2) не приводит к изменению комплекс­ ного числа <§. Очевидно также, что равнозначны все выражения (1.4.1) —(1.4.4).

Физическая же интерпретация этих выражений раз­ лична. А именно, эллиптически-поляризованная волна

венной и временной квадратуре и ориентированных вдоль осей поляризационного эллипса (рис. 1.4,а);

—двух одинаковых по амплитуде векторов с фазами

+Ф и —ф, развернутых на —я/4 и я/4 относительно

главной полуоси эллипса поляризации (т. е. находя­ щихся в пространственной квадратуре) (рис. 1.4,6);

—двух одинаковых по амплитуде векторов, находя­

щихся во временной квадратуре и развернутых в про­ странстве на угол —ф и ф относительно главной полуоси поляризационного эллипса (рис. 1.4,в).

23