Файл: Альбедо нейтронов..pdf

Функции

5(0, л-), ?(р.х), согласно их определению,

могут

быть

найдены

решением

системы уравнений переноса

(2.54)

с эле­

ментарным

краевым

условием

Ф"(0,

и, Ф)| Ц > 0

= 6 W u 6 ( Q - f i 0 )

V

°'\ dtp' j ' du' X

/<„=і ù

-

I

X S o " ^ ( u ,

Ф; U ' , Ф ' ) Ф Р 0 ( и ' ,

Ф');

Ф"(-ѵ, И. Ф ) | м < (

=- 0.

С другой

стороны,

можно

получить

для

этих

функций

специ­

раясь

на принципы инвариантности

В. А. А м б а р ц у м я н а

[11, 19],

либо

подставляя

соотношения

(2.57)

в

исходную

систему

(2.54)

и исключая

Ф + , Ф~ [11, 20]. Они имеют вид

дх

~ Кі [5(о,.Ï)1;

(2.59)

дТ (0,.ï)

=

К2 [5 (0,.ѵ)

^(0,.ѵ)],

дх

где Кі и Кг — квадратичные

интегральные

операторы.

Выводу этого типа уравнений в различных задачах, их ка­

чественному исследованию

и

решению,

в

основном в

плоских

мана и

К а л а б а

(см. [21] и указанную

там

литературу) .

Отметим

следующие свойства

функций

5( о, л-> и 7\о, д-).

1- 5(0, ж)

и

Г(о, X) — неотрицательные

функции.

Функция

5( о.х)(р,

ß ;

Po, йо)

монотонно

возрастает

при

увеличении .ѵ,

причем

справедлива

оценка:

J'

5( о,А -)(р0 ,

Й; Po,

Q 0 ) d Q 0 < 1, р 0 = 1, 2

(2.60)

ц„<0

вытекающая

из принципа

максимума

для уравнения

переноса

[22, 23]. З н а к

равенства может

быть

лишь

в задачах о

полубес­

конечных чисто рассеивающих слоях.

2. В односкоростных з а д а ч а х об однородных слоях

исследо­

вано поведение

функций

5( 0 , Х ) и

7"(о,.ѵ> при -ѵ-^со.

П о к а з а н о

[23—25],

что имеют

место

формулы

7 > , , ,

(Q,

Q0 ) =

Г ( й 0 , X) Ч'0

(0,

-

ц);

I

5(o..v)

(Q, Qo) =

5(о.«,) (Q, fi0) -

Г (Q0 , х) Ч>0

(0, р), *

где

2h +

2Xl

при

х =

1;

Г ( 0 „ , х) =

П

(0,)ew *

при

х <

1;

sh V (2h

2-М

г / о

и - f r ( ß ( " ' v )

п р и

x

=

^;

( " 0 , Л ) ~ І Г ( О 0 , . ѵ ) е - ( а + 2 " « )

п р и « < 1 ;

2 ,

Функция 1Р'о(л:, i-i) есть решение

проблемы

Милна, т. е. одно­

родной задачи

ц I ^ L +

2Ч' 0 (.v,

и) =

j S, (Йй') %

(.v, p/) dQ',

W0 (О, u ) | (

i > 0

=

0

с источником на бесконечности; эта функция

нормирована

соот­

ношением

2л-

1 - 0 ! + -Vi

при

х — 1 ;

У Ах, и)

1 Г

; ч

v (s.v+.vx)

Л'->-СО

с р ѵ ( - ц ) е Ѵ

ѵ + ' М ]

при

х < 1.

( Г

Здесь

0,

= 2л [

S,

((.ij f i , duç ;

v и c p v ( u ) — п о л о ж и т е л ь н ы й

корень

и

собственная

функция

характеристического

уравнения

задачи

соответственно;

2 ( ѵ ц + 1 ) Ф ѵ ( ц ) = | Е , ( й й ' ) Ф ѵ а О ^ ' .

- f t Ф » 4 і = 1;

^

- î

A'X — экстраполированная длина

(хц—Xi

при х = 1 ) ;

^

(Q0 ) = - і - ( I -

G,) Ч'0

(0,

- U ü ) ц 0

при X =

1 ;

4л

П ( О 0 )

=

ц 0 ¥ 0

(0, - Ц е )

при

X <

1.

+ 1

2я

j

[ср _ ѵ 00 ] 2 ц^и

3. В односкоростных

з а д а ч а х

имеет место принцип взаимно­

сти [11]: токовые

коэффициенты

отражения

а( о, Л -)(й,

Qo)

и

про­

пускания /(о, л.-)(Q, Qo), отличающиеся от

введенных

выше

пото­

ковых коэффициентов

угловыми

множителями а<о,Л -)(й,

Qo) =

= ц5(0 ,.ѵ ) (й, Qo),

/(о,я-)(Q, Qo) =

|.i7(or .x)(ß,

Q 0 ) ,

не

изменяются,

если переменить

местами направления

падения

и выхода

луча

Qo и Q:

цТ(о.х) (й, й 0 ) = ц0Т(0іХ)

(й 0 , й);

(2.62)

V * ) ( ß . fio)

= и5( о,,) (Й, Й0 ) = I іх0

I S(o..v) ( - Qo,

-

й)

=

= а(0..Х)( - Й 0 , - Й ) .

д л я

m-й гармоники

Ф?„ {х, ц)

будем

иметь

краевую

задачу

ц — H L +

2P(x)QPm

(X, u) =

S

J

2 * 7

(-v. ц, ц ' ) Х

•од:

Pu=]

—1

ХФГп° (л-,

р/) dji' + <Х (А-, и) = ВРТ

(X, и);

Р

о

I (2.65)

ф Р т ( ° > М)| м > о - ФГ „,о (и) - Ь S

) ^ ' W d i ,

f i ' W ( 0 ,

и');

p»=i

— i

где

,

Фш.оі Фш/і и 2 S | ,„ связаны

с исходными

величинами QP,

Ф о ,

Фл

и 2 s (( . i, (і' - f К 1 — и 2

1—\і''

соэф)

соотношениями,

подобными

(2.63) —(2.64). Будем предполагать,

что коэффи­

описывающие

источники, не

с о д е р ж а т

сннгулярностей, т. е.

внешние

источники

распределены по

углам,

а

внутренние — и

по углам и по пространству.

по х(хо = 0,

Х\,

х/,

xL

— h) так,

Введем разностную

сеть

чтобы

поверхностям

разрыва

коэффициентов

2,

2 S

и Q отвеча­

ли некоторые

узлы

сети,

и

пусть

р.,-

и

аг-

(і=1,

2,

;Ѵ дл я

р,,\>0,

і = — 1 ,

—2,

... ,

—N дл я U i < 0 )

— у з л ы и

веса

квадра ­

турной

формулы,

аппроксимирующей

интегралы

в

(2.54).

Д л я

построения

конечно-разностной

системы,

аппроксими­

рующей

уравнения

(2.54),

воспользуемся

вариантом

метода

метод устойчивый и достаточно простой в

реализации

на ЭВМ ,

сохраняет в разностных уравнениях такие

важные

свойства

исходных уравнений, как

принцип

максимума

[оценки

(2.60)],

р а з р ы в ы решения на линиях р а з р ы в а коэффициентов

системы

(2.12) и т. п.

П о л о ж и м |A={if

в в ы р а ж е н и я х

(2.65)

и

представим

интегра­

лы квадратурными

суммами

типа

| / ( ц ) ф

=

| ] а , / Ы .

(2.66)

Интегрируя

теперь

к а ж д о е

из

уравнений

(2.65)

вдоль

х а р а к ­

теристики

левой части, т. е. при

u, = u.,

от

хі

до

хі+\,

получим

систему разностных

уравнений

для Ф р ( х / ,

ц,), которую

запишем

в векторной форме (значок m опущен):

At

Ф7+> +

В+ФІ

+

et

Ф7+і +

Df

Ф Г =

Q7 ;

(2.67)

<+.+

4+

AT ФГ+i 4-

BT Ф Г + CT Ф7+і +

DT Ф 7 =

Q7 •