Файл: Альбедо нейтронов..pdf

изотропия

рассеяния

и

т. п.). П р о г р а м м ы

Р О З - І

и

Р О З - I I

поз­

воляют

решать

не только

прямую,

но и сопряженную

задачу .

Р О З - I I I

в результате

расчета

одного

варианта

позволит

полу­

чать

значения

матриц

отражения

5/. 0

и пропускания

Т0, і

дл я

последовательности

плоских слоев

возрастающей

толщины

хі.

Элементами матриц

Si, 0 являются

значения

дифференциально ­

го спектрального

(потокового) альбедо слоев

толщиной

хі.

Функции 5 и Т представляются в

виде

суммы,

подобной

(2.64),

и

з а д а ч а решается

отдельно

для

к а ж д о й

гармоники

5<"і)) 7"('").

Соответственно

принятому угловому

приближению

задачи

(2N

узлов для

переменной

и.,-, что

можно

назвать

2 0 і Ѵ - п р и б л и -

жением)

принимается

/ Ѵ - п р и б л и ж е н и е

дл я индикатрисы

рас­

сеяния

м

2 Г * (X, и.) =

5)

2

П (х) Рѵ (fi,)

(2.78)

v=0

или

индикатриса

задается

таблицей

своих

значений

в точках

р., (так называемое дискретное представление

индикатрисы) .

Это

представление

допускается

использовать

в

п р о г р а м м а х

Р О З - I I I

(для 2 Г " ) ,

т а к ж е

Р О З - І Ѵ ,

V,

V I

(для

всех

2 Г ' ) .

П р о г р а м м ы

Р О З - Ѵ , V I , являющиеся

наиболее

мощными

из

системы

кинетических уравнений

(2.12) итерационным способом.

Н а р я д у

со значениями

прямого

и сопряженного

потоков во

всех внутренних точках

слоя они осуществляют

расчет

потоков

отраженного и пропущенного излучения и различных

интегра­

лов от них.

П р о г р а м м ы цикла Р О З были

составлены и о т л а ж е н ы

под ру­

ботающим при Институте прикладной

математики

А Н С С С Р ,

в состав

которого входили Л . П. Басе,

В. И. Ж у р а в л е в , В. А. Ут­

кин, Е.

И. П а н ф и л о в а , Е. И. Костин, А. А. Д о р о ф е е в

и др.

Если

методы исследования

функций отражения

и пропуска­

ния в плоских з а д а ч а х можно

считать

в настоящее

время хоро­

лучены нелинейные уравнения для 5

и Т в простейших

зада ­

чах со сферической и

цилиндрической

симметрией,

оказавшиеся

значительно сложнее

соответствующих «плоских».

Эта

слож ­

ность альбедных уравнений в неплоских з а д а ч а х

является

при­

с другой стороны,

в

формулировке численных

методов

отыска­

ния решения.

Д л я

вычисления

5

и Г

в сферических и цилиндрических за­

дачах,

естественно,

могут

быть использованы

любые

програм­

ских и цилиндрических слоев, в

частности, Р О З - І (сферический

вариант)

и Р О З - Ѵ І (сферический

и цилиндрический

в а р и а н т ы ) .

В тех задачах, где определяются

лишь коэффициенты о т р а ж е ­

ния и пропускания, схема матричной факторизации,

описанная

выше для плоских

задач, остается той ж е самой. Л и ш ь

исход­

ные матрицы А, В, С, D меняются в соответствии с изменением

геометрии.

Д л я

односкоростной

задачи

о

точечном источнике, окружен ­

ном сферической

оболочкой,

поглощающей

излучение

и изо­

тропно

рассеивающей,

были

исследованы

асимптотические

внутреннем радиусе

R0

оболочки, так

и при большом

F31,

32].

П о к а з а н о [32], что альбедо оболочки пропорционально

— ,

если

1

в ней нет поглощения,

и

, если есть

поглощение.

вимся на

условиях применимости уравнений диффузионно-воз­

растного

приближения .

В работах [33, 34] показано, что при выполнении

определен­

ных

условий

кинетическое

уравнение

Б о л ь ц м а н а (2.1) может

быть приведено к виду

Aq(r,x)

+ Q ( r , x ) = ^ ^ - .

(2.79)

от

Здесь

q(r,

т) =£,(u)!,s(u)Ф(г,

и)—плотность

замедления;

S s ( « ) — м а к р о с к о п и ч е с к о е

сечение

упругого

рассеяния;

Ф ( г ,

и)

=

j l F(rQu)rfQ — поток нейтронов на

единичный ин-

тервал

летаргии; и = \п-^—летаргия;

Е — энергия

нейтрона;

£ 0 — энергия

нейтронов

источника;

и

X =

Ç — 5

d u

— — возраст

нейтрона;

Q (г,

т) — функ-

Эти

условия

следующие:

1)

E s ( и ) я ^ Х ( и ) — с р е д а

д о л ж н а

о б л а д а т ь слабым

захватом,

т.

е.

2 п ( и ) ^ 0

[здесь

2 (и) и

2 а ( " ) — м а к р о с к о п и ч е с к о е

полное

и

макроскопическое

сечение

з а х в а т а

соответственно]; 2)

и м

а к с |

—

I n [ / ( « ) ] 1*^1

—-длина сво­

і(и)

ди

бодного

пробега

нейтронов

малб

меняется

во

всей

области

изменения летаргии нейтрона от и 0 до «макс; 3)

и^>1(и)

-^-нейт­

рон при

замедлении

испытывает

достаточно

много столкнове-

нии; 4)

rs=; —— .

Е?°р,

з а м е д л я ю щ и х с я в среде

с

большим А

на малом расстоя­

нии от источника

нейтронов.

В

работе [35]

показано,

что

д л я малых

расстояний, удов ­

обратного

рассеяния нейтронов д а ж е

для легких

сред

(вода)

позволит

получить хорошую точность

результатов,

т а к

как ос­

ничном

слое

среды,

толщина

которого

составляет

примерно

2—3 длины свободного пробега нейтронов [36, 37].

После того

как нейтроны з а м е д л я т с я настолько,

что их

ско­

рость приблизится к средней скорости теплового движения

ней­

тронов

в среде, перестают

выполняться условия применимости

теории

возраста, и пространственно-энергетическое

распределе ­

ние таких нейтронов

у ж е нельзя описать с

помощью

уравнения

(2.79).

К а к известно,

тепловые

нейтроны

имеют

установив­

шийся

спектр, приближенно описываемый распределением М а к с ­

велла.

Это обстоятельство

позволяет

рассматривать

тепловые

нейтроны с энергией ниже некоторой граничной энергии

Е г р в

одногрупповом

приближении .

При

этом

нейтронные

сечения

вых нейтронов в диапазоне энергий от 0 до

Егр.

Уравнение

диффузии

в одногрупповом

приближении

имеет

вид

АФ (г) — х2 Ф (г) +

- L Q (г) =

0.

(2.80)

Здесь

Y? =

— к в а д р а т

обратной

длины

диффузии;

D = -

— =

— коэффициент

диффузии

тепловых

ней-

3 (2 — 2j \is)

мощью

первых двух полиномов

Л е ж а н д р а . Это допущение

спра­

ведливо, если: а)

Б а

не

очень

велико

по

сравнению

с

2;

б)

рас ­

стояние

до

источника

больше

2—3

длин

свободного

пробега;

в)

расстояние

до

границ

среды

т а к ж е

больше

2—3

длин

свободного

пробега

нейтронов.

Чтобы выполнялось условие «а», бу­

дем рассматривать среды с небольшим

захвато м нейтронов. М о ж н о

показать,

что второе условие снимается, если рас­

сматривать

только

рассеянные

нейтроны,

т. е. если в качестве функции

источника

взять

пространственное

распределение

нейтронов,

испытавших

в

среде

первое

рассеяние. В задачах , связанных

с

аль­

бедо,

условие

«в»

никогда

не

выпол­

няется. Тем не менее

и

в

этих

з а д а ч а х

можн о

использовать

уравнение

(2.80),

если

дл я

него

з а д а в а т ь соответствующие

граничные

условия.

Рассмотрим

применение

уравнений

JJ0)

f/jfipfji^ JM

z

(2.79),

(2.80)

для

отыскания

интеграль­

ного

спектрального

и

числового

альбедо

д л я

двух

типов

рассеивателей:

полубес­

конечного рассеивателя и пластины ко­

нечной

толщины

d

(рис.

2.3).

Источник

нейтронов — моноэнергетический,

пло­

ский,

бесконечный. Угловое распределе­

Рис. 2.3.

К

задаче

рас­

ние

нейтронов

источника

в

принципе мо­

чета альбедо для полу-

жет

быть

произвольным. В

связи

с

этим

бесконечиого

рассеива­

при

величинах альбедо в верхнем индек­

теля (а)

и пластины

ко­

се

будем

обозначать

вид

источника:

нечной

толщины

(б).

п. м. — плоский

мононаправленный;

п. и. — плоский изотропный;

п. к . —

плоский

косинусоидальный;

п. п. — плоский с произвольным

угловым

распределением.

Если положить, что ток нейтронов источника через поверх­

ность рассеивателя равен

1, то

ток

рассеянных

нейтронов, выхо­

д я щ и х

из

рассеивателя

в

отрицательном

направлении

оси

z (/_)

(см. рис. 2.3),

будет

численно

равен интегральному

аль­

бедо.

Ток

нейтронов

через границу

рассеивателя

в

положительном

и отрицательном направлениях оси z

в

диффузионно - возрастном

приближении может

быть

определен

по формулам

[33,

34]:

У + ( 2 о , £ )

=

А і | - [ ф ( 2

, £ ) - А ( £ )

дФ (г,

Е)

(2.81)

дг

г-=0