Файл: Альбедо нейтронов..pdf

{S/f г.}

_

, =

Фі

в

задаче

о

слое

(х/, xL

= h)

при условиях

і=г

<r>r = sL «tf,

(фг)?

=

То,; и JL.I равны значениям в точке

х\

решений этих

задач

при

следующих краевых

условиях:

То,г =

ФГ

при

Фо

=

S$>T

+

Ф0>

ф

Г

=

0;

T L . Z =

Ф Г при

Ф Г =

0,

Ф Г =

5 £

Ф Г

+

ФІ. ,

где

матрицы

о т р а ж е н и я

So

и

SL

определяются

краевыми

усло­

виями

исходной задачи

(2.65),

а Фо, Ф ь

и

Q/ — исходной

зада ­

чей

(2.67).

Вследствие того что в отсутствие

размножения

в

рассматри ­

ваемом

слое

и в

о т р а ж а т е л е

система

(2.67)

обладает

ограни­

ченным

решением

[26],

существует

последовательность

ограни­

ченных матриц Si и векторов Т; для

любой сети

{х/} • {ц.;}.

Она

единственна

ввиду единственности решения задачи

(2.68).

Отметим,

что

элементы

матриц

Si.o

монотонно

возрастают,

а элементы

матриц

Si. L монотонно

убывают

с

ростом

/,

оста­

ваясь неотрицательными и подчиняясь оценкам

M

» >

0

для

Іх

<

/2.

Пользуясь соотношением (2.70), найдем из системы (2.67)

рекуррентные формулы для І>/,0 , Т0 , /,

являющиеся

искомым

разностным в ы р а ж е н и е м уравнений

(2.59):

Sf+r.o = — С/Г1 [Ct-

(Dt+

BtS.^iBT+DTS^o)-1

Ат\

v

Т о , ж

= с / Г 1 [ О Г - О Г Т о л - ( 0 / + ^ Г 5 / , 0 ) Х

\

С 2 - 7 2 )

X(Br

+

DTSli0)-lQT-DTTo.il

,

где

Ul

=

At

-

{Dt

+

Bt

S,,о)

(BT

+

DT S,,o)~l

CT .

Эти

формулы

при

известных

50 , о = 5о,

Т 0 > 0

= Фо позволяют

най­

ти

последовательно

S;| 0 ,

Т0 , і для

слоев

(хо, х\),

(хо,

хг), .. -,

(хо,

xL). При

известных

значениях

5/, 0

и

Т 0 > /

поле

излучения

может

быть

найдено

по

ф о р м у л а м :

ФГ =

(1 - S L S L , 0 ) - ] (SLTO.L +

Фі);

ФТ = VpT+i

+ W z ;

&t

= St оФГ + T 0

il

l

(2.73)

'

Vt

= -

(B+ St .o +

Df)-X

(AT S l + l ,o + Cf)

= -

(ВТ

+

+

DTSl,0)-]

(AT +

CTS,+

i,0);

W, = (BT + DT S, . „ ) - '

[QT - CT To> w

- DT T

o ,

которые

т а к ж е

получены из

(2.67),

(2.70).

Д л я

отыскания SitL,

TL,i

следует

получить

формулы,

подоб­

ные

(2.72), в ы р а ж а ю щ и е

Si. L через

S/+I,JL, T L , i через

T L , I + I , И

расчет надо вести от S L

. L

^ S L ,

TLI Ь

=

ФЬ.

И з л о ж е н н ы й

метод

решения

системы

(2.68),

который в

ствует матричной факторизации — приему,

хорошо

известному

в теории численного решения краевых

з а д а ч [27].

В

противоположность известному методу

Н- или X-,

У-функ-

ций

[11, 20] альбедный

метод хорошо

работает в з а д а ч а х с не­

изотропными индикатрисами [23].

В з а д а ч а х о полубесконечных слоях предлагаемый

метод

может рассматриваться как метод последовательных

прибли­

жений.

Использование

характеристической

схемы

позволяет

работать

с большими

«шагами» хі+\—хі без возникновения не­

устойчивости.

Поэтому в з а д а ч а х

с поглощением

асимптотические

резуль­

ближений

о, То, I.

Д л я

чисто рассеивающих

сред

или сред с переменными по

X свойствами

от расчета большого

числа величин

Si. о, То,і мож ­

но освободиться,

используя

для

экстраполяции

асимптотиче­

ские закономерности (см., например,

[23]) и

пользуясь

прави­

лом построения

функций

5

и Т дл я многослойной среды с из­

вестными коэффициентами S( , , ) и

Г<л> дл я каждого слоя [28].

Приведем

здесь

результаты

для

двухслойной

задачи .

Пусть

5?, 7"?

и

S\,

Т\ — коэффициенты

отражения

и

пропускания

слоем

(хо,

Х\) излучения,

падающего

на поверхности

X=XQ И

х=Х\,

a Si,

Т\

и si

Т\—соответствующие

коэффициен­

ты для слоя

(х\, Хо). Тогда

в точке хо

в точке Х\

Ф ^ = 5 ( 1

0 ) Ф 0 Ь + Т ' 1 1 ) Ф Г ;

Ф + ^ ^ Ф Г + т Г Ф О ^ ;

Ф 7 =

5 ^ 1 ) Ф , " - Ь ^ 2 )

ФТ;

ф + = 5 2 "

,

Ф 7 + 7

,(1),

,

А +

2

Ф ^ .

Исключая

из

этих

соотношений

Фі^и

Фі

получим в ы р а ж е -

ния для ФсГ

и ФТ :

Ф ^ ^ Ф Г - Г - Г ^ Ф ^ ,

(2.74)

где

S ( o) + r ( i ) ( £ _ s ( n , s ( i ) ) - i s n ) T ( 0 ) ;

S ( 0) =

5

( 2 ) =

5 2 2 )

+ П»> ( £ - 5 (

, 1 ) 5 2 2 ) ) - , 5 (

1 , ) Г 2 2 ) , -

Г< 2 )

= 7 ' { , ) ( J E - S (

2 , , S i , , r , n 2 > ;

' " / И 1 - 1 О

О

о

К а ж д ы й блок МР-*Ч есть матрица порядка

N.

Сложение, умножение и обращение таких матриц не меняет

блочно-треугольной формы .

Чтобы

убедиться в

обратимости

м а т р и ц (Bj~+D~

5/, 0 ) р _ , " р ,

достаточно

показать,

что

н о р м а *

матрицы

(Ki+MiSi,о)3>~і*р

меньше 1.

Опуская индекс /, будем иметь

И {К + MS)p-p

I = макс £ ШГ +

SМ*"

Spkrp)

<

L

I

k

<ШКС^{КРІГ

+ МЧГ),

(2-75)

* Норма матрицы А, обозначаемая далее через

\\А\\, может

быть

опреде­

лена соотношением

N

I А || = макс V

\Ац\

так как элементы всех

рассматриваемых матриц

неотрицатель­

ны

и

2 S f t j < l

согласно

оценкам

(2.71). С

другой

стороны,

ис'-

пользуя

формулы (2.69), будем

иметь

£

(КЧ

+ Mtlrr>

= ( 1 -

e-Ä '-

<) J]

a,

^

L

. < 1 _

' <

1

(2.76)

при

— <

оо,

т.

е. р.; ^

0.

Обратимость

матрицы

£/<

в

наиболее

простом

случае

при

а = 1 ,

когда Dt

= Cj--=Ç> и

U,=At

следует

из

оценки

| | / 0 | | < 1 .

В

таком

случае

формулы

(2.72)

принимают более

простой

вид:

S l +

U

о = -

( Л + Г 1 L t f -

Bf

S,,

о ( 5 Г +

DT S,,

о)-1

АТУ,

1

То. , +

1

=

( Л Г ) - '

|Q+ _

ß + T o , (

-

BfSL

о (ВГ +

D ? Si. o)-lQT].

J

. (2.77)

Устойчивость

счета по

этим

ф о р м у л а м

в

смысле

определений

[27],

т. е. невозможность возрастания

ошибки,

случайно

возник­

ректности

краевой

задачи с

условиями отражения [2] — малое

изменение

решения

задачи (2.65) при малом изменении функ­

ций, описывающих

краевые

условия.

метода

характеристик

она обычно

оказывается

около Д вдали

от границ зон и около

А І п Д вблизи

от них (Д =

м а к с ( х і + і — х і ) ) .

i

К настоящему времени изложенный выше алгоритм реали­

зован для плоской геометрии в первых

программах ц и к л а - Р О З

(расчет

одномерной з а щ и т ы ) — Р О З - 0 ,

I , I I , I I I . Предполагается,

что з а щ и т а

имеет

слоистую гетерогенную

структуру,

т. е. со­

стоит

из нескольких

зон, вещество к а ж д о й

из которых

однород­

но и

характеризуется групповыми

константами

2?',

(р,3 ).

Внешнее по отношению к защите излучение

может описы­

ваться либо ô-функцией

ФпаД = о ( £ — £ ! o ) o W o

(параллельный

пучок нейтронов падает на

поверхность защиты

в направлении

£2о), либо заданной функцией Фпад (Œ).

В

табл .

2.1 приведены

значения

параметров,

характеризую ­

ристики

различных программ Р О З . П р о г р а м м а

Р О З - 0

предна­

значена

д л я решения односкоростных задач

с

высокой сте­

пенью точности при учете разнообразных физических

эффектов

(отражение на граничных поверхностях, наличие

• внутренних