Файл: Альбедо нейтронов..pdf

Н а рис. 2.6

приведены зависимости

вклада тепловых

нейтро­

нов

в интегральное числовое альбедо

промежуточных нейтронов

от

ро и Еа для

бетона, полученные

по

формуле (2.92)

и мето­

дом

Монте - Карло [41] .

1.

Тепловые

нейтроны. З а д а ч а

дл

я пластины конечной тол­

щины

(см. рис.

2.3,6) отличается

от

аналогичной задачи для

ности

пластины z = d следует определить из

условия,

что ток

рассеянных нейтронов через эту поверхность

внутрь

рассеива­

теля

равен 0, т. е.

о £ " м ( £ т ,

0О) = 2 И о 0 2

А2;

X

(«2 -

v.") [(1 -

Ах)2 e~*d

- (1 +

Ах)= e*rfJ

X

fex d (1 +

Щ (х — а) + е~х < / (1 — Ях) (х + сс) — 2 х е ~ а , / ( 1 — Ы)\.

(2.94)

2. Промежуточные

нейтроны.

Необходимо

решить

уравне­

ние

(2.83) с

граничным

условием

(2.89)

(см, рис. 2.3,6).

OZ

= 0

для всех

т.

(2.95)

Используя

преобразования

Л а п л а с а ,

находим для

плоского

мононаправленного

источника

интегральные

спектральное и

числовое альбедо*:

_Г7. U

Ѳ0 ; т) =

2 а ( 1 +

Ясс) X

апси(Е0,

оо

4 1

(1 + ѵ*) sin

+ 2ѵ£

—

-ad

X

2

А

1 + Аа

(2.96)

ѵ.-е

(o»Ä» + V?) (1 + V?) [2А +

d (1 + V?)] sin

1=1

апч"(Е0,

Ѳ0 ) = 2 л 7 2 а ( 1 + І а ) Х

ѵ

-

т

г р •

/,

+

9Ч

v i d

+

1—Аа

-ad

( l

v ? ) sin —

2 Ѵ , — —

X

1 - е

А

1 - f Аа

(a»W +

V?) (1 +

V?) [2І +

d (1 +

V?)] sin

-f

(2.97)

*

Приводится

решение

краевой

задачи

(2.83),'

(2.89),

(2.95),

полученное

И. Н. Качановым.

Зак. 19

81

неупругие столкновения

с

я д р а м и

т я ж е л ы х

элементов.

Метод

п-го столкновения

пригоден для

сред

со

слабым

поглощением

и может быть с успехом применен

т а к ж е

при

решении задач пе­

реноса Y-излучения.

Рассмотрим

плоскую

полубесконечную

среду,

на

границу

которой падает тонкий луч нейтронов с энергией Е0.

Не

учиты­

вая пока характера потерь энергии

отдельными

нейтронами,

отмечаем, что имеется

конечная

вероятность

выхода

нейтронов

из рассеивателя

в

полусферу

после

1-го, 2-го,

3-го,

/г-го и

т. д. столкновения.

Таким

образом, поле

излучения

на

границе

позиции

полей,

создаваемых

частицами, испытавшими различ ­

ное число

столкновений:

а , ( £ 0 , Ѳ 0 ) = | ; а ч ( £ 0 , Ѳ 0 ; п ) ,

(2.98)

где а ч ( £ 0

,

Ѳ 0 ) — и н т е г р а л ь н о е

числовое

альбедо

для нейтронов

источника;

ач(Е0,

Ѳо; п)—вероятность

нейтрону

источника вый­

сеивающей среде.

Основное предположение

метода

п-го столкновения

з а к л ю ­

чается в том, что нейтроны

с

любой начальной энергией Ео,

испытавшие п столкновений

в среде,

имеют вполне определен ­

ный энергетический спектр рп(Е,

Еа),

зависящий только

от ве­

тавшего

п столкновений, равна

« = га| или Е=Е0е~п^

(здесь

Е —

энергия

нейтрона после п. столкновений) .

При

произвольных потерях

энергии

при одном

столкновении

к а ж д о м у номеру столкновения

п может

быть поставлен в

соот­

ронов рп(Е,

Е0). Это

следует из того, что угловое

распределение

нейтронов

я-го столкновения в лабораторной системе координат

согласно

разделу 1.4

становится

изотропным

начиная

с

п=

= (2-^3),

независимо

от характера

угловой зависимости

д и

ф ф е -

I

ренцйальиого

сечения упругого рассеяния. Таким образом, пос­

ле двух-трех

столкновений нейтрон забывает

свою предысторию,

и энергетический спектр к а ж д о г о столкновения перестает

зави ­

сеть от угловых переменных

(для неупруго

рассеянных нейтро­

нов это справедливо у ж е дл я

п=\).

Сделанное

выше

предположение о связи

номера

столкнове­

ния нейтрона

с его энергией позволяет существенно

упростить

задачу нахождения

энергетического спектра нейтронов,

отра-

Точкаг

женных от рассеивателя, так как в этом случае

становится

воз­

м о ж н ы м разделить в кинетическом уравнении пространственные

и энергетические переменные.

Выведем дифференциальное уравнение для

плотности

пото­

менимости.

Д л я

простоты

рассмотрим

одномерный

стационар ­

ный случай

(рис. 2.7) и среду без

источников.

Пусть

N(z,

п,

(x, Е)—число

нейтронов

в точке

пространст­

ва 2 с энергией Е, испытавших

п

столкновений,

д в и ж у щ и х с я

под углом

9 = arccosp. к оси z и пересекающих в единицу

времени

единичную

площадку,

нормаль

которой совпадает

с

направле ­

нием движения

нейтронов.

Функция

N(z,

и,

р,, Е)

нормирована

на

единичный

интервал

энергии и единичный телесный угол. Уравнение

переноса д л я

функции N(z, п,

ц,, Е)

имеет следующий вид:

р Ш { г

'

П:

^

E

)

+

Z(E)N(z,

п,

ц, Е)=

J

dtp }

-*

ö z

0

—1

£

,

->

Q;

Е'

Е) N (z,

п — 1,

ц',

E')dE'.

(2.99)

Здесь

Е0

— м а к с и м а л ь н а я

энергия

нейтронов;

2 ( £ ) — п о л н о е

макроскопическое

сечение

взаимодействия

нейтронов с

энергией

ничном

объеме вблизи

точки z.

П р и

этом

рассеянии

первона­

чальное

направление

д в и ж е н и я

нейтрона

Q'

и

его энергия Е'

изменяются соответственно на Q и Е.

Первый член в левой части уравнения (2.99)

описывает утеч­

ку нейтронов из единичного фазового

объема

за

счет

градиента

плотности;

второй — за

счет

столкновении;

член

в

правой

части

уравнения

дает число нейтронов, входящих в единичный

элемент

фазового объема из-за рассеяния при столкновениях.

Учитывая,

что

номер

столкновения

полностью

определяет

энергию

нейтрона

у ж е

для

« = ( 2 - ^ 3 ) ,

то

для

всех п>

(2 - гЗ)

можн о

записать

N (г, п, ц, Е) -

Ф (г,

п,

и) Р П

(Е, Е 0

) .

(2.100)

Подставля я в ы р а ж е н и е

(2.100)

в

уравнение

(2.99),

полу­

чаем

u p „

(Е,

Е 0 ) а

Ф ( г - " а

і )

+

2 (Е) рп

(Е,

Е 0 ) Ф (г,

п,

(д.)

=

дг

2л

1

£ 0

=

J

dep j du' j

2 , ( Q '

->

Q;

E'

->

E)pn_1(E',

E0)

X

0

—1

£

Х Ф ( г , rc — 1,

u ' ) d £ ' .

(2.101)

В

предположении

изотропности

неупругого

рассеяния

функ­

ция рассеяния 2s (ß'->-£2; Е'-*-Е)

может

быть

представлена

в

виде

2 , ( 0 ' -+ Q; £'-»•£)

=

X

2

(2/ +

1) h (E') Pt (и,) +

2 І

Я

(E') ] g ( £

, J £

)

,

(2.102)

где 2ы(Е'),

2І„(Е')—макроскопические

сечения

упругого

и

неупругого

рассеяния;

fi{E')—коэффициенты

разложения

д и ф ­

ференциального сечения упругого рассеяния по

полиномам

Л е ­

ж а н д р а ;

u.,= (Q'Q); g(E'-yE)—вероятность

нейтрону

при

рас­

сеянии изменить энергию Е ' на Е .

В

дальнейше м

в ы р а ж е н и е

(2.102)

удобнее

представлять

в

виде

2 f ( Ö ' -> Q; Е ' - Е ) = U , ( £ ' ) Y ( 2 / + ! ) / , ( £ ' ) P t ( ц , ) +

+

2 І

Л (£')

Ç

(2/ +

1) t, (E') Pl

Ы J

& { E ' ^ E

)

,

(2.

103)

где *,(£') =

{ 1

для

всех

f

при Z =

0;

0

для

всех

Е '

при / = 1 , 2 , . .

Подставляем формулу (2.103) в (2.101) и интегрируем урав ­

нение

(2.101)

по

Е

от

0

до

Е 0

. Умножим

обе

части

на

fpn(E,

E0)dE]~\

о

З а м е т и м ,

что

спектр

нейтронов

п-го

столкновения

по опре­

делению равен

ра

(Е,

Е0)

=

f

рп_х

(£'

Е0) g (£'

-

Е) dE'.

(2.104)

£

При

столкновениях

с

ядрами рассеивателя нейтроны не мо­

гут

ускоряться, та к

как

по предположению

тепловое

движение

атомов

отсутствует.

Поэтому

функция

g(E'^>-E)

равна 0 при

Е'<Е,

и в в ы р а ж е н и я х

(2.101) и (2.104) нижний предел инте­

грирования по dE' м о ж н о заменить

нулем.

по Е с учетом

Выполняя

интегрирование

уравнения

(2.101)

сделанных замечаний,

получаем

a o j ^ n j O

+

s

{ п ) ф

( z > Л і

Ц ) =

J _

J

(2/ +

1) A*z (») X

dz

4л ^

2л

1

X

J

гіФ

j

Ф (z,

n -

1,

Li') />г (ц,) ф \

(2.105)

0

—1

Здесь

\ S ( £ ) p „ ( £ ,

£„)<*£

2(п)

о

J

/»«(£.

E0)dE

о

Ео

J М/ (£) р„ (£, £0 ) d£

J

/>„(£,

£ 0 ) d £

М І ( £ ) = 2 в / ( £ ) ° / і ( £ ) + Е і л ( £ ) ^ ( £ ) -

Исключим

угловую

зависимость

в

уравнении

(2.105). Д л я

этого воспользуемся

методом

сферических гармоник.

Р а з л о ж и м

Ф(г,

я, |х) по полиномам

Л е ж а н д р а :

Ф (г,

п,

и) =

^

Wk

(г,

n) Pk (ц).

(2.106)

Ф(г, n, V) =

- ^ ( г ,

я)

(г,

л ) і \ ( ц ) .

(2.107)

П о д с т а в л я я формулу

(2.107)

в уравнение

(2.105)

и

используя

свойство ортогональности полиномов

Л е ж а н д р а ,

приходим к