Файл: Альбедо нейтронов..pdf

д Щ 1 ' г П ) +

2 (л) Ѵ0

(z,

п) =

М0 (п) ¥ 0

(z,

п -

1);

(2.108)

OZ

1 ачг, (г, Д ) +

s ( п ) ¥ i

( z >

n ) =

М і ( л ) ¥ i ( Z )

n

_ 1 }

( 2

1 0 9 )

Функции

x¥o(z,

п.)

и

Чх і (г, /z)

допускают

непосредственную фи­

зическую

интерпретацию:

W0(z,n)

=

j

Ф (z, n, ц) dp, — нейтронный поток;

(2.110)

— I

1

4 ^(2,

/г) =

j

ц.ф(г,

n,

(-i)dp- — нейтронный

ток.

(2.111)

—1

Будем считать,

что y¥o{z,

п)

и W[(z,

п)

весьма медленно

изме ­

няются с изменением /г. Учитывая спадающий характер

поведе­

ния функции

^ 0 ( 2 , я ) ,

можно

представить

xY0(z,

п—1)

в

виде

% ( г ,

п-1)

= %(г,

п

)

-

^

А

(2.112)

Ort

Будем

т а к ж е

предполагать, что

^ ( z , п)^Ч\(г,

п - 1 )

и 2 ( п ) ^ 2 , г ( / г ) 4 - 2 , » =

2 » .

(2.113)

Из определения

функции Мі(п)

следует, что

M0(n)

=

Hs(n);

(2.114)

£0 Ъе1{Е)Шрп{Е,

Ео

—1

М1{п)=\

E0)dE

jpn(E,

E0)dE

(2.115)

о

П о д с т а в л я я формулы

(2.112) — (2.115)

в

уравнения (2.108) и

(2.109),

получаем:

(2.116)

ІЗѴф^

+

2 Л п ) У р А г г

n )

= M i ( n ) W i { z >

ny

( 2 Л 1 7 )

О

OZ

Р е ш а я систему

уравнений

(2.116)

и

(2.117)

относительно

функ­

ции Ч?0(z, /г), находим

дУ0

(г, я)

1

д*Ч0(г,

п)

/2

118>

ort

32j (n) [Sj (n) — Mi (n)]

OZ*

'

'

Уравнение

(2.118)

с помощью

функции

n

К(п)=

f

—

(2.119)

W

J

3Sj (я') [2S (n') — Mi (n)]

v

'

д*¥0(г,

К)

_

ЗѴ9-(г,

К)

(2.120)

дг*

дК

Проводя

аналогичные

рассуждения,

можно

показать,

что

в случае трехмерной среды с источниками аналогом

уравнений

(2.120)

будет

Д % ( г , К) =

™а('-,

К)

+ Q

{ t

i

; < )

( 2 .121)

од

Здесь

Q (г, К)

— ф у н к ц и я источника.

Таким образом,

в предположениях

(2.100),

(2.107),

(2.112),

(2.113)

уравнение

переноса

(2.99)

свелось

к уравнению

(2.120),

а в

случае

трехмерной

среды

с

источниками — к

уравне ­

нию

(2.121).

метода п-то столкновения

П о к а ж е м использование

для

опре­

деления интегральных спектральных альбедо в широком

диапа ­

зоне энергий нейтронов практически дл я всех слабо

поглощаю ­

щих сред и дл я различных

геометрий задачи .

Расчеты

интегральных

спектральных альбедо методом п-то

столкновения

требуют

знания

функций

рп(Е,

Е0)—энергетиче­

ских

спектров

нейтронов

п-то столкновения

для

бесконечной

среды

и функций

W(n,

Е0)—вероятностей

выхода нейтронов в

з а д н ю ю полусферу после

л-ro столкновения. В этом случае ин­

тегральный

энергетический

спектр

отраженных

нейтронов

ас(Ео,

Ѳ0 ; Е)

будет

равен

а с

(£0 > Ѳ0 ; Е) =

2

W (п,

Е0) р п (Е, Е0).

(2.122)

Суммирование в

формуле

(2.122)

производится

по

всем

номе­

рам

столкновений.

п-то столкновения дл я

Энергетические

спектры

нейтронов

бесконечной

среды

могут

быть рассчитаны методом Монте - Кар ­

ло или аналитически путем численного

решения

интегрального

уравнения,

связывающего

спектр нейтронов (п—1)-го

столкно­

вения со спектром п-то столкновения.

рп(Е,

Е0)

Следует

отметить,

что

при

расчетах

функций

ме­

ординат

нейтронов и определения

углов относительно

первона­

чального

направления

полета. В

к а ж д о м

шаге

разыгрывается

только угол

é i n = = a r c c o s ( Q n £ 2 n - i ) ,

где й п - і

и fin — векторы, ха­

рактеризующие направления

движения

частицы

после

( л — I ) - и

/і-го столкновений. Следует

т а к ж е

отметить, что полученная ин­

ф о р м а ц и я используется

при

решении з а д а ч

с любой геометрией

д л я данного

м а т е р и а л а

рассеивателя

и

данной

начальной

энергии.

Функция W(n, Е0) численно

равна току

нейтронов

(для то­

ковых значений альбедо), выходящих через границу

рассеива­

теля в заднюю

полусферу,

испытав я

столкновений

в среде.

В работе [38] показано,

что ток частиц

/

через п л о щ а д к у на

поверхности рассеивателя связан с соответствующим

значением

потока Фо(2 = 0)

на глубине z=0

(рис. 2.8, а)

как

J =

4

dz г = о

(2.123)

0 1

где À — длина линейной

экстраполяции .

S'

>

1 Щ

d

z

го мононаправлениого

(а,

б)

и точечного

мононаправленного

(в,

г)

источников.

В нашем случае применительно к нейтронам и-го столкнове­

ния

функцию

W(n,

Е0)

м о ж н о записать

к а к

W0(z,

п, Е0)

+

I

^ о ^ , я . £ . )

t

( 2 _ 1

2 4 )

dz

z=o

где

То(г , п,

Eg) — п л о т н о с т ь

потока

нейтронов

я-го столкнове­

ния

на границе рассеивателя

(энергия

нейтронов

источника

Е0).

Таким

образом,

согласно (2.124)

определение

функций

W(n, Е0)

сводится к определению x F 0 (z = 0, п, Е0).

Функции x¥o(z=0,

it,

Е0) могут

быть

найдены

путем

решения

ходящие решения, известные в теории теплопроводности

[42] и

теории возраста [39, 43—46].

Н и ж е

приводятся применительно к з а д а ч е

альбедо

решения

уравнения

(2.121) для различных граничных

условий

методом

Сформулируем з а д а ч у обратного рассеяния.

Пусть на

границу

плоского

полубесконечного

рассеивателя

падают под углом Ѳ0 к внешней нормали нейтроны

плоского

мононаправленного

источника

единичной

мощности

(см.

рис. 2 . 8 , а ) , имеющие энергию Е0. Требуется найти ток

нейтро­

нов п-го столкновения

в

направлении

внешней

нормали .

З а д а ч а

сводится

к решению

уравнения

ô

^

J Q

=

ето(,,

К)

_ Q {

Z ) 8

{

К

)

(2Л2Б)

öza

дК

X граничными

условиями:

Y 0 ( z ,

К) =

0 при z-+ оо

для всех

К;

(2.126)

да (2 ,

К) — X дЧ'о(г'

dz

К )

— 0

при 2 = 0

для всех К-

(2.127)

Условие

(2.127)

показывает,

что отсутствует ток частиц /г-го

столкновения в направлении внутренней нормали .

Функция

источника

Q(z)

определяется

нейтронами,

испы­

тавшими

одно

столкновение

в среде, и

нормирована

на

один

п а д а ю щ и й

нейтрон:

_ 2(£„)2

Q (Z ) =

Лі £ й} е

c o s E ) °

= a e - a z .

(2.128)

cos Ѳ0

В формулах

(2.125) — (2.128)

xV0(z,

К) — плотность

потока

нейтронов /г-го столкновения

в точке z;

^ ( П

) =

1з2,(«')

[S, ( « ' ) - M i (ra')J ' ^ (

П ) =

T

^

'

о

l,(n) =

— с р е д н я я

транспортная

длина

переноса

S4. (л) — Mi (га)

з а м е д л я ю щ и х с я

в

среде;

2 ( £ о ) и

нейтронов /г-го столкновения,

2 s ( / i ) — п о л н ы е

сечения

взаимодействия

нейтронов с

энерги­

ей Е0 и сечение рассеяния нейтронов /г-го столкновения

соот-

Бетственно; а =

—

Решение

cos Ѳ0

(2.125)

с

граничными

условиями

(2.126)

уравнения

и (2.127) приводится в работах

[38, 47]. Используя

полученные