Файл: Альбедо нейтронов..pdf

было получено [5] интегрированием

в ы р а ж е н и я (3.4) в

виде

а ( £ т , Ѳ„) =

1 -

1 / Г = ^ Г H (к, ц.0 ).

(3.5)

Вывод

формул (3.4) и

(3.5)

рассмотрен в разделе 2.2.

Мокел

[6] развил несколько

иной

подход к определению аль­

являлас ь

разработк а

метода, который способен д а в а т ь

резуль­

таты, более удобные при расчетах на ЭВМ, чем формул а

Ч а и д -

расекара

или метод

«инвариантного

включения»,

развитый

Бел -

л м а н о м с сотрудниками [7]; причем

этот метод д о л ж е н

занимат ь

меньше машинного времени, чем численное интегрирование

урав ­

нения Б о л ь ц м а н а . Он нашел, что

вариационный

метод

с по­

стоянной

пробной функцией дает неплохие результаты, но

толь­

ко дл я

сравнительно тонких слоев. В поисках более

точных

решений

Мокел исследовал еще три приближения: а)

аппрокси­

мация функций Ч а н д р а с е к а р а с помощью моментов;

б)

вариа ­

ционное

решение с экспоненциальной пробной функцией;

в) ис­

четы были проведены

дл я

значений

x = Ss /S,

изменяющихся

в

пределах 0 , 1 ^ x ^ 0 , 9 .

Н а рис. 3.1 показаны результаты,

полу­

ченные этими тремя методами, дл я случая

изотропного источни­

ка

тепловых нейтронов. Н а

рисунке

приведены

т а к ж е результа­

ты,

полученные с помощью

постоянной

пробной функции

и

численного интегрирования кинетического уравнения [7].

Полуэмпирическая

диффузионная'

формула

позволяет

полу­

точных решений. В этом случае

интегральное альбедо может

быть определено из в ы р а ж е н и я

а(Ет,

d) = 1 ~ e ~ 2 a r f

Г

+ g(х)1

(3.6)

где a, ß, A, f ( x ) , g (у.)

— э м п и р и ч е с к и е

коэффициенты

и функции,

значения которых

в

зависимости

от вида источника

приводятся

в табл . 3.2.

Угловое распределение плоского источника

а

ß

Мононаправленное при нормальном па­

1,37(1—:4°

1,37(1-

дении

1,33(1-_ ѵ )0,367 5

Изотропное

1,37(1—-л)0 -4 4

Косинусоидальное

1,37(1—/.)0 '4 4

1,37(1-- л ) 0 ' 4 4

й д л я плоского

изотропного источника

а

^ =

«, п 4

^

І 1 п 0

+ ѵ) - ѵ 1 2 .

(3.8)

V 2 In (1 —

V 2 )

где V — положительная

величина,

у д о в л е т в о р я ю щ а я

трансцен­

дентному уравнению

Ct..

t 1 I

\

(3.9)

О

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9.x

Рис.

3.2.

Зависимость

(1—ѵ)

от

'/..

В табл . 3.3 результаты расчета

по

ф о р м у л а м

(3.7) и

(3.8)

сравниваются

с точными

решениями

Ч а н д р а с е к а р а .

Формулы

(3.7)

и

(3.8)

в

работе

[8]

были

определены

из

более

общего

в ы р а ж е н и я :

« (£Т )

-=

, _ f l 2 r „ . 4

In (1 -

V) - V,

(3.10)

In

(1

1

M

(Ho)

1 +

HoV

где Г

=

; ца — косинус

угла

падения

излучения;

J M

(Ио) ацо

Т а б л и ц а 3.3

Сравнение токовых значений альбедо тепловых нейтронов,

приведенных

в работе

[8], со значениями,

полученными Чандрасекаром

а (Ят , Ѳ„=0°) для

а (£.,) для плоского

мононаправленного

источника

изотропного

источника

при нормальном

падении

У.

X

результаты

значения

результаты

значения

работы [8]

Чандрасекара

работы [8]

Чандрасекара

0,25

0,046

0,045

0,1

0,020

0,022

0,35

0,071

0,070

0,3

0,071

0,074

0,45

0,100

0,098

0,4

0,104

0,107

0,55

0,136

0,135

0,5

0,144

0,147

0,75

0,246

0,248

0,6

0,192

0,195

0,85

0,342

0,340

0,7

0,254

0,257

0,95

0,538

0,536

0,8

0,340

0,342

0,98

0,672

0,673

0,9

0,477

0,478

В(\х0)

— у г л о в о е

распределение

падающего

на

рассеиватель

нейтронного излучения.

Успех

формул

(3.7)

и

(3.8)

дл я

мононаправленного

(при

Ѳо = 0°)

и

изотропного

углового

распределений

излучения

пло­

ских

источников

позволяет

надеяться,

что в ы р а ж е н и е (3.10)

мо­

ж е т

быть применено при расчете токовых интегральных

альбедо

тепловых

нейтронов для произвольного

углового

распределения

п а д а ю щ е г о излучения.

Альбедо тепловых нейтронов дл я

случая нормального

паде­

ния

тепловых нейтронов на полубесконечную

среду,

исследовал

т а к ж е Р а ф а л ь с к и й

[9]. Он

получил

следующую

формулу

дл я

токового

интегрального

альбедо:

а(Ет,

Ѳ0 = 0») =

1

,

(3.11)

2

L

V

J

где

V находится

из рис. 3.2.

к,

Значения токового интегрального

альбедо

в

зависимости от

рассчитанные

по данным работы [9] [формула

(3.11)],

вместе

с

результатами

Ферми

[1] и М о к е л а

[6] приводятся

на

рис. 3.3.

Анализ

этих данных показывает,

что, хотя формула

Ферми

(3.1)

выведена дл я больших N (слабое поглощение), она удовлетво­

рительно описывает обратное рассеяние тепловых

нейтронов и

при

наличии

сильного

поглощения.

Н а п р и м е р ,

д а ж е

при

N =

1,11

= -^- =

0,1 ^ расхождение

с

более

точными

данны ­

ми

работ [6, 9] не превышает 6%.

Вэллс [10] определил дифференциальное и интегральное

аль­

проведении

расчетов . предполагалось,

что тепловые нейтроны

рассеиваются

изотропно и без потери

энергии. П р о с л е ж и в а н и е

нятый

в работе

[10], приведен

в табл . 3.4.

Т а б л и ц а

3.4

Химический

состав бетонов,

принятый в работе

[10], 102 1

атом/см3

Портландскиіі

TSF-бетон

Элемент

ПортландскнІІ

TSF-бе гон

Элемент

бетон

(р=2,3 г/см1)

бетон

( р = 2 , 3

г/см')

(р=2,3 г/см')

( р = 2 , 3 г/см')

H

2,868

15,6

AI

1,32

О

43,260

39,6

Si

9,889

10,00

С

6,507

5,42

Ca

8,736

7,40

Mg

—

0,40

Fe

—

0,31

Анализируя

полученные

результаты,

Вэллс предложил

сле­

д у ю щ и е формулы д л я дифференциального

токового

альбедо

теп­

ловых

нейтронов:

д л я портландского

бетона

а(ЕТ,

Ѳ0 ;

Ѳ) =

0 , 2 1 j . ^ v V ; .

(3.12)

д л я TSF - бетона

(

а(Ет,

Ѳ0 ; Ѳ) = 0,2ц.

(3.13)

З а д а ч а об

угловом . распределении выходящих

из

среды

теп­

ловых

нейтронов р а с с м а т р и в а л а с ь т а к ж е

в работах

[1, 11—16].

а(Е1г Ѳ0 =

0°; Ѳ) =

ц + / з " ц»

(3.14)

я ( l +

2//3")

* TSF — Tank Shielding

Facility — башенная

установка для исследова­