Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

9) (а-р)л: = а[$х).

Теперь приведем определения наиболее важных для нас -конкретных алгебраических структур. При этом будем всюду "предполагать, что" все вводимые ниже законы композиции определены для всех элементов основного и вспомогательного множеств.

Таким образом, поле есть алгебраическая структура с дву­ мя внутренними законами композиции, характеризующимися следующими свойствами:

1—4) первый закон характеризуется свойствами абелевой группы;

5) второй закон дистрибутивен относительно первого; 6—9) второй закон, примененный ко всем элементам, кро­

ме нейтрального относительно первого закона, характеризу­ ется свойствами абелевой группы.

Нейтральный относительно первого закона элемент будем

.обозначать 0 и называть нулем (кольца или поля).

П

Для любого кольца имеет место

Те о р е м а . Для любого элемента х справедливо соотно­ шение

х-0 = 0.

Если элемент, симметричный данному относительно пер­ вого закона, обозначить, как выше, символам * над данным элементом, то доказательство протекает так:

и умножения есть кольцо без делителей нуля, но не является телом.

2. Совокупность всех квадратных матриц (элементы — действительные числа) одного и того же порядка относи­

структура, обладающая одним внутренним законом компози­ ции и одним внешним законом композиции, характеризую­ щимися следующими свойствами:

1—4) внутренний закон обладает всеми свойствами абелевой группы,

5)во вспомогательном множестве Q действуют два внут­ ренних закона комиоз'иц-ии так, что в Q имеет место структура кольца,

6)внешний закон дистрибутивен относительно внутреннего закона в М и относительно первого внутреннего закона в Q,

12

0 - х = 0 = а - 0 .

Имея в виду, что большинство свойств векторного прост­ ранства хорошо известно из курса высшей алгебры, мы на­ помним здесь лишь следующее важное правило," соответству­ ющее обычному арифметическому правилу «переноса из одной части равенства в другую»:

X = s х,

где е — элемент, симметричный с «единицей» е поля Q. Легко видеть, что в хорошо известных множествах векто­

ров трехмерного евклидова пространства и действительных чисел обычные операции умножения и сложения обладают всеми только что описанными свойствами структуры «вектор­ ное пространство.» Однако они обладают и некоторыми до­ полнительными свойствами, которые здесь нами не рассмат­ риваются. Мы не будем пока приводить никаких других примеров.

Если в множестве векторов ввести второй внутренний: закон композиции (его естественно назвать умножением), то получатся еще более интересные структуры. Среди них от­ метим структуру «алгебра над полем», которая характеризу­

Нетрудно видеть, что умножение обычных векторов трех­ мерного евклидова пространства, известное под названием векторного произведения, обладает свойством V, но не по­ рождает структуру алгебры над полем, так как для этого умножения не выполняется закон ассоциативности, т. е. век­ торы не образуют кольца относительно операций сложения и умножения.

14