Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

ющих. Поэтому iV =

15— 8 = 7 = Q.

Итак, изотропные комплексы определяются с произволом

двух функций двух

аргументов.

пера:

специальные

комплексы

т)2 =

0

и

полуспециальные

?з =

0.

комплексы\. = 0, которые

В § 5 мы выделили

характери­

зовались тем,

что

их

бицилиндрические

конгруэнции

«)| = 0

голономны. Нетрудно видеть, что и

боковая

цилиндричес­

кая

конгруэнция

ю3

= 0

в

таком

комплексе

голокомна.

В самом

деле

в

силу

того,

что

Dw\

=

[со^ю^],

получается,

что

[Du)J,

cu3] =

с, [ш1 и>1 ш3 ].

Из

геометрического

значе­

ния

$| (см. §3>

следует,

что

цилиндры

комплекса

=

0

являются

плоскостями. Из (47) следует, что аффинный

центр

любого

луча

такого

комплекса —несобственный,

что

согла­

суется

с

тем,

что

в

силу

(215)

один

из

инфлекционных

центров—несобственный.

В

силу

(46)

основной

цилиндро­

ид

совпадает

с

цилиндром

(выродившимся

в

плоскость),

который

в

силу

(172)

становится

также

асимптотическим

торсом. Понятно,

что

комплексы

= 0

должны играть

важ­

ную

роль

в

аффинной

теории комплексов.

Комплекс

?з =

0

можно

характеризовать

тем,

что

его

цилиндр имеет геометрическое место центров лучей

своей

ортогональной траекторией. В самом

деле

в силу

(33)

толь­

ко

при

$з =

0

будет

(а>)ш з ,,ш 2 = 0

_j_

е3.

что

центральный

Комплекс

V),

=

0

характеризуется

тем,

регулюс

(см.

32))

является

цилиндроидом.

В

силу

(46)

он

совпадает

с

основным

цилиндроидом,

а

аффинный

центр

совпадает

с

центром

луча. В силу

(172)

цилиндр

и>\

=

(ujj = 0

и основной цилиндроид вторично сопряжены.

Комплекс

% = 0

характеризуется

тем,

что

центральный

регулюс является

бинормальным.

Комплекс

^ =

0

характеризуется

тем, что

его

централь­

ный торс (см. (23)) вырождается в

плоскость,

а

также

тем,

что

этот торс вторично сопряжен

с

цилиндром:

В силу

(16)

комплексы

£3 =

0

и

С, = 0

можно

характе­

ризовать еще

и тем,

что отношение

двух

инвариантов

рав­

но

кривизне

комплекса: в

первом

случае

=

т}2)

во вто­

ром

&3 : \ х

=

г12.

Рассмотрим

комплекс

С3 : d = rl2, что равносильно нату­

ральному

уравнению >]2

Ct — = 0- Из (72) видно,

что

он

характеризуется

тем, что основной торс является

асимпто­

тическим. Из (215)

видно, что центр

луча

только

для это­

го комплекса (и для специального т]2 ==0)

является

инфлек-

ционным

центром.

Наконец, из (28) видим, что

кручение

1

центральной кривой равно — .

Если же потребовать

% : •»), — ~q->,

т. е. рассмотреть

комп­

лекс 7,, т]2 — Y J 3

— О, то в нем в силу

(172) центральный

торс

и центральный

регулюс

вторично сопряжены, а в силу (2\5)

инфлекционные

центры

расположены так, что их абсцис­

сы tt относительно

центра г связаны

соотношением:

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Б у р б а к и Н .

Э л е м е н т ы м а т е м а т и к и . А л г е б р а .

А л г е б р а и ч е с к и е

с т р у к т у р ы . Л и н е й н а я

и п о л и л и н е й н а я а л г е б р а . М . , 1962.

2. В

а г н е р В . В . Д и ф ф е р е н ц и а л ь н а я г е о м е т р и я н е г о л о н о м н ы х много ­

о б р а з и й .

V I I I м е ж д у н а р о д н ы й к о н к у р с на с о и с к а н и е п р е м и й им . Л о б а ч е в ­

ского .

К а з а н ь ,

1940, 195—262; Т р у д ы с е м и н а р а по в е к т о р н о м у и т е н з о р н о м у

а н а л и

з у , 2—3,

1935, 269—318.

8. К а г а н

В. Ф. О с н о в ы

теории

поверхностей

в

тензорно м

и з л о ж е н и и ,

i , 2. М , — Л , 1948.

9.

К а р т а н

Э.

В н е ш н и е д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е

системы

и

их

геометриче­

с к и е п р и л о ж е н и я . М., 1962.

10.

К а р т

а н

Э.

Теори я

конечных

н е п р е р ы в н ы х

групп

и

д и ф ф е р е н ­

ц и а л ь н а я

геометрия,

и з л о ж е н н ы е

м е т о д о м

п о д в и ж н о г о

репера . М., 1963.

11.

К о в а н ц о в

Н . И . Теори я комплексов . Киев, 1963.

12.

Л а п т е в

Г. Ф.

Д и ф ф е р е н ц и а л ь н а я геометрия

п о г р у ж е н н ы х

много­

о б р а з и й . Т р у д ы

М о с к о в с к о г о

мат . о б щ - в а ,

2,

1953,

275—382.

13.

Л а п т е в

Г. Ф .

О с н о в н ы е и н ф и н и т е з и м а л ь н ы е

с т р у к т у р ы

в ы с ш и х

п о р я д к о в

на

г л а д к о м

многообразии .

Т р у д ы

геометрического

с е м и н а р а

В И Н И Т И ,

1, 1966,

139—189.

14.

Л а п т е в

Г . Ф .

С т р у к т у р н ы е

у р а в н е н и я

главного

расслоенного

м н о г о о б р а з и я . Т р у д ы геометрического

семинар а

В И Н И Т И ,

2, 1969,

161—178.

15.

О с т и

а н у

Н . М. О

к а н о н и з а ц и и

репера

п о г р у ж е н н о г о

многообра ­

з и я . Rev. roumaine

math,

pures et appl., 7, №

2,

1962,

231—240.

16.

П л у ж н и к о в

И . С.

Л и н е й ч а т ы е

поверхности

и

метод ы их

иссле­

д о в а н и я . М.,

1964.

17.

Р а х у л а

М . О. О б о д н о м

аспекте

неголономной

геометрии .

Ученые

з а п и с к и Т а р т у с с к о г о

ун-та, 129, 1962, 23—36.

18.

Р а ш е в с к и й

П

К.

Т е н з о р н а я

д и ф ф е р е н ц и а л ь н а я

геометрия .

В сб.: « М а т е м а т и к а

в С С С Р

з а 30 лет» . М , — Л . ,

1948.

19.

С и н ц о в

Д .

М.

Р а б о т ы

по неголономной

геометрии .

Киев,

1972.

20.

Ф а в а р

Ж -

К у р с

л о к а л ь н о й д и ф ф е р е н ц и а л ь н о й

геометрии. М . , 1960.

21.

Ф и н и к о в

С П .

М е т о д внешних

ф о р м К а р т а н а

в

д и ф ф е р е н ц и ­

а л ь н о й

геометрии . М . — Л . ,

1948.

22.

Ф и н и к о в С. П . Т е о р и я

конгруэнции . М . — Л . ,

1950.

23.

Ф и н и к о в

С. П .

Т е о р и я

па р

конгруэнции . М.,

1956.

24.

Ц ы п к и

н

М . Е.

Д и ф ф е р е н ц и а л ь н а я

геометрия

комплекса

п р я м ы х .

У ч -зап. К а з а н с к о г о

ун - та, 114, №

2,

1954,

89—107.

25.

Ш е в а л л е К .

Т е о р и я

групп

Л и . М.,

1948—1958.

26.

Щ е р б а к о в Р . Н.

Л и н е й ч а т а я

д и ф ф е р е н ц и а л ь н а я

геометрия

т р е х ,

мерного п р о с т р а н с т в а .

И т о г и

н а у к и .

Алгебра .

Г е о м е т р и я .

Топология .

1965,

М „ 1967, 265—321.

Щ е р б а к о в

Р . Н .

О б и с с л е д о в а н и я х

по д и ф ф е р е н ц и а л ь н о й

геометрии,

в ы п о л н е н н ы х в Томске . И т о г и

и с с л е д о в а н и й

по

м а т е м а т и к е

и механике

за

50 лет . Томск ,

1968,

71—79.

27.

К о в а н ц о в

Н . И . Н е с к о л ь к о

аспектов

в

геометрии

неголономных

п о в е р х н о с т е й .

A n a l ,

stiint. univ. Iasi, sec.

Ia,

16, 1970,

63—95.

28.

A n t o m a r i

X. Application

de

la

methode

cinematique

a

l'etude

des

proprietes

des

surfaces

reglees.

Paris,

1894.

29.

B i a n c h i

L . Vorlesungen

iiber

Differentialgeometrie.

Leipzig,

1910.

30.

В r a u n e r

H .

Neuere

Untersuchungen

iiber

windschiefe

Flachen.

Jahresber.

Dtsch.

M a t h .

Ver., 1967, 70, 2,

61—85.

31. D o b r e s c u

A .

Asupra

suprafetelor

neolonome.

Lucrarile

consfat.

geom. diferent. 1955, Timisoara, 1956, 169—188.

32.

G h e o r g h i e v

G h . Despre

descompunerea

unui

complex

in

congru-

ente remarkabile

de

drepte.

An .

stiint

Univ .

Iasi,

sec.

1.

1,

1955,

53—68.

33.

G h e o r g h i e v

G h .

Observatii

asupra metodei

reperului

mobil . An .

stiint .

U n i v .

Iasi.,

sec.

la,

12,

1966,

85—118.

34.

G h e o r g h i e v

G h.,

P о p a I . Sur

la

methode

du

« r e p e r a g e »

et

la

theorie

des

varites

« e q u i p a r m e t r i q u e s » .

C.

R. Asad.

Sc.

Paris, ser.

A, 263,

1966, 9) I<—914.

G h e o r g h i e v

Gh.

Sur

la methode

du

repere

mobile. И з в . Мат . ин-т

Б ъ л г . А Н , 11,

1970,

17—25.

35.

G h е о г g h i u

G h.

Asupra

varietatilor

neolonome.

Lucrarile

stiint.

Inst. ped. Timisoara,

I960

(1961),

75—84.

15. З а к а з 6667.

225