Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

а, а, + а2а2

+ ... +а.пап

=

0

(1)

и не все а, равны

нулю,

то

векторы

а,,

а 2 , ... ,

а„

линей­

но

зависимы.

Если,

например,

ах

=^ 0,

то

равенство (1)

мож­

но

переписать в

виде

и говорить, что а\

есть линейная комбинация векторов

а2,...,а„.

Термины, которые мы только что напомнили,

позволяют

ввести следующее основное

О п р е д е л е н и е .

Совокупность

линейно

независимых

век­

торов, линейными

комбинациями

которых

являются

все

векто­

ры

векторного

пространства,

называется

базисом.

Векторное

пространство,

обладающее

конечным*)

базисом,

называется

конечномерным

(m-мерным,

если базис состоит из m

векторов).

Ниже мы

будем

иметь

дело

только

с

конечномерными

векторными

пространствами,

которые

будем обозначать Е

ной

и той

же

алгебраической

структуры,

т. е.,

например,

два

основных

множества

М

и

М*

и

два

вспомогательных

множества

И и 2*. Тогда для структур 5

= {М,

2} и 5* =

= {М*,

2*|

мы имеем одни и

те

же

аксиомы,

характери­

зующие

рассматриваемую

структуру.

Мы

будем

говорить,

*)

Т. е. с о с т о я щ и м из конечного

ч и с л а

в е к т о р о в .

Е =

ЕХЕ.

п

п

Пусть базис пространства Е состоит

из векторов

ег, е2,...,

еп.

Тогда элементами

п

Е

будут

пары

структуры

(хъ x2)

= (alet,

р ' е Д

i,

j=

1, 2,...,

n,

где a', р/ — коэффициенты

из

поля

2.

Из определения

про­

изведения гомологичных

структур

следует

( a % р / < ? у ) = а ' ( е „

0 ) + р > ( 0 ,

е,).

Следовательно, 2п элементов

(eh

0),

(0, е})

образуют

базис

Точно так же можно, очевидно,

образовать „т-ю

сте­

пень* векторного пространства Е, которая является

(т-п)-

мерным векторным

п

пространством:

m раз

Ея т

= ТХЁХ~.7ХЁ

•

п

п п

п

п

X =

(-^1.

х 2 ,

••• 1

хт)-

Мы будем

говорить, что

вектор X

пространства

Ет

содер-

жит

векторы

хх,

х2,...,

хт

пространства

Е.

п

Рассмотрим

другой,

важный

для нас,

п

образова­

способ

ния векторных

пространств

из

данного

векторного

прост­

ранства.

Следуя

общепринятой

терминологии,

мы будем

говорить,

что

задано

отображение

одного

векторного

пространст­

ва Я в другое векторное

пространство

V,

если

каждому

элементу

х 6 Е

поставлен

в соответствие некоторый эле­

мент

y g V .

Будем

обозначать

это

отображение

так:

у

= / ( * ) .

Если

Е

и

V

определены

над

одним

и

тем же

полем 2

Отображение /

называется

линейным,

если для

любых

xt,

х2,

а,, а2

имеем

Так как

/

К

*1 +

« 2 * 2 ) =

+

4f{X2).

/ ( 0 ) = / ( 0 . * ) = 0 . / ( * ) = = 0 ,

то

образом

нуля

при линейном

отображении всегда

являет­

ся

нуль. Отображение /

т-й степени

Ет

векторного

прост-

ранства

Е в

пространство V*]

п

полилинейным,

называется

п

если

оно линейно

по каждому

аргументу,

т. е. если

всегда

f(xu

Х2, ... , <XXi +

$x'i,...

, хт)

=

=

а./(хи

х2,...,

x'i,...,

xm) +

$f(xu

x2,...,x"i,...,

хт).

Здесь, конечно, все иксы суть

векторы

одного и того же

пространства

Е.

имеющие

в „наборе" хотя

бы

п

отображаются,

один нуль),

очевидно,

в нуль пространства

V:

/ ( * „ . . .

, 0 , . . . x j = 0 .

знакопеременным,

Полилинейное отображение / называется

в

нуль при т>

п.

п

Название

„знакопеременное" объясняется

тем, что имеет

место соотношение

/(...,

х„

xi+i

, . . . ) + / ( • • • ,

xt+u xt,...)=0.

(2)

Доказательство соотношения

(2) производится

следую­

щим

образом:

/(...,

Х[, X-l+ i, ...)+/(,..

,

Xi + i, xt,...)

=

=

/(...,

х,,

xl¥,,...)+/(...,

*,,...)

+

+

/(...,

Xi+ U

Xi+i, ..,)+/(...

, Xi+i,

*,,...)

=

=

/(...,

Xt,

Xi+i +

X,, ...)+/(...,

Xi + u

Xi+i +

xt,...)

=

=

/(...,

Xi + Xt + u Xi +

i + Xt, ...) =

0.

*)

Здесь

и далее

предполагается, что V есть пространство размерности

'ie

меньшей, чем размерность отображаемого пространства.