Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

В развернутом виде

это условие

принимает

вид

( w 3 d u > ! — u>!fifo>3

- f (ш1)2ш1

— ( c o | ) 2 u ) 2 ) T i = T a =

0 = О

или, так как в силу

(209)

«4 : < = К» + 0 : (th

~

Ъ)

= 7-*,

(210)

вид

( d a r c t g r * - « o * ) t l =

T ,«o =

0.

(211)

т.

е.

(ш3

+

<#)т, -

^ - о =

0

(212)

или

# =

-

ш» (<:8 +

г * ^

-

т 8 ) .

(213)

Вычислив

d f * по

(210) и учтя (213), мы

приведем

уравне­

ние

(211)

к

виду

( f t , - 7 j 2 ) ( l

+

Г*2 ) ( -

^

,

+

Г

Ч

+

"„)

+

(!

-

-

Г % ) ( -

<Г*Е3 +

Т*ъ

+ С8) +

T*t

(52 8

+

7^422 -

-

-

Г* (Ъз +

T * 7 j 2 2 -

/Г*т)2 1 ) +

tT*l2l

-

7*С2 2 - ; 2 Ч

= 0.

(214)

В терминах

канонического репера

7* =

—

£ : T J 2

и уравнение

(214)

принимает простой вид

(при

^ ^ О ) :

- 2 т ^ 3

+

(т]2 2 +

2гг2;,) ?2

+

2vj, ( Ч з

-

— ВДг)^ + 43 1Чз*1 — ^з) = 0-

( 2 1 5 )

В

общем

случае

уравнение

(215) на

каждом

луче опреде­

ляет

4 точки, называемые инфлекционными

центрами.

Инспекционный

центр характеризуется

геометрически тем,

кривую с особой точкой в инфлекционном центре.

W явля­

Т е о р е м а .

Фокусы

неголономной

конгруэнции

ются инфлекционными

центрами

луча.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим неголономную

конгру­

энцию, определяемую

уравнением

со1

= 0 в

полуканоничес­

ком

репере,

и

потребуем,

чтобы

ее

фокусы

удовлетворяли

уравнению

(214).

Для

фокуса

F, =

г — С,е3

имеем

Т* = 0,

t =

— С2 и (214)

дает

А'*

;, 3

- с3

+ d

ы + ш

= о.

(216)

*)

З а м е т и м ,

что

на

д и а г р а м м е

Ц и н д л е р а

(см. § 5) эта п л о с к о с т ь и з о б р а .

ж а е т с я той ж е

точкой,

что и

все в е к т о р ы

(209).

Для фокуса Fx~r

имеем

t

= О, Т* =

—",.,:•/).,,

и (214)дает:

+ ( T J , -г- V ; 2 )

to

-

V i 3 ) =

0.

(217)

Сравнивая (216)

и (217) с

(193),

получаем

X*

=

Qu

(218)

ющими торсам комплекса, проходящим через

этот луч, име­

ет место взаимно-однозначное соответствие,

установленное

му центру /г

= / •

+ ttes(где

tt—

корень уравнения (214))

со­

ответствует

на

диаграмме

точка

кривой второго порядка

х0 :

: х, : х2 = —T*ti:

Т* : 1.

В о5щем случае эти четыре точки

IiIiUU

на плоскости

диаграммы.

Каждая

пара

вершин

оп­

ределяет прямую Z.,7 —нгголономную конгруэнцию

W,

имею­

щую

фокуса лш

инфлекционныг

центры

/г

и

/-.

Эти шесть

прямых, пересекаясь попарно, определяют семь

точек,

ко­

торым

соответствуют

(см. сноску

в начале §5)

регулюсы /,,

/ 2 ,

/ 3 ,

/ 4 , Л"?, Кя.

каждый из которых одновременно

принад­

лежит двум

неголономным

конгруэнциям

U". Четыре

из

них

суть

торсы

конгруэнции

W,

а остальные

три,

как мы

сей­

час увидим, суть главные регулюсы, проходящие

через

луч.

В самом

деле,

точка

К>, например,

полярно

сопряжена

с прямой /С2 /\'3

(а

следовательно,

и с точками К2

и К~3) от­

носительно

кривой второго

порядка Ф, = 0

и двух

вырожден­

ных

кривых

второго

порядка,

состоящих из пар

прямых Z.3 2 ,

LVt\iL2u

L V i .

Все

эти кривые

принадлежат,

очевидно, одному

и тому

же пучку

Ф,

Ь лФ, = 0. Но этому же

пучку

принад­

лежит

кривая Ф 2 = 0.

Следовательно,

точка

/<,

сопряжена

с К2

и

Кз и

относительно

этой

кривой. Это

означает,

что

точки Kj являются

попарно

двояко

сопряженными, т. е. изоб­

ражают на диаграмме главные

регулюсы. Прямые

КхК2,КлК3

и К2К3

изображают, очевидно,

главные неголономные

конгру­

энции.

Точки прикосновения М = г - f

любого регулюса,

при­

надлежащего неголономной конгруэнции

W, делят

ее

фоку­

сы гармонически, как мы это установили

в § 9.

Следова­

предложение: если точки прикосновения регулюса

комплек­

са

делят

гармонически две

пары инфлекционных

центров,

то

этот

регулюс — главный.

Мы получили, таким

образом,

вершинника

/ ь

/2 , /3, h,

можно получить проективную класси­

фикацию

комплексов

по числу

кратных

инфлекционных

центров

и выяснить свойства

соответствующих главных ре­

гулюсов.

Отметим

некоторые

связи

понятия инфлекционного

цент­

ра с

ранее

введенными

понятиями. Прежде

всего, так как

точки

/ ь

/2 ,

/3, Ц принадлежат

четырем

кривым

пучка

Ф 2 4 - 2> . Ф| - ^0

(именно

коникз

Ф, — 0 и трем

распадающим­

ся коникам

ФоЧ^А/Ф, = 0 ) , то они принадлежат и любой

кривой

этого пучка, в частности

кривой Ф2

= 0. Следовательно, они яв­

Применив

теорему Виета к уравнению (215),

найдем, что

сумма абсцисс

tx + t2-\-13-\-tt

инфлекционных

центров от­

носительно

центра луча

комплекса

равна

2 v j 1 : £ 1 . Следова­

тельно, в силу

(47) аффинный центр

луча

комплекса явля­

ется центром симметрии

относительно

четверки инфлекци­

онных центров:

г* = г

•{-

е3 = г +

1

(*! + U + t3

+

t,) е3.

I

25,

4

§ 12. Специальный

комплекс

и его обобщения

т , 2 = 0

(219)

занные с

ней понятия (точки прикосновения

и т. д.).

Совокупность торсов теперь

определяется

уравнением

ю ' ш ^ И ,

которому

на диаграмме

Циндлера

соответствуют

две

прямые х0х2

=

О, так как кривая

второго

порядка (78)

распадается на две

прямых. Их

общая точка

соответству­

ет

центральному

торсу ш1 = со3 =

0, поляра

ее (т.

е. боко­

вая

неголономная

конгруэнция)

становится

неопределен­

ной. Аналитическими следствиями уравнения (219)

являют­

ся

соотношения

1i

=

0, rj3 = 0, ; 1 - r - t s =

0,

(220)

Подставив

(220) в два

оставшихся

уравнения системы

(10), приведем ее к виду

[dh

+

tt&uh

^]

+ К , «II

= 0 ,

К ,

соЧ-[<*;3 ,

«II = о ,

(221)

г — г (и,

v)

и отнесем ее к каноническому

реперу г, i u i2, / 3 (см. [20]:

стр. 245). Деривационные формулы этого репера

имеют вид

dr = v1il

4-

v42,

dix =

{iy

+ I2v*)

i t

+

Iav43,

(222)

di2

=

- (I,v' + I2v2)

*\ 4- 74z>2/3,

di%

= — Izv4x

—

Uv42,

Введем

вектор

0i =

— sin fix + cos cp/2

и

рассмотрим

комплекс

касательных

/? = г 4- А (/, cos ср 4- / 2

sin ср)

с

первичными

параметрами и, v, ср. Для его репера г, е,, е2 =

=

/ 3 ,

е3

имеем

деривационные

формулы

dr

=

(г»2 cos Ф — и1 sin с?) е, - f (и2 sin <? + vx cos ср)

е3,

det

-

vJej,

i, у = 1, 2,

3,

где

•у? =

sin ср-/3 г>1

4- cos с р - / 4

v2,

v3

=

Ixvl

+ /2 г>2 4- Д>,

х)3

=

/ 4

sin ср.-и2

4- cos <?-I3vl .

Сравнивая

деривационные

формулы

полученного

репера

с

деривационными

формулами

(8) при со2 = 0 и (220),

полу­

чаем,

что они совпадут,

если

положить

ш1

=

v2

cos ср — vx sin ср,

ш 3

=

• у 2

Sin ср 4- Vх COS ср.

При

этом

(вследствие

независимости базисных форм v\ v2)

возникнут

следующие

конечные соотношения:

(С3

/ 4

— 1) sin ср — d cos ср — О,

( ч 3 / 3 —

l)cos? 4 - sinc p

= 0 ,

поверхности и УГОЛ ср:

„

1

3

/3 cos2 9

4- /4sin2--p '

; 1

= (/ 4 - / 3

) 13 ,

(223)

i

j т г

•»1

— J3 '4 ^3 •