Файл: Шнепс, М. А. Численные методы теории телетрафика.pdf

Как следует из теоремы Адамара1I),* для максимального по мо­ дулю собственного числа имеет место оценка: |$24|^ 2 max(A,j +

+ р^) = 2(20 + 23) = 86.

Более интересен следующий эмпирический факт. Оказалось, что координаты собственных векторов являются знакопеременными числами и по модулю не превосходят 10. Это очень важный факт для практики вычислений, 'который заранее .нельзя было пред­ видеть.

Результаты вычислений показывают, что методом вычисления переходных вероятностей на основе разложения по собственным векторам системы можно получить точное решение достаточно больших процессов размножения и гибели. Положительной особен­ ностью метода является отсутствие накопления ошибок по мере счета.

3. Применение метода Рунге—Кутта

При численном решении системы (26) методом Рунге—Кутта при тех же значениях параметров А.г = 20, \n = i оказалось, что ре­ шение системы является неустойчивым: с ростом t сумма вероятнос­ тей становится больше единицы. Уже при (> 1 распределение ве­ роятностей становится абсурдным, так как сумма вероятностей пре­ восходит единицу. Далее ошибки еще больше увеличиваются, и при (= 10 сумма вероятностей превосходит значение 1,47.

На рис. 3.1 изображены отдельно p3(t) и ps(i) при рг(0)=1. По точным данным следует, что уже при t= 2 устанавливается стацио­ нарное распределение. Заштрихованная область указывает на рост

>) Теорема Адамара (см. например, Пароли [115]) утверждает, что собст­ венные числа s квадратной матрицы А = {а ц } порядка п находятся в пересечении

следующих двух областей комплексной плоскости:

,п

I — объединение кругов |а;<—5|ig; ^ |aii|, £=1...... п;

50

ошибки для вероятности pb(t). Следует заметить, что были приняты все меры борьбы с ошибками. Начальные значения вычислялись до­ статочно точно на основе степенного разложения в точке /=0. Программа автоматически меняла шаг для обеспечения заданной точности. Оказалось, что причиной неустойчивости решения являет­ ся собственное число s = 0, которому соответствуют стационарные ■вероятности. Из-за ошибок округления это число иногда становится больше нуля, что приводит к возникновению собственных функций eat , где а > 0 , которые вызывают быстрый рост ошибки. Приведем

Подставляя (34) в правые стороны (26), получаем:

— М.2

Р\ — Ц^.— Цг

т

Р 'п ^ Я п

Согласно (34) умножаем обе стороны уравнений на указанные справа величины и складываем попарно. Получаем систему

Собственные числа системы (35) совпадают с собственными нену­ левыми числами системы (26).

Преобразование (34) устраняет неустойчивость системы (26), но одновременно теряется условие 2 р ,= 1, что служило контролем точности. Так как число функций </, на единицу меньше, чем функ­ ций ри для (получения всех pi к системе (35) добавляем, например, соотношение р'о=<7о•Численное решение системы (35) показало, что при больших t (соответствующих установлению стационарного рас­ пределения) функции <7,(7) стремятся к нулю. Для увеличения точ­ ности приходится вводить масштабные множители.

Недостатком метода является сравнительно большая затрата машинного времени. Решение системы десятого порядка с шагом 0,001 -в интервале 16(0, 10] занимало час машинного времени БЭСМ-2М.

51

4.Степенное разложение матрицы интенсивностей перехода

Если используем обозначения

Р-1 — — pi

0 Ца

и P (0 = {Po(0> Pi(0 • • •}> то P'{t) = P{t)A.

Отсюда следует, что

Р' (0) = Р(0)Л;

Ри,) (0) =г. Р {п~' ’ (0) А = Р (0) Ап .

Поэтому для P (t) имеем формальное разложение в ряд Тейлора:

i= 0

При вычислении на ЭВМ решения системы в виде (37) для усе­ ченного процесса с интенсивностями Xi=lk, i^ .ti— 1, \n = i, i ^ n (ос­ тальные параметры равны нулю) установили, что последователь­ ность векторов

имеет следующие свойства:

1) знаки одноименных координат чередуются;

2) последовательность модулей одноименных координат до не­

3) максимумы модулей соответствующих одноименных коорди­

сти одноименных координат (38) сильно колеблются. Для достиже­ ния требуемой точности необходимо производить вычисления с уд­ линенной ячейкой памяти.

5. Факторизация переходных вероятностей

Указанными выше недостатками обладает метод факториза­ ции переходных вероятностей P i j ( t ) посредством ортогональных по­

Матрица интенсивностей перехода процесса размножения/щ.' ги-"

52

Для многих процессов размножения и гибели существуют клас­ сические ортогональные полиномы, которые дают решение задачи.

53

где Г(х) — гамма-функция; для целых х Х ) имеем Т(х) — (х— 1)! Полиномы L“ (х) определяются рекуррентной системой:

Используя известное выражение (Диткин и Прудников [50]) правой части (44) через гипергеометрическую функцию, после ал­ гебраических преобразований получаем окончательную формулу в виде

' t y+/-2fe

X

H - lJ

Но конечное решение через известные ортогональные полино­ мы удается получить только в частных случаях. В общем случае следует искать приближенное численное решение. Коротко изложим идею нахождения такого решения методом моментов. Будем вычис­ лять значения моментов

*) Коэффициенты ah можно найти в справочнике Л. А. Л ю с т е р н и к и др. «Математический анализ. Вычисление элементарных функций» (справ, библ. матем.). М., «Физматгнз», 1963.

54