Файл: Шнепс, М. А. Численные методы теории телетрафика.pdf

Аналогичными рассуждениями получаем среднее время перво­ го перехода из состояния / в состояние 0. При выводе M|jo учтем, что процесс, заданный на [т, п\, симметричен относительно взаим­ ной замены параметров А,, и р,-, т. е. для получения Mgjo достаточно

/ 2 0*

(24)

М 5 „ - J } - - 1 k= 1

Из выражения (24), устремляя п к оо, при условии существова­ ния стационарного распределения для процесса на [0, оо] (см. § 1.2.2) получаем среднее время первого перехода ш состояние 0 из состояния / для процесса, заданного на (0, оо]:

а=1

р$k

4G

3.2. АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

При решении различных задач управления, например, динами­ ческого управления потоками вызовов, надо знать не только стационарные характеристики процесса, но также различные его переходные характеристики, которые описывают процесс в началь­ ном периоде времени и учитывают зависимость от начального со­ стояния.

Вычисление переходных вероятностей процесса размножения и гибели облегчается тем обстоятельством, что при данном началь­ ном состоянии процесса i и данном времени наблюдения Т можно выбрать такую окрестность состояния i, из которой траектория про­ цесса не выйдет с заданной вероятностью 1—е. ‘В математической физике в этом случае говорят, что «не чувствуется 'граница».

Вместо исходного процесса, заданного на множестве 0, 1, 2,..., оо (обозначим это множество через [0, оо]), рассмотрим про­ цесс, заданный на [0, п]. Назовем данный процесс усеченным про­ цессом. На конкретных примерах коротко рассмотрим четыре ме­ тода вычисления переходных вероятностей:

1) на основе разложения по собственным векторам матрицы интенсивностей перехода;

2)численное интегрирование методом Рунге—Кутта;

3)степенное разложение матрицы интенсивностей перехода;

4)факторизация переходных вероятностей.

Из результатов вычислений, изложенных ниже, следует, что наи­ более приемлемым методом является разложение решения систе­ мы дифференциальных уравнений по собственным числам и собст­ венным векторам матрицы интенсивностей перехода. Оказалось, что координаты собственных векторов растут медленно. Этот факт заранее не был известен. Теоретически изучен только вопрос об об­ ласти расположения собственных чисел. Метод Рунге—Кутта тре­ бует много машинного времени. Перед его применением следует преобразовать матрицу интенсивностей перехода так, чтобы устра­ нить нулевое собственное число, что является причиной роста оши­ бок вычислений. Последние два метода — степенное разложение матрицы интенсивностей перехода и факторизация переходных ве­ роятностей ■— на практике менее применимы, так как дают реше­ ние в виде знакопеременного ряда с быстрорастущими коэффици­ ентами, что требует проведения вычислений о удлиненной машин­ ной ячейкой.

1. Определение переходных вероятностей. Свойства

P'nW = K-X Pn-X (0 - (K + Pn) Pn(t)

47

При отыскании переходных вероятностей P j(t) можно пользоваться интегральным преобразованием Лапласа:

{s; о, п>

где {s; 0, п} — определитель матрицы (29); {s; 0, п; i, j} — видоиз­ мененный определитель {s; 0, п}, в котором /-й столбец заменен на столбец начальных вероятностей, состоящий из единицы в i-м мес­ те, что соответствует pt (0) = 1, и нулей во всех остальных местах. Заменяя состояние 0 на т, рассмотрим соответственно определите­ ли {s; т, п} и {s; т, п\ i, /}. Предположим {s; т, п) = 1 при т = п. Разложением по последнему столбцу получаем

{s; т, п] = {Хп + р„ + s) {s; т, п — 1} — р Д ,^ {s; т, п — 2}.

Аналогично разложением по первому столбцу получаем

-г (h т Pi + s) {s; т, i — 1} {s; i -j- 1, n} —

38

Заметим, что {s; т, п\ i, /}T= {s ; т, щ /, t'}, где знак Т обозначает

один из корней равен нулю, а остальные корни различны и отрица­ тельны.

числе между нулем и наименьшим по модулю корнем) лежит один корень полинома (s; in, n + 1}.

4. Если корни упорядочены в виде s0< is1< i...< .sn- m, то в ряду координат /'-го собственного вектора имеется точно / перемен знака.

2. Разложение по собственным векторам

Вычисляем собственные числа So,--v sn матрицы коэффициен­

тода при нахождении.переходных вероятностей, p.ij(t) приведем чис­

..49