Файл: Шнепс, М. А. Численные методы теории телетрафика.pdf

Г л а в а

3

множестве состояний т,

о т + 1,..., п— 1,

п,

т. е. имеющий ненулевые

параметры А,-, р,-, i= m ,

т + 1,..., п. Изучим qi — вероятность дости­

жения состояния п+1 раньше состояния т— 1, исходя из состояния

i, и соответственно, 1—qi — вероятность

достижения

состояния

т— I раньше состояния

га+1, исходя

из

состояния г.

Составим

уравнения для qi. Пусть начальное состояние равно i.

После слу­

чайного времени пребывания в этом состоянии процесс переходит

в состояние t'+ l

о,

с вероятностью-------— и в состояние i— 1 с веро-

Яг+Рг

ятностью — —---- . Следовательно, можем написать

Яг+рг

п —

иг

n

I

Я,-

1

Я/ +

р{-

1~'

Я,- + р/ я,.+1.

откуда получаем систему

V-fli-x— ( h + Pt)qt +

biqtw =

i = r n ,m + 1, . . n,

( 1)

с граничными условиями: qm- i= 0 ,

<7n+ i= l. Так как

Иг

_|

h

_

1

Яг+ рг

Я.,-+р/

Рт4 l_ri

' ^-£+ (*£

и последовательно получить:

__ д.—

Ич '

■ •ИчП

Qi+i

Q1

\l .

. . \т ( Я ,

(заметим,

что qm-1 = 0);

t-1

£—1

\4

<7,= Y i ( ^ + . - ^ ) =

S

Ят•

■ %!

/= т— 1

i= m —1

£—1

Ц/п_■ •И

2

•Л./

(2)

, i= , J = = L

, /«'<£ <п.

V

i^2L.

Нт

/= т—1

•Я./

Предполагаем, что при / = т — 1

Иш

W _

= 1.

Я,т • • •Л./

2. Распределение

времени первого

перехода

Рассмотрим тот же процесс, заданный на

множестве т,..., п.

Через qij(t)dt обозначим вероятность того,

что первый переход в

состоянии / произойдет за промежуток (t, i+ d t),

не заходя за вре­

мя t в т — 1, при условии, что x (0 )= i. При

этом предполагается,

что

1.

Введем преобразование Лапласа:

Qu (s) = | e_s< ft,- (0 dt.

(3)

о

хода из /— 1

в /, то по теореме о свертке преобразований Лапласа

Qij (s) — Q[, i+i (s) Q(+i. £+2(s) • • ■Q,—i, j (s)-

(^)

Выведем

интегральное уравнение для <7i, ,+iCO-

Из свойств тра­

процесс переходит в состояние £+1

с вероятностью

-—^— и в со-

Л/т-

стояние £— 1 с вероятностью

—

. Если процесс

перешел в со­

ния £— 1 в £ + 1, что

можно

представить как

свертку функций

q i-i.i(t)

и qi,i+i(t).

На основе этих рассуждений легко проверить, что имеет место

следующее интегральное уравнение:

- ( \-+и,-)/

i

v

Ai+ Pi

+

j

j

(М-Ц.-)е

4+yii}t </,•_!. /(y—<u) qti l+i(t — u) cludv. (5)

i>=0 u=0

Применяя к (5) ф-лу (3)

и теорему о свертке,

получаем

Ql, 1+1 (S)—

_L

+ S—

. (S)

(6)

Для рекуррентного вычисления по ф-ле (6) надо знать преоб­

разование для функции qmim+i(t). Так как

Vm-M (0 =

е •(Чи+^m) '

(7)

ТО

Qm.m+I (S)

=

,

1 Кт ,

-

(8)

Ат + Pm Т s

Из (6) находим

— [1— HQk-\,k (°)]

У

/п\

( И )

Из (8) следует, что

Qm,«+i(0) = ■ ^

;

(12)

Л-m"Г Цт

да

____

(13)

(hn + lO 2

Для вычисления

(11)

надо знать Q,,i+т(0)

и Q 'i, ;+i(0)

при msc:

— 1,

что можно

получить на основе 'рекуррентных

ф-л (6)

и (11), начиная от (12)

и (13). Например,

Q•KI, +1,т+ ,(0 ) =

- к ш+ 1 1+ Рш+ 1

О^т~Т рт)~ -

(14)

^т+1 Ч 1-1(П+1 (-lm+ 1 ,Ли

Иуп/

« f e - S

s ’ p

w

:

k=i

Из определения преобразования Лапласа следует

D 6» .» + ,= м

- ( « 6llt+,)!

=<з;.,+, т -

(0)]=.

не)

Для нахождения (16) следует иметь

l,v ^

,m

UHQ"k^ , k (о)

,

2я *[1 —

(О)]2 М7ч

Чк,к+Л и>

[X* +

Q * _ , ( 0 ) j a '

[Xft+ p ft- p * Q ft_ , , fe(0)]3

л1 >

а для начального шага,

кроме (12)

и (13), необходимо еще соотно­

шение

2Х„

Q:

(0) =

(18)

Urn +

Pm)3

хода в случае, когда задан процесс на [т, п\ так,

что Лп = Ц т= 0.

При этом, естественно считать,, что т = 0.

. ..

|.1о= 0. В таком случае

из

(12) и

(13)

следует,'

что Qoi(0) = 1,

Q/oi(0) = —

и из (6)

Qh, ft+i(0) =

l. Следовательно, рекуррентная

Л-о

•

..

г

ф-ла ( 11) принимает вид

« ;.1+ l(0) =

- J r (

i -

fltQ;_1.4(0) ) .

: Г

’ " i m