Файл: Шнепс, М. А. Численные методы теории телетрафика.pdf

Принципам 1—4 удовлетворяет только схема а, для схем б, в, г, (3 нарушены принципы 1,2,3, 4 'соответственно с соблюдени­ ем остальных принципов. Ис­ ключение составляет схема в, для которой, кроме принци­ па 2, 'нарушен также принцип 1, 'Что приводит, как видно из численных данных, к дополни­ тельным потерям по сравне­ нию со схемой б во всем диа­ пазоне X. Схема г хуже схе­ мы а из-за нарушения прин­ ципа 3: труппы имеют неоди­ наковое число общих линий, .в отличие от схемы а. Схема д хуже схемы а из-за наруше­ ния принципа 4: в ней линии размещены не в одной верти­ кали, как в схеме а, а со сдви­ гом, что порождает добавоч­ ные потери.

В качестве вывода по это­ му численному примеру мож­ но высказать гипотезу, что равномерные схемы, т. е. пос­ троенные согласно принципам 4—4, оптимальны в диапазоне больших и средних значений параметра X, а в диапазоне ма­ лых значений X может быть выгодным иарушение принци­ па 1. Что же касается прин­ ципов 2—4, то их нарушение при любых значениях X увели­ чивает вероятность потерь.

Приведем еще другой на­ бор схем с теми же парамет­ рами (табл. 5.3), который ил­ люстрирует переход от схемы а, оптимальной при больших я средних значениях X, к схеме ж, оптимальной при малых X, но мере нарушения равномер­ ности построения схемы.

Схемы, приведенные в табл. 5.3, построены следующим об­ разом:

89)

1) взяты всевозможные наборы значений мощностей контакт­ ных множеств Ц, i = l , 2,..., v, при соблюдении условия i2 li = nd\

2) для каждого набора значений построена схема, удовлет­ воряющая принципам 2—4.

Таблица 5.3 иллюстрирует сложность выбора оптимальной схе­ мы в области небольших нагрузок. При Л = 0,0625 (и Л-Ю, как до­ казано ниже) оптимальной является схема ж, содержащая мак­ симальное число индивидуальных линий, однако при несколько большей нагрузке Л =0,25 не полностью равномерные схемы г и е являются лучше, чем равномерная схема а и ступенчатая схема ж.

3.Колебание нагрузки увеличивает область оптимальности равномерных схем

Подтверждение этой гипотезы покажем на примере схем, представленных на рис. 5.1. Предположим, что параметр К пред­ ставляет собой случайную величину, распределенную по нормаль­ ному закону с заданным средним значением и дисперсией, равной 0,01. Для вычисления вероятности потерь в этом случае берем дан­ ные табл. 5.1 и интегрируем их, умножая на весовую функцию плотности вероятностей нормального распределения. Получаем

табл. 5.4, 'из которой следует, что точ­ Т А Б Л И Ц А 5.4 ка пересечения для схем а и б 'сдви­ нулась 1в область 'меньших (потерь и кривые пересекаются приблизительно при Л=0,55. В целом ib области ма­ лых потерь при колебаниях нагрузки вероятность потерь растет, а в обла­ сти больших нагрузок падает (ср.

табл. 5.1 и 5.4).

па абонентов имеет по одному месту ожидания, которое за­ нимает абонент, потерявший вызов. Ожидающий абонент произ­ водит повторные вызовы (с интенсивностью р,) с целью занятия

90

свободной линии. Подробнее о повторных вызовах рассказано в гл. 6. Таблица 5.5 показывает, что наличие повторных вызовов су­

кривых вероятности потерь я2 (отношение потерянных вызовов ко всем вызовам) практически остается на месте (ср. с табл. 5.1). То же можно сказать относительно щ — вероятности потери первич­ ного вызова.

5. Вероятность потерь при регулярном потоке

Замена пуассоновского потока регулярным потоком (длитель­ ность интервала фиксирована и равна единице) несколько умень­ шает область оптимальности равномерных схем. Таблица 5.6 пока-

зывает, что точка пересечения кривых вероятности потери для схем на рис. 5.1 переходит из точки Л =0,7, где они пересекались при пуассоновском потоке (см. табл. 5.1), в более высокую точку око­ ло Л = 2 при регулярном потоке. Заметим также, что при регуляр­

91.

6. Схемы, для которых кривые вероятности потерь пересекаются дважды

Численные данные о схемах с небольшим числом линий (на БЭСМ-ЗМ можно вычислить вероятность потерь для схем с и ^ Ю ), а также приводимые ниже степенные разложения вероятности по­ терь развивают нашу интуицию в том направлении, что при упоря­ доченном искании свободной линии в области малых потерь опти­ мальными являются ступенчатые схемы, а в области средних и больших потерь — равномерные схемы. И хотелось бы думать, что кривые вероятности потерь любых двух схем пересекаются только

Т А Б Л И Ц А 5.7

однажды. Однако это не так, что сильно осложняет исследование неполнодоступных схем в области средних потерь. Результаты табл. 5.7 показывают, что для схем а и б, а также для схем б и г, соответственно, кривые вероятности потерь пересекаются дважды.

7.При случайном поиске оптимальными являются равномерные схемы

Данное утверждение хорошо иллюстрирует табл. 5.8, где приведены те же схемы, что в табл. 5.3. Там было показано, что при упорядоченном искании свободной линии преимущество рав­ номерных схем перед ступенчатыми по мере нарушения равномер­ ности схемы уменьшается и сохраняется только в области больших нагрузок, В табл. 5.8 можно четко проследить, что нарушение рав­ номерности в построении схемы равномерно увеличивает вероят­ ность потерь во всем диапазоне нагрузок, что равномерно лучшими являются полностью равномерные схемы (схема а в табл. 5.8) и самыми худшими являются ступенчатые (схема ж ). Преимущество схемы а перед схемой ж подтверждают и асимптотические разло­ жения 4) вероятности потерь по степеням X:

и 5.3.

92

93