ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 152
Скачиваний: 0
Таблица 5.9 показывает, что три малых нагрузках оптимальной является ступенчатая схема а, содержащая индивидуальные ли нии, а при больших нагрузках — равномерная схема б. Это соотно-
T А Б Л И Ц А 5.9
А |
п |
- |
|
|
|
|
|
||
|
а) |
|
У |
|
40 |
0,9280 |
|
0,9278 |
0,9318 |
4 |
0,4911 |
|
0,4862 |
0,5329 |
1 |
0,1049 |
|
0,1064 |
0,1107 |
0,4 |
0,2065-1 0 - 1 |
0,2271-Ю -1 |
0,2234-10_| |
|
0,04 |
0,2035-10- 3 |
0,2630-10_3 |
0,2481-10_3 |
|
0,004 |
0,2004-10- 5 |
0,2663-10- 5 |
0,2498-10-5 |
|
шение между схемами а и б сохраняется в области Я-»-0 и Л->-оо. Первые члены соответствующих асимптотических разложений мож но получить из аналитических выражений для вероятности потерь:
= |
X2 (8Ь3 + 20Х2 + |
|
16*,+ 3) . |
|
|||
Па |
2(1 + Ь)3 (4Х2 + |
4Ь + 3) |
’ |
|
|||
_ |
ЗА2 (1 +2Х ) |
|
|
. |
|
|
|
Лб |
6Л« + 9А.2 + 6А. + 2 ’ |
|
|
|
|||
= |
X2 (192Х3 |
+ |
256Х2 |
+ |
112?, + |
15) |
|
^ _ |
192Х,6 + 400Х4 |
|
+ |
256Х3 |
+ |
1Ш 2 + |
49Х + 6 |
1 |
3 |
А,2-г... Подставляя |
Например, при Л,-й) яа= — А2+ ...; |
я б = — |
|
К = А (2 в первом и Х=Л/3 во втором |
случае, |
имеем па — 8 Ла + |
_3_ Л2+ ... .Отсюда следует, что схема а лучше схемы б три
18
малых значениях Л.
Однако высказанное в заглавии настоящего пункта предполо жение выполняется не всегда, что, ви димо, связано с дискретным характером НС: при увеличении числа групп п на 'единицу тип НС может измениться ка чественно. Такого рода противоречащий высказанному 'предположению пример содержит рис. 5.2, где приведены две
Рис. 5.2. Схемы, иллюстрирующие сложность вы бора оптимального числа групп п
94
схемы |
с |
параметрами d = 2, и = 5, но отличающихся по п: |
а) п= 6; |
б) |
« = 4. Исходя из стремления заменить первую вертикаль |
схемы на индивидуальные линии при малых значениях Л,, можно предположить, что схема б лучше схемы а. Однако, как показыва ют асимптотические разложения при зуалых А (к= А /п ), схема а лучше схемы б:
=-j- А2 + о (А2); л:7= -L- А2 + о(А2).
5.2.СТЕПЕННЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОСТОЯНИЙ НЕПОЛНОДОСТУПНОЙ СХЕМЫ
1.Уравнения для стационарных вероятностей состояний
При предположении, что на НС с параметрами п, d, v посту пают п взаимно независимых пуассоновских потоков (каждый с па раметром л), а время обслуживания подчинено экспоненциально му закону (с параметром 1), действие НС можно описать марков ским процессом с конечным множеством состояний 5 (число их равно 2и).
Как уже введено в § 1.3, в состоянии * 6 S через |х| обозначим число занятых линий. Обозначим через Ах множество тех состоя ний, из которых освобождением одной из |х| + 1 занятой линии можно перейти в х; Вх — множество тех состояний, которые полу чаются освобождением одной из |х| занятых линий в состоянии х. Пусть гху — число тех групп абонентов, от которых вызов, посту пивший в состоянии х, переводит схему в состояние у; s(x) — чис ло групп, которым доступна хотя бы одна свободная линия в со
стоянии х, s(x ) = 2 гху.
иеАх
Стационарные вероятности рх являются решением системы алге браических уравнений, имеющей вид
[|*| + Я ,«(*)]/?,= £ |
Ру+Ъ Yi Ругух, * 6 5 . |
(1) |
УеАх |
уев х |
|
Система (1) является линейной однородной системой уравнений по отношению к {р^ х € 5 } , причем определитель системы равен ну лю (одно уравнение является следствием других), и, следовательно, система (1) имеет нетривиальное решение вида
Px = PxW, |
(2) |
где Я* (Я) — многочлены по X с целыми коэффициентами, и любое другое решение (1) пропорционально этому. При использовании нормирующего условия
в е р о я т н о с т и р х о п р е д е л я ю т с я о д н о з н а ч н о :
|
Рх(М |
(4) |
Рх |
X Р*М |
л-g S
т. е. рх получаются в .виде рациональных функций от А. Зная рх, нетрудно вычислить вероятность потерь
ле s I л |><г
или |
X У(х)рх, |
|
* = |
6 |
|
|
X£ S |
() |
где у(х) |
— условная вероятность потерь: |
|
Hv) = i _ jlW .
(7)
2. Решение в виде разложений по степеням А,
Систему (1) можно приближенно решить в виде бесконечных разложений по степеням к и А,-1. Коэффициенты таких разложений вычисляются по рекуррентным соотношениям. Для многих практи ческих целей, например, для сравнения схем при малых пли боль ших нагрузках вполне достаточно иметь несколько первых коэффи циентов разложений, представляющих решения.
Переходим к выводу разложений по степеням л. Ниже через гх обозначен элемент с индексами 0, х в |х|-й степени матрицы R, где R — матрица, составленная из элементов гху (остальные эле менты равны 0), т. е. первая строка в матрице Юх' . Легко видеть, что гх равно числу различных строго возрастающих путей (т. е. со стоящих из одних занятий), которые переводят схему из состояния Ов состояние х.
Будем искать решение системы (1) |
в виде |
|
|
|||
рх - |
Xм (с„ (х) + сх (х) А + |
с2 (х) А2 + |
. . .), |
х 6 S. |
(8) |
|
Подставляем выражение (8) |
для рх в систему (1): |
|
||||
[ |х| + |
A s(x)] |
{?J ^(с„ (х) -|- Ci (х) A -J- Са (х) А2 + |
• • •)} = |
|
||
= |
I |
tix l + l {c0(y) + c1{ y ) X + c 2(y)W + |
. . ,)}2+ |
|
||
|
УеАх |
|
|
|
|
|
+ |
X гух^ Х] (со (У) + ci (У) АД- • • •)• |
|
|
|||
|
уевх |
|
|
|
|
|
96
Приравняем нулю коэффициенты при одинаковых степенях X. При А,1-'1 имеем
|а'|с0( * )= |
Y. гухс0(у), |
|
|
|
|
(9) |
||
приА,Л'|+ 1 |
i/e в х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\х\С1 (х) + |
.?(х) с0(х) = 2 |
Ф ) + |
2 |
V |
i (У) |
|
||
и т. д. В общем случае |
|
уе лх |
уе вх |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|Л’ I ст (х) + 9 (х) сш_ 1 (х) |
= |
V |
сш_,(г/)+ |
2 |
rvxcm{y), |
т = 1,2, . . . |
||
|
|
|
УеАх |
|
|
Уевх |
|
(19) |
Так как из системы (1) |
рх определяются с точностью до нормирую |
|||||||
щего множителя, то положим: |
|
|
|
|
|
|||
со (0) = 1, |
ст(0) == 0, |
щ ф 0, |
|
|
|
(11) |
||
и тем самым имеем первое граничное условие для |
рекуррентной |
|||||||
системы (L0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Выводим второе граничное условие. Для хб L r (т. е. |х] = 1) из |
||||||||
(9) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
гУхс0 (У) = |
г0хс0(0) - |
г0х\ |
|
(12) |
|||
|
У & вх с . ц |
|
|
|
|
|
|
|
длкх(ЕТ2 из (9) |
и (11) |
следует |
|
|
|
|
|
|
со (*) = -£- |
2 ] V » |
= |
2 ] |
Г°'/ух = |
2\Гх |
|
||
|
yeBxcLt |
|
|
.ves^ct, |
|
|
|
|
и т. д. В общем случае получаем второе граничное условие для ре куррентной системы (10):
СоМ = г £г;> x€ s - |
(13) |
I* И |
|
Таким образом, получаем, что на основе рекуррентного соотно |
|
шения (10), переписанного в виде |
|
CraW = |
W cm-1W +Cm2]- 1 (У ) + 2j Ф |
т Ц ’ |
:(14) |
|
|
yeAx |
у&вх |
|
|
совместно с граничными условиями (11) |
и (13) можем найти раз |
|||
ложения вероятностей состояний по степеням X в виде |
(8). |
|
||
Граничные условия |
(11) можно видоизменить так, |
чтобы найти |
||
степенные разложения рх, удовлетворяющие нормирующему усло вию, а именно, следует брать
с0 (0) = |
1; |
|
Ci (0) + |
2 |
Со (х) — 0; |
|
-veL, |
(15) |
са (0) + |
2 |
Ci (х) + 2 с0 W = 0. |
|
хев, |
xql, |
А— 264 |
9 7 |
Соотношения (13)— (15) также определяют решение системы (1).
П р и м ер . Рассмотрим трехлинейную НС, изображенную на рис. 5.3 и подробно исследованную в § 1.3.5. Вычислим для нее пер
/ |
|
вые три коэффициента |
разложения mo X, |
удов- |
||||
Д |
летворяющих |
условию |
|
нормированности |
(15). |
|||
О |
|
|||||||
у |
Для анализа схемы .введем обозначения состоя - |
|||||||
2 |
I |
ний x = ( i j k ) , |
где i, /, |
k |
относятся |
к 1, 2 |
и 3-й |
|
О |
Л.ШНЧ1Я1М соответственто |
и |
равны 0, |
если |
линия |
|||
О |
||||||||
АВ .свободна, и 1, если линия занята. Матрица и«-
Р и с . |
5 .3 . |
Трех- |
течтсивностей |
терехода, |
как |
ои а постр |
|||
$ 1.3.5, 'имеет .вид |
|
|
|
||||||
линейная НС |
|
|
|
||||||
|
— 2 Х |
X |
X |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
/ 1 |
— 1— 2 Х |
0 |
0 |
X |
X |
0 |
0 |
||
|
1 |
0 |
— 1 — 2Ь |
0 |
X |
0 |
X |
0 |
|
А ==— |
1 |
0 |
0 |
-1 — 2 Х 0 |
X |
X |
0 |
||
0 |
1 |
1 |
0 |
— 2— 2 Х |
0 |
0 |
2 Х |
||
|
|||||||||
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
- 2 — X |
0 |
X |
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
— 2 - -X |
X |
|
' |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
— 3 |
|
Перед вычислениями отметим, |
что |
|
|
|
|||||
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
о
о
0
0
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
I |
1 |
Первая строка матрицы Д2= (0 0 0 0 2 1 1 0), первая строка матрицы R3= (0 0 0 0 0 0 0 6).
При вычислении коэффициентов разложения C i ( x ) удобно поль зоваться следующей схемой расчета, основанной на видоизменен
ной записи матрицы А:
1) составляем таблицу коэффициентов, взяв матрицу А и опус кая в ней К;
2)справа от нее пишем компоненты векторов-столбцов Со, сь сг,
3)вычисление коэффициентов начинаем с того, что пишем
с0(000) = 1 |
согласно (15); |
условия |
в (13) |
имеем Со(100) = 1, |
|
4) из второго граничного |
|||||
fn(€10) =1, |
Со(001) =0, с0(110) = |
I |
=1 |
(г1ю=2, |
потому |
|*|!|*=(1Ю )
что имеем две возможности непосредственного перехода из (000) в (110)), с0(101)=Со(011) =il/2, со(111) =6/31 = 1;
эк