Файл: Шнепс, М. А. Численные методы теории телетрафика.pdf

Скачать файл (8,78Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 151

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

5) из BTioipoiro условия iB (15) ct (000) = —[со( 100) + cO'(010) +

+Co(001)] = —2;

6)из (14) находим Ci(100) = —2-1 +1 + 1/2+1 •(—2) = —5/2итак

весь столбец сп
7)	из третьего уравнения в (15)
	с%(000) = — 5/2 — 5/2 + 1 + 1 + 1/2 + 1/2 = — 2;
8)	из (14)
	св(100) = — 2(— 5/2) + (— 3 — 1/2)+ 1-2 = 7/2

и так весь столбец с% Результаты вычислений запишем в виде таблицы:

	Со	Cl	Со
(000)	1	—2	2
(100)	1	—5/2	7/2
(010)	1	—5/2	7/2
(001)	0	1	—3
(НО)	1	—3	16/3
(101)	1/2	-1/2	—2/3
(011)	1/2	-1/2	—-2/3
(111)	1	—7/3	28/9

Подставляя результаты вычислений в (8), получаем


р(000) =		1 — 2Я + 2Я2 +	* »
р(Ю0) =		Я — 5/2Я2 +	7/2Я3 +		• • •;
Р(010)=ь		Я — 5/2Я2 +	7/2Я3 +		• - •;
Р(001) =		Я2 — ЗЯ3 +		• - •;
Р (1Ю) =		Я2 — ЗЯ3 +16/ЗЯ4+				• ■ •;
р(101)	=	1 /2Я2 — 1 /2Я3		— 2/ЗЯ4 +		• ■
Р(011)	=	to 1	■1/2Я3	— 2/ЗЯ4+		• ■
		То >>
р(111) =			Я3	— 7/ЗЯ4 +		28/9Я5 +

Так как вероятность потерь рассматриваемой схемы

* = ^-[р(Ю1)+р(011)] + р(111),

то получаем первые члены разложения л по степеням Я:

л = 1/2Я2 + 1/2Я3 — ЗЯ4 + • • ;

3.Решение в виде разложений по степеням Я-3

Выше было рассмотрено, решение системы (1) в виде разло^ жений по степеням' Я.' Такое решение дает представление о поведе нии НС при малых Я, т. е. при малых нагрузках. Для изучения НС

при больших нагрузках удобно иметь выражения для р(х) в виде разложений по степеням Л-1. Соответствующие формулы для коэф фициентов разложений получаются аналогично разложениям по 'Степеням X, только .в качестве состояния 0 выступает .состояние v (все линии заняты), и рекуррентные вычисления надо начинать не с х = 0, а с x = v. Поэтому приведем соответствующие формулы без их подробного вывода.

Решение ищем в виде

р (х) = Х~и+М(do(х) + ck (х) ЛГ1+					d2(х) Х~2 +	• • •).		(16)
Подставляя (16) в (1) и приравнивая коэффициенты при одинако
вых степенях X, получаем
! л-1 dm_ { (х) + s (х) dm (х) =		У d,n(у) +				(У)
		жах			твх
или, разрешив относительно d,n(x),
dm	d m - 1 ( х )			уеАхd m { y ) + иевх		ГухС1,п- л	ы )■ (17)
	(x)=7iri_\|x\|		+ S		Е		ы )■ (17)
Добавим граничные условия:
1)	по хб S при пг= 0
d0(x) =								(18)
2)	по т при x = v выберем такое разложение dm(v),							т —\0, 1...,

чтобы получаемые степенные разложения р(х) по А-1 удовлетворя ли нормирующему условию. Для этого следует наложить условия:

do (v) = 1;

d\ (и) -j- 'V do (x) — 0;

v—\		(19)
		(19)
d-i (v) + ^	W +	d° W =
x q L о—1	x q L v—2
Соотношения (17) — (19)		полностью определяют разложения р(х).

по степеням Х~1 в виде (16).

Пр и м е р . Вычислим для схемы, данной на рис. 5.3, первые три коэффициента разложения для вероятностей состояний по степе ням Х ~ Х Воспользуемся схемой вычислений, описанной подробно для разложений по степеням X. Только в этом случае вычисления векторов решения ■— векторов d0, di, d2 — идут снизу вверх, а не сверху вниз, как в случае ср, си с2. Результаты вычислений сводим в таблицу:

100

	000	100		010	001	по	101	011	111	+	di	4,
000	— 2Х	X		X	0	0	0	0	0	5/4	— 13/4^85/16
100	1	— \— 2Х		0	0	X	X	0	0	3/4	— 13/8-35/16
010	1	0	—	— 2Х	0	X	0	X	0	3/4	—13/8 35/16
001	1	0		0	- -1—2.Х	0	X	X	0	1	— 13/4 25/4
по	0	1		1	0	- - 2 — 2Х	0	0	2Х	1/2	— 1	11/8
101	0	1		0	1	0	— 2 - Х	0	X	1	—11/4 37/8
011	0	0		1	1	0	0	- 2 - Х	X	1	—11/4 37/8
111	0	0		0	0	1	1	1	—3	1	—5/2	4

Получаем решение:
р(000) =				5/4АТ3 — 13/4А, 4 +				85/16А
р (100) =		3/4/Г2 — 13/8ДГ3 +				35/16АГ4 +		■ •
р(ОЮ) =		3/4А 2 — 13/8А, 3 +				35/16А, 4 +		■ ■ ■;
р(001)	=	Х~2 — 13/4Л.- 3			+	25/4Г-4 +		• • •;
Р(110)	=	\/2Х~1—		X-2	+	11/8А.-3 +		■ •
Р(101)	=	Ь-1	— 11/4А,- 2 +			37/8АГ3	+	• ■
Л (011) =		А- 1 — 11/4АГ2 + 3 7 18Х~3					+	• ■ •:
р(111)=1-—5/2А		*	+	АХ 2	+	ф л т

Для вероятности потерь я = -^ -{р (101)+ р (011)]+ р (111) получаем

разложение я = 1—3/2Л,-1 -h5/4 А,_2+ ...

4.О сходимости степенных разложений

Интервал сходимости степенных разложений вероятностей со стояний и вероятности потерь определяется соответствующими тео

ремами о сходимости степенных	рядов. Например,	разложения
р(х), определяемые системами коэффициентов {ст(х)}		и	{dm(x)}
с учетом нормирующих условий (15) и (19) соответственно,			по сте
пеням X сходятся для
Х < (lim sup I ст (л:) \|m+ к1 )	,		(20)
т —со
я по степеням Я-1 для
1
А. > Нш sup \| (л:) \|			(21)

101

Разложения я(1)	по степеням X сходятся для
X < i	>ир \|ст(х) \|	(22)
и по степеням	для
% >	sup \|dm (х) \|	(23)
xqS m	oo

Выражениями (20) — (23) трудно пользоваться на практике. Более конструктивный подход к оценке области сходимости степенных разложений дает изучение характеристических корней многочлена 2 Рх(Х) в знаменателе выражения (4).

Степенное разложение вероятности потерь в окрестности А,=0 сходится для X|<|/mfn|, где rmin — минимальный корень много

члена 2	Рх {к	в знаменателе выражения (4). Соответственно раз
ложение	л в	окрестности А,= оо сходится	для [А,\| > \|г,Пал:\|т где
Гтах — максимальный корень многочлена			?,Р х{Х). Покажем это

на численном примере.

Схема на рис. 5.3 имеет вероятность потерь

_	3/2^ -р 8Я3 + 10X4-К4Х5
_	3 4- 13Х + 25?,’- ;i- 27Х,3 ■- 16Х,4 + 4>,й '

Находим, что ее знаменатель имеет два комплексно-сопряженных

корня гi,2 = ---- — ±	г, модуль которых	равен]/~3/2г и	трех
кратный корень г3 = гь = гъ= — 1. Отсюда,		рассматривая	область
комплексных чисел,	получаем, что разложение по степеням % схо