Файл: Шнепс, М. А. Численные методы теории телетрафика.pdf

2) модифицированному принципу 3х: «Распределение линий по группам следует проводить так, чтобы минимизировать выражение

где к — число линии с г контактами».

Д о к а з а т е л ь с т в о . Для доказательства рассмотрим коэффи­ циент при А,-3 в (32). Докажем справедливость принципа 2. Через к обозначим число линий, 'которые имеют г контактов. Заметим, что в выражении (2 Т + М—L2) /п величины L и Т не меняются при сдви­ гах контактных множеств по вертикалям. Остается изучить вели­ чину М:

ние, не зависящее от расположения контактных множеств по вер­ тикалям. Следовательно, надо минимизировать вторую сумму или, точнее, минимизировать величины где k + l ^ j s ^ v , что достигается, если линия i расположена левее линии / во всех груп­ пах, для которых доступны обе эти линии. Отсюда следует, что линии с числом контактов г надо ставить перед линиями с числом контактов r + 1, что и требовалось доказать.

Сейчас переходим к доказательству модифицированного прин­ ципа 3х. Рассмотрим числитель коэффициента при к~3 в (32):

108

+ (v— k) (V— k — 1) •(r+1)3

Так как заключенная в квадратные скобки часть выражения посто­ янна, то следует минимизировать сумму первых трех слагаемых.

После умножения этой суммы на г/4 и приведения подобных членов получаем выражение (34), приведенное в условиях теоремы. Тем самым доказана необходимость соблюдения модифицирован­ ного принципа 3'.

3.Обсуждение результатов

Теоремы 5.1—5.4 доказывают часть предположений, высказан­ ных в § 5.1 на основе анализа численных данных в случае упоря­ доченного искания свободной линии. Дальнейшее исследование ко-

109

'эффнцие1Нтов аси'М|Птоти'чежого |ра13лож-0ИИ|Я при >-оо может при­ дать принципам построения равномерных схем более конструктив­ ный вид, хотя ето мюисет шрюизойти з-а счет утраты их (нагладнос-ти, наподобие тому, как вместо принципа 3 в теореме 5.4 пришлось перейти к модифицированному принципу 3'. По поводу принципа 3 можно лишь заметить, что при больших г (34) мало отличается от (33). Полученные выше доказательства принципов 1, 2, 3 и 3' осно­ ваны на первых четырех членах разложения (32).

Использование следующих членов для получения новых прин­ ципов выбора оптимальных НС затруднительно из-за их громозд­ кости. Кроме того, для доказательства принципа 4 в случае, когда nd делится на v, первых пяти членов разложения недостаточно; для схем, приведенных в табл. 5.10, совпадают не только первые четы-

ре, но и пятые члены разложения (32), а сами результаты таблицы подтверждают целесообразность соблюдения принципа 4 при Х-*-оо.

Получение полного доказательства теоремы 5.1 (доказательство принципов построения оптимальных НС при Х-Я)) остается пока что нерешенной задачей.

5.4. ИНЖЕНЕРНЫЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПОСТРОЕНИЯ РАВНОМЕРНЫХ СХЕМ

Задача построения равномерных схем является очень труд­ ной, так как методика построения равномерных схем недостаточно разработана. Ниже приводятся несколько методических приемов, которые упрощают построение равномерных схем. При некоторых значениях параметров п, d, о эти приемы дают решение задачи, но в основном получается лишь приближенно равномерная схема. Ос­ новной рекомендуемый прием — это составление НС из «красивых» подсхем, названных нами цилиндрами, и сведение конструируемых равномерных схем к схемам, близким к «красивым».

110