ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 158
Скачиваний: 0
всего 6 линий, а при учете повторных вызовов — значительно боль- -ше, например, при интенсивности повторных попыток pi= 30 тре буется 10 линий. Эти примеры объясняют тот факт, что проектное значение вероятности потерь обычно превышается на практике (по результатам измерений на сети), и значение обслуженной нагруз ки при измерениях оказывается ниже запроектированной.
Исследованием поведения абонентов серьезно занялись только в последнее время, хотя проблема повторных вызовов известна еще
-со |
времен Эрланга. Созываются |
международные симпозиумы |
|
(в |
1970 г. в Лондоне состоялся Пятый международный симпозиум |
||
по психологическим факторам в системах связи |
(Human Factors in |
||
Telecommunications)). Эта проблема |
детально |
обсуждается на |
|
Международных конгрессах по телетрафику. |
|
||
Интерес к проблеме повторных вызовов объясняется необходи мостью учета дополнительной нагрузки, создаваемой повторными вызовами. Особенно важно учесть их влияние на управляющие уст ройства, которые по мере централизации управления АТС и внед рения ЭВМ становятся особенно дорогими: при неудачной попытке -соединительные линии занимаются па короткое время, но создают полную нагрузку на управляющие устройства. Приведем данные 1Хейварда и Вилкинсона (фирма Белл, США) [220], которые пока зывают влияние поведения абонента на телефонную систему. Наи большую дополнительную нагрузку на управляющее устройство да ют фальстарты (например, похлопывание по рычагу). Хотя средняя длительность таких занятий всего несколько секунд и они совсем не занимают соединительных путей, но нагрузка их на управляю щие устройства может составить до 30%. Снятие телефонной труб ки без набора номера (или небрежно положенная трубка) приводит к занятию сигнальных проводов, что составляет до 10% общей на грузки. Такие занятия длятся часами и бывают причинами повтор ных вызовов из-за кажущейся занятости вызываемого абонента. Случаи неполного набора (из-за ошибок при наборе, замечаемых самим абонентом) составляют 5— 10% всех вызовов.
Усиленный интерес к проблеме повторных вызовов привел к ус пехам: на шестом конгрессе по телетрафику в Мюнхене было до ложено несколько независимых решений простейшей задачи по- 'вторных вызовов (Бретшнайдер [172], Ионии и Седол [65], Фидлин ‘[139], Шнепс—Шнеппе [285]), которая подробно рассматривается в следующем параграфе.
6.2.ПОЛНОДОСТУПНАЯ СИСТЕМА С ПОВТОРНЫМИ ВЫЗОВАМИ
1. Формулировка основной задачи
Сформулируем постановку задачи с повторными вызовами. Назозем ее основной задачей. На полнодоступный у-линейный пу чок поступают два потока: пуассоновский поток первичных вызовов ■интенсивности 7, и поток повторных вызовов от конечного числа
J18
абонентов (источников повторных |
вызовов) |
интенсивности йц, где- |
к — число источников повторных |
вызовов. |
Поступающий вызов- |
(первичный или повторный) занимает одну свободную линию (если, такая имеется) иа случайное 1в<ре1.мя, ipaoropеделенное то экспонен циальному закону с параметром, равным единице. Если поступив ший вызов является повторным и есть свободная линия, то k умень шается на единицу. Если свободной линии нет, то в случае первич ного вызова к увеличивается на единицу, а в случае повторного вы зова состояние системы не меняется. Обозначим через p(j, к) ве
роятность того, |
что в стационарном равновесии занято / |
линий (j = |
||||||
= 0, 1,..., |
v) и имеется к источников повторных вызовов |
(/г=0, |
1...)~ |
|||||
Тогда для p(j, к) имеем систему линейных алгебраических уравне |
||||||||
ний: |
|
|
|
|
|
|
|
|
{X + |
v)p(v, |
k) = Xp(v, /г — 1) + |л(/г+ \)p(v— 1, /г + |
1) + |
|
||||
+ |
Xp(v— 1, k) |
|
|
|
|
(1> |
||
(X + |
j + |
р к) p( j,k) = р. (к + |
1) р {j — 1, |
к 4- 1) + |
X р (j — |
|||
“ |
1> |
Щ -|- (у -f- 1) р (j + 1, |
k)r j = 0, |
1,. • ■ |
v — 1., |
|
||
с условием нормировки |
|
|
|
|
|
|||
s i > a |
* > = 1 . |
|
|
|
|
(2)- |
||
к—0 1=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Система |
(1) |
в общем случае не имеет простого аналитического- |
||||||
решения, |
кроме случая v = 1, который рассмотрим ниже. |
|
|
|||||
Приведем основные характеристики, |
которые |
выражаются |
че |
|||||
рез p(j, к) |
и представляют практический интерес при изучении си |
|||
стемы с повторными вызовами: |
|
|||
. 1) |
среднее число занятых линий |
|
||
|
J = ^ |
j y i p(j, ку, |
(3> |
|
|
/=1 |
к=0 |
|
|
2) |
среднее число источников повторных вызовов |
|
||
|
K = |
|
*); |
(4> |
|
к=1 |
/=0 |
|
|
3) |
среднее число вызовов в единицу времени |
|
||
L = K p + X; |
(5>- |
|||
4) |
среднее число повторных вызовов на один первичный вызов |
|||
М = * £ - • , |
(6> |
|||
|
|
Л |
|
|
5) среднее время от момента поступления первичного |
вызова' |
|||
до обслуживания (среднее время ожидания) |
|
|||
|
Т = — М; |
(7у |
||
6) вероятность потерь по вызовам
Л. = |
К\х |
------ *---- |
|
|
K \ .i + X |
7) вероятность потерн первичного вызова
k—0
2. Решение в случае однолинейной системы
В случае о= 1 система |
(1) |
имеет решение: |
||
р ( 1, |
й) = |
(Я,+ йц)р(0, |
й), |
k > 0 |
|
|
k-\ |
|
|
р ( 0, |
ft) = |
7 ^ n ( H i n ) p ( ° , 0), Й>1 |
||
|
|
1=0 |
|
|
|
|
|
|
k - \ |
(8)
( 10)
р(0, |
0 ) - ‘ = |
1 + |
^ + ^ ( 1 + Ь + й р ) - ^ П ( ^ + |
|
||||
|
|
|
|
|
fc=l |
|
1=0 |
) |
Непосредственной подстановкой |
(10) |
в (3)— (9) |
получаем |
|||||
J |
= |
X, К = |
i-tJL |
- r ^ - r ., т1 =— —J - t—li1------ X |
|
|||
|
|
|
р |
|
1 — X |
р |
1 — X |
(П) |
£ |
_ |
X (1 4~ Хр) |
|
__ (1 ~r р) X |
|
|
||
|
|
1 — X |
’ |
' |
1 — X |
|
|
|
Заметим, что при p-voo полученные выражения совпадают с ха рактеристиками однолинейной системы с ожиданием. Действитель но, из § 2.1.3 имеем:
— средняя длина очереди |
|
К1 = - ^ — ; |
(12) |
1 —Л |
|
— среднее время ожидания |
|
Тг = — — . |
(13) |
1 —X |
|
Для системы с повторными вызовами соответствующие характе ристики К и Т в (11) всегда больше Ki и Ti в — (х-- раз. При прак-
тически |
встречающихся значениях р =20—30 |
11 |
соответствие обоих |
||
у |
йГ |
1 “Гр |
моделей достаточно близкое, так что множителем-----— можно пре-
небречь. Следовательно, расчет системы с повторными вызовами можно делать по формулам системы с ожиданием. Посмотрим, до пустима ли такая замена для оценок вероятности потерь по вызо
J 20
вам. Из (6) и (11) находим среднее число повторных вызовов на; один первичный вызов
(14)
Получаем два выражения для вероятности потерь: 1) в системе с повторными вызовами
М _ (I + ц) % .
—
1 + м _ 1 + |
’ |
2) в системе с ожиданием согласно (13)
|
Тг / — |
|
я2 — |
/ |
У- |
|
1 1 — % Я.}Л |
|
|
м - п / |
|
|
— |
|
Из (15) и (16)
1—х
- ^ = 14-
|Л(1 4-
(15)
(16).
(17),
1?ис. 6.3. Сравнение точ ного (лч) и приближен ного (яг) значений ве роятности потерь по вы зовам:
а) для однолинейной си стемы при нагрузке Х=
=0,5; 6) для 10-линей-
ного пучка
Так как А.С 1, то всегда Я1> я 2 и при А->-1 и/или р.-»-оо оба зна чения совпадают. На рис. 6.3а дана иллюстрация такого сравнения.. Забегая несколько вперед, укажем, что подобные соотношения меж ду Я1 и я2 наблюдаются для и > 1 (рис. 6.36).
3. Решение переходом к системе с ожиданием
Проведенное сравнение решения основной задачи в случаеоднолинейного пучка с тем, что получается при ее замене на систе му с ожиданием, подсказывает применимость такого подхода и, для произвольных V. Если в полнодоступном пучке с повторными вызовами даны: v — число линий; Л — обслуженная нагрузка;. 1/д — среднее расстояние между повторными попытками, то веро ятность потерь по вызовам я можно приближенно определять сле дующим образом. По данным v и X из таблицы для второй форму лы Эрланга (например, [184]) ищем соответствующее им среднеевремя ожидания Т и вычисляем
1+ 7>
121:
'.Если же даны Я, я и ц, то для нахождения v вычисляем из (18)
(19)
И (1 — я)
;и по данным Я и Т из таблиц находим соответствующее v.
На рис. 6.2 дан пример, иллюстрирующий поведение кривых ве роятности потерь по вызовам (18) для 10-лииейного пучка при разных р. На этом же рисунке приведена кривая первой формулы Эрланга Eio(k), которая показывает, что в случае повторных вызо- :вов бессмысленно применять указанную формулу для системы с потерями. Большую ошибку дает также замена вероятности потерь
.по вызовам на вероятность ожидания Р >0■Кривая Р>0 учитывает
Я
Рис. 6.4. Диаграммы для определения числа линии v при повторных вызовах по заданной вероятности потерь л в зависимости от интенсивности потока по вторных попыток
-только вероятность потери первичного вызова. На рис. 6.4 изобра жены вычисленные по ф-ле (19) кривые, по которым можно прово щить инженерный расчет необходимого числа линий v.
Мы привели этот приближенный метод решения системы с по вторными вызовами, основанный на переходе к системе с ожидани- -ем, в надежде, что такой подход может быть полезен при рассмот рении более сложных систем с повторными вызовами, чем полнодо- ■ступная. Сам по себе он имеет ограниченную ценность, так как ■сформулированную основную задачу можно решить численно. Со ответствующий алгоритм изложен ниже.
4.Переход к системе с конечным числом источников повторных вызовов. Алгоритм Ионина— Седола
Как уже было сказано, система (1) в общем виде не имеет
•простого аналитического решения. Однако для численных расчетов «ее можно несколько видоизменить, что не влияет на точность ре-
4122