Файл: Шнепс, М. А. Численные методы теории телетрафика.pdf

ства. Если в некоторый момент t процесс x(t) находится в состоя­ нии х, то время пребывания tx в этом состоянии является случай­ ной величиной, распределенной по экспоненциальному закону с параметром —ахх, т. е.

н в момент t + tx процесс переходит в состояние у с вероятностью

--- вхх

Так как

&ХХ 2.J ахУ<

U&S, хфу

то эти соотношения определяют цепь Маркова, вложенную в про­ цесс Маркова над множеством моментов переходов.

4. Уравнения равновесия и стационарные вероятности

При помощи матрицы интенсивностей перехода А задается стационарный марковский процесс x(t), 0, принимающий значе­ ния из множества состояний S. Матрица переходных вероятностей

P(t) = {Pxv(t)}, где pxy(< t)= P {x(t)= y/x(0 )= х }, процесса x(t) удов­ летворяет уравнениям Колмогорова—Чепмена:

4at р (*)= ATP(t) = P(t)A

с начальным условием Р(0) =/ (I — единичная матрица). Решени­ ем этой системы является P ( t ) = e At.

Если множество 5 образует один существенный класс сбстояний без циклических подклассов, что имеет место в случае НС и ком­ мутационных систем вообще, то существует распределение стацио­ нарных вероятностей р = { р х}- Вектор финальных вероятностей яв­ ляется решением однородной системы

где Т обозначает транспонирование матрицы.

Для окончательного определения стационарного распределения требуется добавить лишь нормирующее условие 2 p i = l . С учетом

Это так называемые уравнения равновесия, имеющие простой физический смысл. Левая часть уравнения выражает среднюю ско­

23

рость выхода из состояния х, а правая часть — среднюю скорость входа в состояние х при условии, что коммутационная система на­ ходится в равновесии (в стационарном режиме).

5. Численный пример

Составим систему уравнений равновесия (42) для схемы, представленной на рис. 1.2, пользуясь диавраадмой переходов, изо­ браженной на рис. 1.12. Заметим, что из-за симметрии схемы мож­ но попарно объединить состояния, в которых занята одна из инди­ видуальных линий. При этом получим систему из 6 состояний вме­ сто 8 (23), что изображено на рис. 1.12. Введем обозначения со­ стояний (в фигурных скобках указаны номера занятых линий):

Тогда система (42) принимает вид:

2Хрх — р2+ р3

(2Х + \) ръ—2'крх -f- 2р4+ ръ

(2Х + 1)р3 = р-а

(2Я, -{- 2) р\ = Xр2 Ре

(Я,-)- 2)ръ—Хр2+ 2Х р3 + 2р6

Зрв = 2X рх X р5

Одно из ее решений следующее (без учета нормирующего усло­ вия) :

р4 = ЗХ2 + 4Х3+ 2Х“;

р & = ЗЯ,2 + ЮЯ3 + 8Я4;*

р6 = ЗЯ,3 + 6Я4 + 4ЯЛ

Отсюда получаем вероятность потерь с учетом того, что по (35) У5= 1/2, у6= 1 и остальные уг= 0:

24

Основные формулы теории телетрафика

Внастоящей главе на основе теории процес­сов размножения м гибели получены про­

стейшие формулы теории телетрафика (формулы Эрланга для полнодоступной системы с потерями и с ожиданием, для идеально симметрической системы с потерями и д р .), а также различные обобщения этих формул. Приведено ин­ тегральное представление формулы Эрланга и показана целесооб­ разность его применения.

2.1.ПРОСТЕЙШИЕ ФОРМУЛЫ

1.Формула Эрланга для полнодоступного пучка с потерями

Пусть дан о-линейный полнодоступный пучок с потерями при пуассоновском потоке вызовов интенсивности К и экспоненциально распределенной длительности разговора со средним значением, равным единице. Тогда вместо (1.38) имеем:

и а,-j равны нулю при остальных значениях индексов, г ф j. Формулой Эрланга E V(X) называют вероятность занятия всех

линий, которая согласно (1.34) имеет вид

Это так называемая первая формула Эрланга. Введем еще распределение Эрланга

26

2.Формула Энгсета

Вотличие от предыдущего случая — вывода формулы Эрлан­ га, изменим только одно условие: вместо пуассоновского потока, что в математическом смысле возможно при бесконечном числе абонентов, 1иред(положи1М, что ноток создается конечным числом абонентов N. В состоянии с i занятыми линиями интенсивность

где = С1'N — обозначение биномиального коэффициента.

С учетом нормирующего условия из (4) получаем формулу Энгсета — вероятность занятия у линий:

1 = 0

Введем два определения нагрузок, связанные с ф-лами (1) и (5): 1) пуассоновская нагрузка первого рода (та, при которой вы­

ведена формула Эрланга (1)); ‘ 2) пуассоновская нагрузка второго рода (нагрузка, создавае­

мая конечным числом источников нагрузки, как в случае вывода формулы Энгсета (5)).

Если при пуассоновской нагрузке первого или второго рода ин­ тенсивность обслуживания равна р, то в ф-лах (1) и (5) в качест­ ве X следует подставлять Х/р.

3.Формула Эрланга для полнодоступного пучка с ожиданием

Пусть поступает пуассоновская нагрузка первого рода на у-линейный полнодоступный пучок. Вызовы, поступившие в состоя­ нии с у занятыми линиями, не теряются, а ожидают. Соответствую­ щий процесс размножения и гибели имеет интенсивности переходов:

27