Файл: Шнепс, М. А. Численные методы теории телетрафика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 138

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Т А Б Л И Ц А

9.1

 

 

 

 

л

Va(А )

Y<(A1

Ys(A)

Y«(A)

я ( Л )

20

0,074887

0,23555

0,5

1

0,73111

10

0,075134

0,23278

0,5

1

0,52480

4

0,072722

0,22232

0,5

1

0,19402

1

0.064418

0,19174

0,5

1

0,80696-10-2

0,25

0,062278

0,17372

0,5

1

0,14952-I О- 3

зывают, что величины у,-(А) слабо зависят от А и в диапазоне на­ грузок, при 'которых вероятность потерь лежит в интервале от 0,001

до нескольких процентов; величины у,-(А)

можно считать не зави­

сящими от нагрузки.

 

 

 

 

 

Это использовано для приближенного вычисления вероятностей

потерь. Результаты вычислений представлены

в табл.

9.2, где в

Т А Б Л И Ц А

9.2

 

 

 

 

 

 

 

j

20

10

4

1

0.25

 

28

0,8015

0,8015

0,8014

0,8012

0,8011

 

24

0,7715

0,7715

0,7714

0,7711

 

0,7710

.

20

0,7311*

0,7311

0,7309

0,7305

0,7303

-

16

0,6738

0,6737

0,6735

0,6728

0,6724

 

12

0,5869

0,5868

0,5864

0,5850

 

0,5843

 

10

0,5250

0,5248*

0,5241

0,5222

 

0,5211

 

8

0,4436

0,4434

0,4424

0,4396

 

0,4381

 

6

0,3355

0,3352

0,3338

0,3297

 

0,3276

 

4

0,1961

0,1957

0,1940*

0,1888

 

0,1862

 

2

0,5172-10—1 0,5158- 10-1

0,5053-10“ 1

0,4726-10-1

0,4575-10-1

 

1

0,9219-10“ 2 0,9198-10“ 2 0,8930-10~2

0,8070

-10- 2 '

0,7717-10- 2 *

 

0,5

0,1351 -10-2 o,i35o-io_2

0,1306-io—2

0,1162-10—2

0,1111-10—2

 

0,25

0,1820-10—3 0 , 1818-10-3

0,1760-10- 3

0,1560-10—3

0,1495-10—3

 

0,125

0,2360-10-4 0,2355-10-4

0,2282-10- 4

0,2020-10-4

0,1944-10— 4

 

0,0625

0,3003-10- 5

0,2995-10-5

0,2906-10-5

0,2572-10- 5

0,2481-10-5

каждом столбце звездочкой отмечена точная вероятность потерь, соответствующая нагрузке A=Ai. Вероятность потерь при A ^ A i выцислрна приближенно по формуле

;::;;:г$(А /ло = 2

( 3)

П р и м е р 3. Рассмотрим пример, показывающий допустимость замены у,- как функции от К па значение этой функции при фикси­ рованном Д. Точность такой замены иллюстрируют данные, при-

Рчс. 9.4. Схемы, для которых результаты моделирования подтверждают слабым рост у,-(?„) по X

веденные в табл. 9.3, которые относятся

к непол недоступным схе­

мам, изображенным на рис. 9.4.

 

 

Т А Б Л И Ц А

9.3

 

 

 

Схемы

А

Точные вычисле­

Моделирование с

Относительная

ния

расчетами

погрешность, ?ь

 

 

1,8

0,0101

0,0106

5,05

Рис.

9.4а

2,4

0,0296

0,0300

1,35

3,0*

0,0607

0,0605

0,33

 

 

 

 

3,6

0,1004

0,0995

0,90

 

 

3

0,0068

0,0076

12,4

Рис.

9.46

4

0,0226

0,0236

4,0

5*

0,0509

0,0508

0,1

 

 

 

 

6

0,0895

0,0879

0,8

Точные вычисления проводились по итерационному алгоритму решения системы стационарных вероятностей. Результаты столбца «Моделирование с расчетами» получены по формуле БЛБ при усло­ вии, что условные вероятности оценивались для Л = 0,5п (отмечено звездочкой). Серия опытов состояла из 100 000 вызовов. Для осталь­ ных значений нагрузки проводилась экстраполяция.

Таблица 9.3 также подтверждает факт, что уДЛ) слабо возрас­

тает

с ростом Л. Действительно,

для

схемы на рис. 9.4а при

Л < 3

моделирование с расчетами

дает

завышенные значения ве­

роятности потерь по сравнению с точными вычислениями, а для Л > 3 — наоборот; такое же соотношение выполняется и для схемы на рис. 9.46.

Результаты табл. 9.2 и 9.3 подсказывают предположение, что для НС величины уДЛ) возрастают с увеличением А. Для эвристи­ ческого подтверждения этого факта можно использовать рассужде­ ния, положенные в основу доказательства оптимальных принципов выбора НС при Л—И) и Л—>-оо (см. гл. 5).

Рассмотрим два состояния х и у из одного и того же подпро­

странства Li (т.

е. |х| = |у|=0> такие, что ух<.уу. Естественно

ожидать, что

рх( А ) > р у(А) при малых Л и рх( А ) С р у(А) при

больших Л. Например, состояние х чаще достигается последующи­ ми занятиями, исходя из состояния 0, а состояние у достигается последующими освобождениями, исходя из состояния с v занятыми

линиями. Если так, то можно ожидать

выполнение

неравенства

У х Р х ( А ) < у ур у ( А )

для всех Л, а отсюда и монотонный

рост у* (Л)

 

 

по Л. Из предположения о слабом росте у, по Л

А— ► о.

о

следует практическая

рекомендация, как произ-

N.водить моделирование у* с последующим вьгчис-

N.лением вероятности потерь по формуле БЛБ,

л° ° чтобы Получить оценку л (А) сверху. Надо оцени-

Рис 9 5

Трех™-

вать Т» ПРИ -больших значениях А (или, другими

нейная нс

с ус-

словами,

при моделировании состояний подпро-

ловной

вероятно-

странства Li надо их получать переходом из под-

стью уа(Я),

убы-

пространства L i+l) .

 

 

 

вающей по X

 

 

Высказанное эвристическое предположение о

 

 

 

росте у,- по А выполняется почти во всех извест­

ных нам примерах, но не всегда.

Для трехлинейной НС, представ­

ленной на рис. 9.5,

 

 

 

 

 

 

Уз М

=

32 X* +

108 Я.3 +

150 X2+

97 X +

24

Я,=

л_

и

 

4 (20 X* +

66 X3

87 X.2 +

52 А, +

12)

 

2 ’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ ~ у2 (Я,) <

0.

 

 

 

 

 

 

Следовательно, проблема статистической оценки у» с учетом пара­ метра Л требует дальнейшего изучения.

2.Оценка неизвестной вероятности в схеме Бернулли

Внашем приближенном подходе каждую условную вероят­ ность потерь уг будем рассматривать как вероятность некоторого события в схеме Бернулли. Тогда из элементарных соображений математической статистики (см., например, [29]) следует, что дове­ рительные границы для неизвестной вероятности у* имеют вид:

 

 

+ - L S.

Pl,2

TL: —I—СгЗ

(4>

 

где щ — число вызовов, поступивших в систему в интервалы заня­ тия t линий; m-i — число потерянных вызовов из этих rii вызовов. Параметр g определяется согласно выбранному доверительному уровню 1—2'Р для неизвестной вероятности у* из следующего урав­ нения:

ех1

= ~

Ге 2 dx.

Н / 2 я J

о

166

При 2 р=0,01 находим, что g = 2,58; при 2 р= 0,05

g= l,96 . При этом

для величин

и р^ определяемых ур-нием (4),

будет иметь мес­

то утверждение:

 

 

р { Р\ <Yf <

Рг) > 1 — 2 Р-

 

На практике число опытов я,- часто превосходит сотни, и поэтому

(4) можно упростить:

При статистическом моделировании возникает также задача оп­ ределения необходимого числа опытов для вероятности потерь уi с заданной абсолютной точностью а, вернее, при данном у, и довери­ тельном уровне 1—2 р надо выбрать такое tii, чтобы

щ

< а.

(6)

П[ — Yt

 

 

Тогда /г,- находим из соотношений:

a =

g

— Vl)

 

П[

 

и

 

 

 

 

 

п . -

* y tV -y t)

(7)

На рис. 9.6 приведены кривые, определяющие требуемое число

опытов /?,• при доверительном уровне 1—2 р = 0,05

(тогда g'2=3,84)

Рис. 9.6. Графики необхо­ димого числа испытании для достижения абсолют­ ной (сплошные кривые) и относительной (штрих-пунк­ тирные кривые) погрешно­ сти а при оценке неизвест­ ной вероятности с довери­ тельным уровнем 0,95

для разных показателей абсолютной погрешности а согласно (6). Необходимое число испытаний л*,- при заданной относительной по­ грешности величины а определяется из соотношения

„ _ J L

/ ViU — Vi) _

S

l /

1 — Vi

(8)

VI У

п,

у ~ 7 .

*

VI

167

Из (7) и (8) следует, что

я. =

(9)

 

Т7

и соответственно для /г',- получаем кривые противоположного ха­ рактера (см. штрих-пунктирные кривые «а рис. 9.6).

3.Дисперсия вероятности потерь, вычисленной по формуле БЛБ

Пусть заданы результаты статистического моделирования коммутационной системы, т. е. даны пары чисел яг,-, /г,-, i — d,..., v— 1, где Я ; — ЧИСЛО поступивших ВЫ ЗОВОВ; m -i — число потерянных вы­ зовов в состояниях с I занятыми линиями. Подставляя в формулу

A

n il

А

БЛБ оценки уi=~^~ , вычисляем оценку вероятности потерь л(А).

Возникает вопрос, как построить доверительный

интервал для

А

Д А Л

л(Л) или, пользуясь более точным обозначением, для я(Л, уц..., ув).

ЛЛ Л

Формулу для 1>л(Л, yi,..., уи) получим, используя теорему о перено-

д

се ошибок, приведенную в [136, 144]. Так как оценки угявляются взаимно независимыми, получаем приближенное равенство

г-i

D Я (А) :

д я (Л)

 

D Уи

 

(10)

дуг

yi = -

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л

1 —

 

 

 

(11)

D v ,=

 

 

 

 

 

 

 

 

Верхний предел

суммирования в

(10) равен

и— 1, а не v,

потому

что у«=1 по определению. Учтено также, что уг= 0 для

Рас­

пишем еще —

. Обозначим числитель и

знаменатель формулы

дуг

 

 

Тогда

 

 

БЛБ через Л и В соответственно.

 

 

,

д А

 

д В

 

 

о у,-

 

----

 

о я

 

а у,-

 

 

дуг

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

дА

А ‘

г—1

 

 

ль

По

 

дуг

г!

 

Vit-к\

 

 

/=1

 

A=i+1

 

 

 

к—1

 

дВ

 

 

П

(1 — Y/)

 

 

 

ЛА_/=1

■, i = d,

дуг

 

 

k\

1— уг

 

 

 

 

А=£+1

 

 

(12)

А-Г

П (I —Уг)

г=1_______

— У1

d + 1,...г и— 1.

168

Смотрите также файлы