Файл: Шнепс, М. А. Численные методы теории телетрафика.pdf

нию. Такое сглаживание можно сделать и не по всему массиву {Yi} сразу, а кусками, например, параболой по пяти точкам после­ довательно. При этом окончательный расчет дисперсии оценки ве­ роятности потерь я (Л) по формуле БЛБ также усложняется, по­

тому что вместо взаимно независимых величин угимеем векторную

случайную величину {y<i,-~, г/«-1}, подчиняющуюся нетривиальному многомерному нормальному распределению. Соответствующие фор­ мулы расчета дисперсии по методу переноса ошибок имеются в ру­ ководствах по математической статистике, например, (146] и' в об­ щем виде здесь не приводятся. Рассмотрим только частный случай.

Пусть дана 5-линейная НС с d = 2. Тогда имеем нетривиальные значения у2. уз- У'- а уо = уi= 0, у& = 1 - Берем параболу

По данным значениям у2, уз, y.i находим оценку а по методу наи­ меньших квадратов. Минимизируем сумму

/л л /— 1 \2

173

согласно выражению дисперсии биномиального распределения,

\

tij — число наблюдений. Дисперсию Да находим с помощью фор­ мулы Д^а^+ТмЦ-с) = а2Д£ + й2Дг|, где £, т]— случайные величины; а, Ь, с — константы. Применяя ее к (27), имеем

лл

=п(уа,-~, г/r-i, Л ). На основе формулы переноса ошибок [136, 146]

И-1В-1

и U ду/ л = д ду/ Д=у/

i= j = d

АA

где cov(tji, yj) указывает, что вместо взаимно независимой системы {у,-} мы пользуемся зависимыми величинами

Согласно (25)

Подставляя (32) и (33), имеем окончательное выражение диспер­ сии оценки вероятности потерь:

четы очень громоздкие. Это особенно относится к случаю, когда у,- сглаживаются кусками, как это обычно делается при сглаживании экспериментальных данных.

На практике более ценным приемом увеличения точности, чем только что изложенное полиномиальное сглаживание, является ин­ терполяция отдельных значений условных вероятностей у, по сосед­ ним значениям, т. е. отдельные у,- не оцениваются, а вычисляются

174

л

уменьшается число оцениваемых величин. Оценку дисперсии Dя можно получить по формулам, подобным (34).

На примере yo=yi = 0; у2=0,1; уз= 0,3; у4=0,6; у5= 1; v = 5 в точ-

л

ке Л = 3 проведен расчет Dn при условии моделирования значения у2 и интерполяции значений уз и у4- Расчет показал, что экономится 26% выборки. Подтверждение этого утверждения на «больших» примерах требует дальнейших исследований.

9.3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МЕХАНОЭЛЕКТРОННОЙ АМТС

1. Простые формулы, учитывающие результаты моделирования

Рассмотрим инженерный пример сочетания результатов моде­ лирования с расчетами по формулам. Методом статистического моделирования, как известно, трудно получить точные выводы в редко встречающихся ситуациях. Подобного рода эффекты наблю­ даются в работе механоэлектронной АМТС-4, в которой управляю­ щее устройство (маркер и пересчетчики) является электронным и работает быстрее основной коммутационной части станции, выпол­ ненной на многократных координатных соединителях МКС. Это приводит к тому, что часть коммутационной схемы, занятой уста­ новлением очередного соединения, недоступна вызову, непосредст­ венно следующему за обслуживаемым вызовом1). Такое ограни­ чение доступности длится всего 20—40 мс, в то время как само за­

‘) Если в УУ есть память, отображающая состояние коммутационной систе­ мы, то. это не так, потому что поиск свободного пути можно вести без опроса состояния системы.

175

лена методом статистического моделирования. Это значит, что из­ вестна вероятность потерь по направлениям, на обходных путях и других видов в зависимости от величины нагрузки и конструктив­ ных параметров (числа блоков по каскадам, числа промежуточных 'линии в т. д.). На рис. 9.10 условно изображены управляющие устройства: маркер, пересчетчик и запоминающие устройства (ЗУ). Рассматриваемая задача состоит в учете длительности работы ЗУ при расчете вероятности потерь. На рис. 9.11 изображена времен-

Рис. 9.11. Временная диаграмма управляющей части АМТС

ная диаграмма работы отдельных устройств, основная особенность которых заключается в том, что длительность работы ЗУ превосхо­ дит длительность работы маркера и пересчетчика. В свою очередь, это меняет доступность системы (число блоков, доступных очеред­ ному вызову). Из диаграммы видно, что число блоков в каждом каскаде для отдельных интервалов .времени может уменьшиться на один или даже на два блока. Согласно предположению даны сле­ дующие вероятности потерь вызова:

1—qo•— Для полностью свободных ЗУ;

1—q1— для случая, когда в каждом каскаде занято по одному ЗУ;

какое-то приближенное описание потока, который в действительно­ сти образуется в системе регистров сложным образом из вновь по­

176

ре допускаются ожидания поступающих вызовов, рассмотрим си­ стему с потерями и предположим, что поток определяется биноми­ альным законом: с вероятностью а за интервал At поступает вызов (и только один вызов), а с вероятностью 1—а вызов отсутствует.

Перейдем к построению пространства состояний марковской це­ пи, представляющей собой математическую модель телефонной станции АМТС-4. На рис. 9.12 условно -изображены состояния и их

обозначения. Каждое состояние характеризуется числом занятых

свободная система или система с одним занятым ЗУ, занятие кото­ рого уже длилось две единицы времени (к следующему моменту времени ЗУ будет свободным). Состоянию 1 соответствует состоя­ ние с одним занятым ЗУ, занятие которого только началось, или состояние с двумя занятыми ЗУ, -одно из которых только что заня­ лось, а занятие второго длится две единицы времени. Подобный смысл имеют и два других состояния.

На рис. 9.13 приведена диаграмма состояний с -соответствую­ щими вероятностями перехода за рассматриваемый единичный ин­ тервал времени At. Проиллюстрируем ход построения диаграммы на примере вероятности перехода <7оо=1—сс + а(1—qo) (обозначе­ ние на стрелке, исходящей из состояния 0 и возвращающейся в то

'177