Файл: Шнепс, М. А. Численные методы теории телетрафика.pdf

а2/ — дисперсия стационарного распределения функционала потерь гг. над стационарным распределением вероятностей {pi}:

приближенное значение дисперсии. Если удовлетвориться рассмот­ рением больших значений Т. то (42) можно упростить:

Результаты сравнения точного значения главного члена дисперсии

дается в п©лно!до€ту1Пной системе (ер. е рис. 40.6).Эти примеры по­ зволяют высказать предположение, что и для других коммутаци­ онных систем применима полученная оценка дисперсии (42).

5.Уменьшение дисперсии выборочной дисперсии на примере бесконечно линейного пучка

Сравним предлагаемый метод оценки выборочной дисперсии : тем. что дает метод Стьюдента (см. § 10.1.2). Чтобы справиться с вычислениями, ограничимся простейшим случаем — бесконечно линейным пучком — и рассмотрим оценку среднего числа занятых линий.

Первый метод (ем. § 10.1) основан на разделении реализации длины пТ на п отрезков длины Т каждый и получении п выборок среднего значения:

£т

Второй метод основывается на только что полученных форму­ лах. Так как в качестве функционала f (x ( t) ) берем число занятых линий, то f ( x ( t ) ) = x ( t ) и о2/=ю2. Число занятых линий в беско­ нечно линейном пучке подчиняется пуассоновскому распределению с параметром Я, и о2=Я, 'поэтому согласно (34) и (36)

эвристическое суждение о целесообразности дальнейших исследо­ ваний данного вопроса на более сложных системах.

Дисперсия величины s2. Из курса математической статистики <с.м., например, (136, с. 212]) известно, что выборочная дисперсия s2 как случайная величина имеет среднее значение

М (г) = о2,

совпадающее, как и положено, с дисперсией о2 исходной случай-

отношением, приведенным в (24, с. 173]). Из него последователь­ но получаем:

nii = Я

202

Наша цель найти рг и Ц4, чтобы воспользоваться выражением (53). Подставляя (57) в (55) и опуская члены, имеющие множитель е~г, которые не влияют на численные результаты, после громозд­ ких преобразований получаем:

Дисперсия оценки дисперсии по Бенешу. Согласно (52) следует найти

По формуле T)(ag)=a2.Dg и с учетом, что в (60) в качестве слу­ чайной величины | выступает Я, имеем

а так как за интервал (0, пТ) DX=D(M(nT)), то после подстанов­ ки (52) в (61) окончательно имеем

Численный пример. Сравним величины дисперсии выборочной дисперсии, полученные обоими методами. Пусть 7=100, н=10. Тогда, подставляя эти значения в (58) и (59), а потом в (53), имеем

т. е. применение формулы дисперсии согласно методу Бенеша, тре­ бующей только оценки параметра X, дает по сравнению с приме­ нением критерия Стыодента увеличение точности выборочной дис­

персии в V 109100«330 раз, что подтверждает целесообразность дальнейших исследований этого подхода.

10.4. ВЫБОР ДЛИТЕЛЬНОСТИ РЕАЛИЗАЦИЙ

1. Общий случай

Вопрос о длительности реализаций 7 — важнейший вопрос как при моделировании, так и при измерениях на сети. К выбору 7 можно подойти на основе центральной предельной теоремы для

марковских процессов. Пусть имеем реализацию марковского про­ цесса x(t) на отрезке [О, Т\ и заданный на марковском процессе функционал f(t)=f[x(t)]. Согласно предельной теореме (см. (1) — (9)) для истинного значения среднего значения функционала я

1)по схеме Стьюдента (8);

2)по схеме Стьюдента с учетом линейной регрессии (19);

3)на основе формулы переноса ошибок (21);

4) через ковариационную функцию по методу Бенеша (49). Выбор коэффициента А зависит от 'методики ш|реде1Л'бн|ия D

и обычно основывается на предположении о нормальном распре­ делении величины

т

о

Если задана двусторонняя доверительная вероятность 1—2а (на­ пример, а = 2,5% и 1—2а = 95%) и максимальная относительная погрешность е > 0 оценки л (Г), то Т определяется из уравнения

где произведены алгебраические преобразования, чтобы получить выражение нормированной случайной величины. Из (68) можно получить требуемую оценку длительности реализаций. Для этого в неравенстве справа я заменяем на оценку я (Т) и под D подра­ зумеваем одну из четырех перечисленных оценок дисперсии. Сле­ довательно, во время моделирования вычисляем текущее

Vd

исмотрим, какой доверительной вероятности соответствует полу­

ченное значение, например, при Л = 2 вероятность 1—2а = 0,954. Увеличивая Т, можно получить сколь угодно большое А и соот­ ветственно обеспечить любую желаемую доверительную вероят­ ность 1—2а.

204

Тем самым вопрос о выборе Т в первом приближении решен. Для получения более точных выводов следует обсудить влияние на величину А в (69) того обстоятельства, что я (Г) и D являются случайными величинами. Предположим, что оценки я (Г) и А не имеют смещения от среднего значения. Из теоретических сообра­ жений известно, что эти оценки асимптотически нормальные, по­ этому при достаточно большом Т наличием смещения можно пре­ небречь. Другой вопрос — это дисперсия выборочного среднего я(7') и дисперсия выборочной дисперсии D. Из-за того, что эти дисперсии отличны от нуля (хотя и стремятся к нулю при Г-»-оо), на практике целесообразно брать время моделирования «с запа­ сом», т. е. увеличенное на 10—20% по сравнению с расчетным.

Теоретически этот вопрос изучен только для критерия Стьюдента, а исследования, проведенные в настоящей главе, убеждают, что для оценки D можно рекомендовать применение формулы пе­ реноса ошибок (см. § 10.2), так как она дает более точную оценку выборочной дисперсии, чем схема Стьюдента.

2. Схема Стьюдента

Применение схемы Стьюдента, изображенной на рис. 10.2, требует определить параметры: Т — длительность отдельной реали­ зации; То — длительность начального отрезка (для достижения стационарного режима); t — интервалы между реализациями.

Дадим эвристические соображения о том, как выбрать эти ве­ личины. При этом будем пользоваться моделью полнодоступного пучка с бесконечным числом линий. Полученные оценки будут обоснованными для п-линейного полнодоступного пучка. Примене­ ние же их по аналогии для о-линейной неполнодоступной схемы требует дополнительных исследований, так как в этом случае мар­

самостоятельный интерес, так как при любом методе оценки пред­ полагаем, что распределение х(0) совпадает со стационарным, следовательно, требуется отбросить начало реализации. Теорети­ ческим фактом, подтверждающим возможность выбора Т0, при ко­ тором распределение в момент То при любом заданном начальном распределении отличается от стационарного распределения мень­ ше, чем на данное б, является экспоненциальная сходимость мар­ ковского процесса к стационарному распределению. Это сводится

откуда находим Т0.

Однако нахождение чисел а и b требует знания характеристи­ ческих чисел матрицы А. Так как это невозможно, то для практи­ ческого пользования выберем следующий подход. Рассмотрим

20 S