ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 129
Скачиваний: 0
рительный коэффициент, выбираемый с учетом доверительной ве роятности. При достаточно больших N можем считать, что я (АО
А
распределено нормально с дисперсией d/N. Тогда, например, при
С=1,96 доверительная вероятность равна 0,95 и т. д., |
подобно то |
му, как это делалось в §§ 10.1 >и 9.1. |
|
Вывод D(d). Предположим, что а,- и р,- взаимно |
независимы, |
е. cov(a;, р,-) = 0. Тогда согласно (21) |
|
Sp-2 +i - pР‘ vS,
D(d) — D
(a+P)'4
Применяя к этому выражению, в свою очередь, формулу переноса ошибок, имеем:
где предполагается, что в частных производных подставлены сред ние значения указанных моментов. Далее находим частные произ водные и учитываем, что
D a = — D a;
N
Т О Т )
(см. любой учебник по математической статистике, например, [136]), где по определению случайной величины g центральные моменты p4 = M (s -M g )4 и o2 = A f(g-M £)2.
Для упрощения выводов предположим, что N достаточно боль шое, так что
я(«*) = 4N -(^ -(°*)*)-
Подставляя |
(23) |
и другие выражения в |
(22), |
в итоге получаем |
|
|
п Л |
1 Я 2 M a D a ( M p - M a ) - 4 ( M p ) = D p \г п „ , |
|
||||
и Ка ) ~ |
N- {\ |
|
(Ma + MP)6 |
|
/ |
|
/ 2 М р D р (М а - М Р) - 4 (М a )2 D а .2 д о , |
|
|||||
+ [ |
(Ма)2 |
{Ма. + Щ ) ъ |
J |
Р |
|
|
|
(/VI (а — М а)4 — (D а)2) + |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
(Ма+УИр)4 |
|
|
|
|||
|
(М Р)» |
f (/И (р - М Р)4- ( Д Р)2)} + |
о (1/7V). |
(24) |
||
|
|
|
||||
(М а + М Р)4
Вывод D(s2). Для сравнения с дисперсией в случае применения критерия Стьюдента выводим D (s2). Делим реализацию длины N
•190
периодов на п кусков по т периодов в каждом, так что N = inn. Получаем п оценок вида
яс = |
<*!+■ ■-+0-П |
|
(25) |
а1+ ■•■+ ат + Pi + ■■■+ Рл |
а + р |
(ввиду взаимной независимости а и р по периодам опускаем у них
индекс i). Вычисляем |
оценку дисперсии |
отдельной части: |
|
|||||||||
|
я— 1 Е |
- Е |
щ |
|
|
|
|
|
||||
|
п |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1=1 |
' |
|
1=1 |
' |
|
|
|
|
|
Тогда оценкой |
дисперсии |
вероятности |
потерь“ |
^я* будет— |
s 2. |
|||||||
Переходим |
к |
выводу |
LM— )= — D (s2) или, другими |
словами, |
к |
|||||||
выводу D('s2). Так как в |
D (s2) |
согласно (23) |
входит |
четвертый |
||||||||
центральный момент случайной величины я,, то ищем его: |
|
|||||||||||
М (л . _ |
М п .)4 |
|
= |
м ( |
---------V . |
|
|
|
|
|||
|
т |
|
|
|
т |
\ а -Ь Р |
М а -г М§ ) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где а = |
|
а,-, |
р = |
^Гр;. Применяем формулу переноса ошибок: |
|
|||||||
|
«=1 |
|
|
i=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
' д л |
|
|
|
|
д л |
|
|
|
|
||
|
а=ма |
|
(< х -/ И а )+ — |
г - ш |
|
|
|
|
||||
|
д а Р=А 1Р |
|
|
|
° |
Р р=мр |
|
|
|
|||
+ члены более высокого порядка.
Возводим в четвертую степень, берем среднее значение, учиты ваем независимость а, р, т. е. М (ар) = М аМ р и замечаем, что равны нулю слагаемые, содержащие множитель вида М\(а—М а). В итоге получаем
_ |
( д п { Ма , М р) |
(а —■М а)4 -\- |
P'4 = |
М |
|
|
д а |
|
+6(ft)’(|f)■0 D>р+(■а |
|
г1«да- м w j- |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
, , 77Г |
(26) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
Л1 р) _ |
|
/И р |
_ |
|
|
М р |
|
д п ( М а , |
|
|
|
|
||||
д а |
|
|
( М |
а + |
М р )(М2 а + М Р)2m |
|
||
(с -учетом., что М а= т М а и М р = т М р); |
|
|
||||||
, дп( Ма, |
М р) _ |
|
М а |
|
|
|
|
|
ар |
|
|
/п (М а + |
М Р)2 |
|
|
||
/И(а^УИ.а)4 = М |
“ S |
4! |
( а 1 |
— М |
а)*. ... (ат — М а)к |
|
||
|
|
|||||||
|
|
kj\... km\ |
|
|
||||
Zi *''=4
£=1
191
(меняем местами значки Л4 и II и учитываем, ч;то .множители (неза висимы п М (а;—Ма) = 0
4! |
/И(аг |
-Ма)2*/И(а;— /Иа)2-|-^М(а4— Ма)'1 = |
2 !2 ! |
||
г. /=1 |
|
i=i |
‘</ |
|
|
(учитываем, что слагаемые по суммам совпадают в силу одинако
вой распределенности; 'число слагаемых |
ib первой сум'.ме равно |
|||||
т (т—1) |
\ |
|
|
|
|
|
2 |
) |
|
|
|
|
|
__ = 3 т (т — 1) (Da)2 + mM (a —М а)4, |
|
|
|
|||
Da — mDa. |
|
|
|
|
|
|
Для М(р—Мр)4 и Dp аналогично. |
|
|
|
|||
Раскрывая выражение |
(26), имеем |
|
|
|
||
|
МР |
[3 т (т —•1) (D а)2 |
-!- т М (а — М а)4] + |
|||
Н4 - [т (/Иа + МР)2 |
||||||
Ма |
|
|
|
|||
|
/ир |
|
Г |
т2 D а D р + |
||
|
т (М а -f МР)2 |
in (Ма -(- Мр)2 |
||||
|
М а |
|
г |
|
||
|
[3/и (т — 1) (D р)2 |
+ т М (р — М р)4] + . |
||||
|
|
|||||
т (Ма МР)2 _
Подставляем полученные выражения в выражение D(s2), ограни
чиваясь разложением щ до порядка т~2 и |
учитывая (21). |
Тогда |
|
D(s-) = — |
(М а)" D р + (МР)2 D а |
|
|
(М а + МР)-1 |
|
|
|
п |
|
|
|
п —3 1 |
(/VI а)2 D Р -г (МР)2 Р а |
(п — 1)тг■сГ- |
(27) |
[п — 1 т2 _ |
(Ма -\-1ИР)1 |
||
П р и м ер . Сравним d (D л (TV)) = D (d) и D (^-) = -^г D (s'2)
на примере однолинейной системы с потерями, имеющей интенсив ность пуассоновского процесса Я; интенсивность обслуживания равна единице. Рассмотрим оценку вероятности потерь по време ни. Каждый период состоит из времени пребывания в состоянии 1 Ui~e~‘ и ©рвмени пребывания в состоянии 0 Р г ~ е _яТ Для расче тов нужна формула моментов экспоненциально распределительной случайной величины
00
(28)
О
192
ат а к ж е
м а - M i f = М ^ — Ь М 1 3М 1 + Ь М |* ( м d * — з ( М if-,
М Ц — М I f = М12 — (М I f .
Подставляя (28) в (24) и производя приведение подобных членов, имеем
Переходим к D (s2). Из |
(27) |
имеем |
|
|
|
|
|
|
~ 1 , |
1 |
~|2 |
D |
J ______ 2 |
|
X2 ^ |
X2 |
|
|
|
|
|
|
|
п |
п 2 (л — 1) ( т ) * |
(1 + 1 Д )2 |
|
||
|
8__________ 1 |
|
|
(30) |
|
( n — l ) ( n m f |
Д + 1 ) 4 ' |
|
|||
|
|
||||
Приведем численное сравнение |
(29) |
и (30). Подставляем Х=1 |
|||
|
|
|
л |
|
|
и п = т = 20. |
Тогда |
|
= 108.Следовательно, дисперсия |
||
выборочной дисперсии при использовании формулы переноса оши бок в 108 раз меньше, чем по критерию Стьюдента, что оправды вает применение формулы переноса ошибок для построения дове рительного интервала оценки среднего значения.
Остались неизученными преимущества предлагаемого подхода в случаях систем более сложных, чем однолинейные. Однако это самостоятельная задача, требующая громоздких вычислений пер вых четырех моментов случайных времен первого 'перехода.
10.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИСПЕРСИИ НА ОСНОВЕ ОЦЕНКИ КОВАРИАЦИОННОЙ ФУНКЦИИ ПО БЕНЕШУ
С целью уменьшения дисперсии выборочной дисперсии рас смотрим еще один метод сочетания расчетов с моделированием, суть которого заключается в определении дисперсии через кова-
7— 264 |
1193 |