(71>
Таблица 10.3 показывает, что при А =10 и ,6 = 0,01 необходимо воспроизвести начальную серию из 69 вызовов, а при 6 = 0,001 дли на отрезка нестационарное™ со держит 92 вызова.
Интервал между реализациями. Длительность 1 зависит от функции ковариации R(t). Оценку сверху для t можно получить следующим путем. Для полнодоступного пучка с бесконечным чис лом линий функция R(t) убывает по экспоненте, а именно, R(t) = = л е _|. Для других полнодоступных систем убывание еще более быстрое.
Известно, что для стационарного процесса x(t), в котором зна чения, отстоящие на расстоянии Т, независимы, R ( T ) = 0 . В нашем случае это выполняется лишь приближенно. Поэтому задаемся по казателем зависимости в и выбираем t из е ^ Л е -1, т. е.
Для конечных систем стационарный режим достигается еще быстрее, так как оценка (70) выведена для бесконечного пучка.
Для развития интуиции при водим табл. 10.3 со значениями
0 ,001
0 ,0 1
ь
Т А Б Л И Ц А
Т0 > \ п ± . ■
е
6 , 9
9 , 2
4 , 6
6 , 9
1
равном
100
Значение Г0 при К,
10
JQ.3
9 , 2
16,1
То, найденными из Го= 1п-
среднее число занятых линий a(t) в бесконечном пучке в произ вольный момент t. Величина a (i) является решением дифферен
циального уравнения — |
= к — а при а (0 )= 0 . Получаем решение |
dt |
|
a ( t ) = k ( 1—е_<). При данном б >0 определяем Т0 из неравенства'
к — Л, (1 — е~Го ) < 6,
откуда
(70)'
При моделировании марковской цепи следует выбросить реализа цию, соответствующую N —\tk вызовам. Из сравнения (70) и (71) следует, что для выбора значений t можно пользоваться табл. 10.3,. как при выборе Т0.
Длительность отдельной реализации. При делении одной реа лизации длины пТ на п более коротких реализаций длины Т с целью использования критерия Стьюдента следует выполнить два
противоречивых требования:
1) увеличить число п с целью уменьшения доверительных гра
ниц оценки по критерию Стьюдента; 2) уменьшить число п, чтобы оценка дисперсии по ф-ле (8)-
имела достаточно малое смещение.
Поясним второе требование. Дело в том, что имеет место соот ношение
т. е. дисперсия убывает несколько медленнее, чем возрастает вре мя. Поэтому оценка дисперсии по короткой реализации может быть заниженной (иметь нежелательное смещение).
Проиллюстрируем соотношение (72) численным примером (табл. 10.4). Возьмем данные для двухлинейной системы с поте рями при л=1, представленные на >рис. 10.8.
Т А Б Л И Ц А |
10.1 |
|
|
|
|
|
п |
|
1 |
2 |
4 |
5 |
10 |
D л (Т) |
0,038 |
0,037 |
0,035 |
0,033 |
0,027 |
п |
|
|
|
|
|
|
Из выражения |
(36) |
можно явно получить оценку для смещения |
дисперсии, а именно: |
|
|
|
|
|
2 a2j |
2(1 — e~aT) o j |
|
|
(73) |
|
Та |
|
(Та)* |
|
|
|
|
|
|
|
и второе слагаемое в (73) выражает искомую оценку смещения дисперсии при конечных Т. Используя (73), можно определить необходимое время моделирования Т, чтобы смещение было доста точно малым. На рис. 10.11 представлены кривые для определения
£-0,01 Е*0.1
Рис. 10.11. Кривые не обходимой длины реа лизаций Т для полу чения оценки диспер сии среднего числа занятых линий в v- линейном полнодос тупном пучке с отно сительной ошибкой в
необходимой длины реализации Т такой, чтобы дисперсия оценки среднего числа занятых линий не превосходила заданную относи тельную ошибку е, определяемую приближенно отношением вто рого н первого слагаемых 'в (73), т. е.
Членом е~аГ можно пренебречь, |
так как а ^ \ |
и Г>10. Поэто |
му окончательно получаем |
|
|
На |
рис. 10.11 представлено два |
семейства кривых Т(Х) при |
е — 0,1 |
и е= 0,01 для различных и-линейных пучков, |
где V— нагруз |
ка, а а — модуль максимального собственного числа матрицы ин тенсивностей перехода. Значения а для счета но ф-ле (74) взяты на ми из работы Бенеша [24, с. 186].
Из кривых рис. 10.11 |
можно найти необходимое число 'вызовов; |
■в реализации по формуле |
|
|
|
|
|
N = ТХ. |
|
|
|
|
|
(75) |
На рис. ЮЛ 1 |
представлены кривые только для и = 4, 6, |
8 и для |
ц = оо. Кривая, |
соответствующая |
случаю |
v = oo, служит |
оценкой |
сверху для величин Т и А по (74 |
)и |
(75) |
при любом v. Она полу |
чается подстановкой а=1 |
в (74). |
|
|
|
|
Выводы. 1. Формулы |
(70) и (7d) |
и табл. 10.3, определяют дли |
тельность начального отрезка нестационарное™ и длительность интервала между реализациями с целью обеспечения их незави симости.
2. Формулы (74) и (75) определяют длительность отдельной ре ализации.
Следует обратить внимание, что эти формулы выведены для: полнодоступного пучка. Численные примеры расчета дисперсии оценки вероятности потерь ^например, пример в § 10.3.4 и др.) по казывают, что полученные формулы могут быть перенесены и на более сложные коммутационные системы. Этот вопрос, конечно,, заслуживает дополнительного изучения.
10.5. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ПРИ ИЗМЕРЕНИЯХ НАГРУЗКИ НА СЕТИ
1.О проверке основных предположений теории телетрафика
Благодаря применению вычислительной техники для измере ния нагрузки и обработки результатов этих измерений в последние годы получены превосходные данные для статистической проверки основных предположений теории телетрафика и обоснования тре бований к качеству связи, в частности, обоснования рекомендацийМеждународного консультативного комитета по телефонии и телетрафии (МККТТ). Упомянем о фундаментальных статистиче ских измерениях трафика, которые были организованы в Швеции {162, 200], Финляндии [278], Дании [228] и о -которых было доло жено на VI Международном конгрессе по телетрафику (МКТ-6). Останавливаясь на этих и других материалах МКТ-6, обсудим не которые рекомендации МККТТ. Как известно, на основе рекомен
даций МККТТ развивается международная сеть связи; они нахо дят отражение в документах, нормирующих качество связи в лю бой стране.
Основные модели теории телетрафика используют предположе ние о пуассоновской длительности обслуживания. Статистические измерения {162, 200, 220, 228, 278] подтверждают пуассоновость потока телефонных вызовов с ярко выраженным периодом наи большей занятости (ориентировочно период 900— I I 00 ч), когда наб людается относительно высокая и устойчивая нагрузка (209, 258]. Однако длительность обслуживания часто отклоняется от экспо ненциального распределения ехр{—//а). Например, на основе об ширных измерений телефонной и телеграфной нагрузок Рахко [278] предлагает для этой цели пользоваться распределением Вейбула ехр{—t 0 /а}, а > 0, (3>0.
Как известно из теории (Севастьянов [126]), в случае полнодос тупного пучка с потерями, обслуживающего пуассоновский поток, число занятых линий подчиняется распределению Эрланга неза висимо от вида распределения длительности обслуживания. Вил кинсон (298] приводит статистические данные, превосходно под тверждающие это положение. В связи с этим укажем на одну ста тистическую задачу. Пусть при данном числе линий в полнодоступ ном пучке наблюдениями установлена средняя обслуженная наг рузка у. Тогда интенсивность поступающего потока X (при сред ней длительности, равной единице) можно найти из уравнения
г/= М 1 - а д ) ] .
Однако, как показал Деклю (186], во избежание смещения в оценке X лучше использовать выражение
где N — число поступивших вызовов; Nо — число потерянных вы зовов.
Статистические измерения нагрузки иллюстрируют и более сложные задачи теории телетрафика. В обзорном докладе Хейвар да и Вилкинсона [220] приведены численные иллюстрации к зада чам учета колебаний нагрузки, изучения влияния повторных вы зовов при оценке качества связи и предсказания роста нагрузки в будущем.2
2. Измерение нагрузки в час наибольшей нагрузки
Телефонные сети проектируются на основе требований обес печить требуемое качество связи в так называемый час наиболь шей нагрузки (чнн). За основу определения нагрузки в чнн бе рется период наибольшей занятости, например, период от 9 до 11 ч, когда наблюдается относительно высокая и устойчивая наг рузка (конечно, для жилых кварталов в качестве периода наиболь шей занятости следует подбирать соответствующие вечерние часы).
