Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

Сравнивая соотношения (1.10) и (1.11), приходим к оценке нормы оператора шага

Этим фактом мы воспользуемся в дальнейшем при рассмотрении различных приложений.

Аналогично предыдупз;ему можно показать, что в данном случае

II Ті || = 1.

Рассмотрим теперь вопрос об аппроксимации схемы Кранка — Николсона в условиях зависимости оператора А от времени. С этой целью оператор Т‘ разложим по степеням параметра т. Тогда будем иметь

где (ф)/ — проекция точного решения задачи (1.1) на сетку Dx. Далее

-введем в рассмотрение норму, удобную для оценки аппроксимации оператора Я:

Для оценки нормы (1.16) решение исходного уравнения (1.1) раз­ ложим в ряд Тейлора, тогда будем иметь

21

Подставим далее (1.19) в (1.16). Тогда с учетом (1.15) получим

И(Я(рУ— Н{ (ср)/ \\с^ = max || А! (ср)' — А>(ф)' +

и мы имеем первый порядок аппроксимации. Заметим, что в частном случае, когда А не зависит от t, аппроксимация в форме (1.21) обес­ печивает второй порядок по т.

Предположим теперь, что аппроксимирующий оператор А 1выбран

Вэтом случае будем иметь

II(ЯФУ— Я( (фУ ||с, — О (т2).

Отметим, что аппроксимация схемой Кранка — Николсона также

В различных приложениях, особенно при численном решении квазилинейных уравнений, применяется одна из трех описанных

•форм аппроксимации оператора А (1.22), (1.23) или (1.24), обеспе­ чивающих второй порядок точности.

2.2. НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭВОЛЮЦИОННОГО ТИПА

В предыдущем параграфе были рассмотрены однородные уравне­ ния. Рассмотрим теперь неоднородные уравнения

4 г + ^ = / ’

22

Разностная аппроксимация задачи (2.1) на основе схемы Кранка — Николсона имеет вид

ф/+1- ф ' + Л/ Ф/+1 + Ф; = ^ 2 2

( . )

9 ° = ? ,

где

Р = tit i+'и)-

Нетрудно убедиться, что разностная задача (2.2) аппроксимирует (2.1) со вторым порядком по т. Запишем формальное решение задачи (2.2) на каждом интервале

В предыдущем параграфе в случае однородного уравнения было

Естественно, что эта оценка нормы оператора не зависит от правой части /. Поэтому она имеет место и в данном случае. Из уравнения

и, следовательно, с учетом (2.4) и (2.7) неравенство (2.5) преобра­ зуется к виду

Таким образом, соотношение (2.9) устанавливает устойчивость разностной схемы. Кроме того, это соотношение является априорной оценкой нормы решения.

2.3. МЕТОДЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ

Во многих случаях, когда требуется решить сложную задачу математической физики, оказывается возможным свести ее к после­ довательному решению задач более простых, эффективно решае­ мых с помощью ЭВМ. Редукция сложных задач к более простым

23

возможна в тех случаях, когда исходный положительно полуопределенный оператор задачи представим в виде суммы положительно полуопределенных простейших операторов. Такие методы мы будем называть методами расщепления. Методы расщепления нестацио­ нарных задач начали свое развитие с работ Дугласа, Писсмана, Рэчфорда и затем нашли существенное развитие в исследованиях советских математиков К. А. Багриновского и С. К. Годунова, Н. Н. Яненко, А. А. Самарского, Е. Г. Дьяконова, В. К. Саульева, Г. И. Марчука. Первоначально методы расщепления формулиро­ вались и теоретически обосновывались для простейших задач с ком­ мутирующими положительно определенными операторами. Как те­ перь стало ясным, для таких задач методы расщепления, введенные в рассмотрение различными авторами, по существу оказались либо эквивалентными и отличающимися только схемами реализации, либо близкими. Поэтому мы не будем персонализировать эти методы, ставшие уже почти классическими, а за деталями алгоритмов ото­ шлем читателя к оригинальной литературе. В дальнейшем круг нетривиальных задач, решаемых с помощью методов расщепления, существенно расширялся, и к настоящему времени методы расще­ пления стали уже мощным математическим аппаратом решения весьма сложных задач математической физики. Поскольку теория методов расщепления особенно полно разработана в том случае, когда исходный оператор задачи представим в виде суммы двух более простых, то именно с рассмотрения этого случая мы начнем изложение методов расщепления.

Несмотря на большое разнообразие методов расщепления, ряд из которых мы приводим ниже, наиболее универсальным и общим для приложений является, по нашему мнению, метод покомпонент­ ного расщепления. Это обстоятельство, мы надеемся, будет учтено читателем при изучении материала данной главы. Что касается других методов, изложенных ниже, то они носят скорее методический характер.

Итак, рассмотрим эволюционное уравнение

Предположим далее, что решение задачи (3.1) обладает необходимой гладкостью. Переходим к рассмотрению методов покомпонент­ ного расщепления, предполагая, что задача (3.1) уже редуцирована к разностному виду и, следовательно, операторами А , А х и А г являются матрицы.

24