Файл: Крачино, В. В. Электрорадиоавтоматика на морском транспорте учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 93
Скачиваний: 0
Разностные уравнения вида (297) удобно решать с помощью разно видности дискретного метода Z —■преобразования, простого для обык новенных и модифицированного Ze — для смещенных решетчатых функций.
В свою очередь метод Z-преобразования является дальнейшим усовершенствованием прямого и обратного методов дискретного пре образования (или D -преобразования) по Лапласу решетчатых функ ций [3, 4, 36].
Сформальной стороны прямое D -преобразование, внешне сходное
спрямым L-преобразованием по Лапласу для непрерывных функций, является функциональным преобразованием решетчатых функций и определяется из соотношения:
со °°
D {х [n]} = ;с* (q) = |
2 |
х[п]е—чп = \ jc(7)e— dt, |
(298) |
|
|
п = |
0 |
о |
|
где q — безразмерный комплексный параметр D -преобразования |
|
|||
q = |
рТ = а + |
/со. |
(299) |
|
Для смещенной решетчатой функции прямое дискретное преобразова ние по Лапласу может быть записано в виде:
оо |
°° |
D{x[n, &]}—x*(q, е) = 2 |
х[п, е] е - ч п— \ х (i, &)е—ч* dt- (300) |
П = 0 |
Q |
Из формул (298) и (300) можно заключить, что изображение решетчатых функций представляет собой бесконечные ряды — суммы изображений отдельных импульсов.
Нахождение оригиналов по их изображениям называется обрат ным D -преобразованием и может быть условно записано при помощи
формул обращения |
в -следующем |
виде: |
|
|
|
||
|
|
|
|
с+ і я |
|
|
|
X [п] |
D- 1 [х* (q)] = |
2 лі |
Г |
X* (q) е<т dq\ |
(301) |
||
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
С — /я |
|
|
|
|
|
|
|
с-\-ік |
|
|
|
X [п, 8 ] - |
D_ 1 |
[X* (q , е)] = -L |
Г X* (q, |
8 ) е«* dq, |
(302) |
||
|
|
|
2 |
n i |
J |
|
|
|
|
|
|
с — /л |
|
|
|
где с — произвольная |
постоянная |
причем с > |
ас; |
|
|||
ас — абсцисса сходимости рядов (298) и (300).
Z — преобразование получается из дискретного преобразования
Лапласа путем введения новой переменной Z = |
eq в уравне |
|||
ния (298), |
(300) — (302): |
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
x(Z)=Z{x[ri\} 2 |
JC[n] Z—«; |
(303) |
|
|
|
0 |
|
|
x(Z, |
&) —Zs {x[n, б]}= |
со |
х[п, 8 ] Z ~ n, |
|
2J |
(304) |
|||
где Z — символ Z-преобразования; |
/2 = |
0 |
|
|
|
|
|
||
Ze — символ модифицированного |
Z-преобразования. |
|
||
165
Принципиальной разницы между Z и Ze-преобразованиями нет и Z-преобразования эквивалентны D -преобразованиям. Однако применение Z-преобразований несколько облегчает запись формали зованных выражений и отыскание оригиналов, одновременно приб лижая методику анализа импульсных САУ к одноименному процессу исследования непрерывных САУ.
Как и при обычном L-преобразованни по Лапласу, для практи ческого применения Z-преобразования используются специальные справочные таблицы.
§ 3. ПОНЯТИЕ О ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЯХ ПРОСТЕЙШИХ Л ИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ САУ
Поведение линейной импульсной САУ в переходном режиме пол ностью определяется, как и в случае линейной непрерывной САУ, ее передаточной функцией. Но для определения последней, очевидно,
|
|
|
|
необходимо |
применить |
математиче |
|||
*б*№ |
*вх(і) |
хвыхМ |
ский аппарат1 |
решетчатых |
функций |
||||
и дискретных |
преобразований (D |
||||||||
ПИЭ ------ ►пнч ------ *- |
|||||||||
|
|
|
|
или Z). |
|
вкратце |
составление |
||
Рис. 78. |
Обобщенная |
функцио |
Рассмотрим |
||||||
уравнений, описывающих дискретные |
|||||||||
нальная |
схема |
разомкнутой им |
|||||||
|
пульсной САУ |
|
процессы в |
простейших |
ИСАУ, сна |
||||
и замкнутой |
(см. рис. 75). Для |
чала разомкнутой (рис. 78), а затем |
|||||||
данной цели |
|
будет удобно |
пользо |
||||||
ваться масштабом относительного времени (295).
Предположим, что на вход разомкнутой л.инейной ИСАУ подано
управляющее непрерывное воздействие х вх (t), соответствующее воз действию рассогласования (ошибки) на входе замкнутой ИСАУ.
ПИЭ разомкнутой ИСАУ преобразует хвх (/) в последовательность модулированных по системе АИМ-1 единичных б импульсов:
* в х (* )= Е |
*вх[л]б [t — іі], |
(305) |
п = |
0 |
|
где п — моменты съема (квантования).
Обозначим выходную величину (реакцию) ПНЧ на последователь ность импульсов (315) через
П
*в ы х ( 0 = Е |
*ЕХ [,п] w [t — m\, |
( 3 0 6 ) |
|
т as 0 |
|
|
|
где w[t— т] — весовая функция |
от |
аргумента t — m; |
|
т — момент квантования, |
когда к входу |
ФЭ ИСАУ ока |
|
жется приложенным первый 6 -импульс с выхода ПИЭ.
166
Положим t = п + б , где е — относительное смещение б-импульса. Тогда, применяя аппарат смещенных решетчатых функций к формуле (306), получим:.
П
хвыx [«, е]= S хвх[пг, 0]w[n— m, в]. (307)
т=0
Полученное выражение представляет уравнение импульсной разом кнутой САУ в решетчатых функциях для оригиналов.
Чтобы найти передаточную функцию той же ИСАУ, подвергнем выражение (307) прямому .D-преобразованию
D{xВых [пе]} = D{х вх [п, o]}D{w [п, е]}. |
(308) |
Применив к обеим частям полученного выражения обозначения со
гласно формулам (300), (298) и (307), получим: |
|
4ых (q, е) = Хвх (q, 0) W* (q, е). |
(309) |
Откуда |
|
W* (q, в) ~ В {w [п, в]} ^ х™х {q’ s) . |
(310) |
Хвх (?, 0 ) |
|
Выражение (310) представляет передаточную функцию для ра зомкнутой импульсной САУ.
В системе Z-преобразования передаточная функция той же ИСАУ согласно формулам (303), (304) может быть представлена в виде:
W(Z, е)= *вь— |
е) . |
(311) |
х вх (2, |
0) |
|
Может быть рекомендован следующий примерный порядок отыс
кания |
передаточной функции для разомкнутой линейной ИСАУ. |
|
1. |
Из формул (81), (90), (91) находят передаточную функцию ПНЧ. |
|
2. |
По формуле (21) и найденной величине |
W* (q) определяют |
из таблиц прямого преобразования по Лапласу |
[13] весовую функ |
|
цию ПНЧ. |
|
|
3. |
На основании формулы (310) из таблиц Z-преобразования [3, 16] |
|
находят через W(Z, е) искомую W* (q, г). Для простейшей линейной
замкнутой ИСАУ справедливо следующее уравнение замыкания |
[6 ]: |
*вх (* )= £ (* )—*выхф- |
(312) |
При отсутствии у воздействия рассогласования на входе ПИЭ дан ной ИСАУ скачков в моменты квантования и при нулевом смещении импульсов (е = 0) уравнение (312) может быть с помощью аппарата решетчатых функций представлено в виде:
х вх [т, 0] = g [т, 0] — х вых [т, 0]. |
(313) |
Для нахождения передаточной функции замкнутой ИСАУ по задающе му воздействию подвергнем уравнение (313) D -преобразованию:
Хвх (q, 0) = g* (q, 0) — Хвых (?> 0)- |
(314) |
167
Далее путем |
использования уравнения |
(309) |
дважды |
(при е = 0 и |
|
е =т*=0) и совместного решения его с уравнением |
(314) находится урав |
||||
нение в изображениях для замкнутой ИСАУ |
|
|
|||
|
4 ы х (<?> е) = №*(?, е)g*(q, |
0 ) W* (Я, в) |
(315) |
||
|
|
|
1 +W* (Я, 0 ) |
|
|
Отсюда передаточная функция замкнутой ИСАУ по управляющему |
|||||
воздействию |
составит: |
|
W* (я, е) |
|
|
|
Ф* (д, е) |
-Ѵвых (Я, б) |
(316) |
||
|
S* (Я, 0) |
1 +№*(<7 , 0 ) |
|||
|
|
|
|||
Сопоставляя выражение (316) с (122) видно, что оно по внешнему виду ' несколько сходно с одноименной передаточной функцией для замкну той непрерывной САУ. Однако формально оно совпадает с выражением (1 2 2 ) только при ь = 0. С использованием аппарата Z-преобразования
выражение (316) принимает вид: |
|
|
|
Ф (Z |
В) — ХвЫХ |
^ (^і е) |
(317) |
к ’ |
g ( Z , 0 ) |
1 + W ( Z , 0) |
|
При помощи аналогичных приемов можно на основе уравнений (314) и (310) получить выражение передаточной функции замкнутой ИСАУ по воздействию рассогласования (230):
хвх (я, |
0 ) |
1 |
(318) |
Ф*ш (д, 0 ) = |
0) |
I +W*(q, |
|
ё*( Я, |
0) |
||
или в системе Z-преобразования: |
|
|
|
:(Z, |
0) |
1 |
(319) |
Ф о ш ( 2 , 0 ) : |
|
|
|
g ( Z , 0) |
l + W ( Z , 0) |
||
Присутствие в составе функциональных схем ИСАУ (см. рис. 76, 79) ПИЭ придает им несколько иные структурные качества по сравнению
с |
одноименными схемами для непрерывных |
САУ. |
Так, |
например, |
в |
них недопустимо перемещать ПИЭ через |
ЛНЧС |
или |
через ФЭ. |
В частности, вынесение ФЭ в цепь перед ПИЭ приводит к существен ному изменению временных и частотных характеристик ИСАУ.
§ 4. АМПЛИТУДНО-ФАЗОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИМПУЛЬСНЫХ САУ
По аналогии с непрерывными САУ для импульсных систем управ ления также могут быть получены и находят практическое применение уравнения и графики в основном АФХ (ККП).
Если в уравнение передаточной функции разомкнутой ИСАУ (311) W (Z, е) положить Z = еіаТ, то получим частотную импульсную пере
даточную функцию:
W (z >е) (2=е/«г = WL(eia,T, е) = IW (е^т, е) | |
(320) |
168
Импульсной АФХ называют годограф функции (320) на плоскости U, jV.
U (юг) = R e W (е'<*т, г);
У(юе) = Jm W (е/шГ, г).
Впрактике построение годографов АФХ ИСАУ нередко удобно бы
вает |
осуществлять для относительной (нормированной) частоты |
|||
со = |
ю7\ Уравнения таких АФХ |
мо |
||
гут |
быть получены из (320), |
если в |
||
нем принять Z = еЧ, где q = |
рТ. |
|
||
Период |
нормированной АФХ |
ра |
||
вен |
2 л, так |
как |
|
|
W (е1С0, г) = W [ei («+**), 8] . (321)
Построение годографа нормирован ной АФХ удобно производить по следующей формуле [2 ]:
W(e&, е) =
= sоо |
е ' (“+ 2ят)е^ [/ (ю + 2лт)]. |
|
|
|||
т = —оо |
|
(322) |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
При |
использовании |
(322) |
практи- Рис. |
79. Построение |
годографа |
|
чески ограничиваются |
двумя |
слагае- АФХразомкнутой |
импульсной |
|||
мыми, |
соответствующими тп |
= |
0 и САУ |
по задаиному |
годогРа^у |
|
m = 1, т. е. |
|
|
ПНЧ |
той же системы |
W(jш)е , ш 8 |
|
|
W (еі®, г) « |
W (/ю) + |
е' (“ - 2я) W [/ (со-—2л)]. |
(323) |
||
Рассмотрим принцип построения годографа АФХ разомкнутой ИСАУ по заданной одноименной АФХ ПНЧ этой системы по выраже нию (323).
С этой целью предварительно наносим на годографе исходной АФХ ПНЧ, равной произведению ККП ЛНЧ и ККП ФЭ импульсной
системы, вместо значений со значения относительной частоты со = соТ, т. е. уравнение АФХ ПНЧ записывается в виде W (ja). Как видно из
(323), для построения искомого |
графика АФХ W (е‘а е) годограф |
W (ja) должен быть умножен на |
е'М£ при г = const, т. е. все радиусы- |
векторы должны быть повернуты в положительном направлении (про тив часовой стрелки) на угол юг.
На рис. 79 представлена кривая W (ja), построенная на основе изложенного метода. Отмечаем на ней точки, соответствующие отно
сительным |
частотам ю1( ю2, ю3, ... в диапазоне О ^ ю ^ л , причем |
юх < ю2 < |
ю3... |
169