ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 171
Скачиваний: 0
СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА |
109 |
преимущественно однократно ионизовано, то N0 + Ni « Nu сочетание уравнений Больцмана и Саха дает соотношение
N о, і |
g 0, s N e |
h2 |
'h |
Xo - %o, . |
(3.8.1) |
/V, |
2м1 |
2nmkT |
exp |
kT |
|
|
|
которое не зависит от суммы по состояниям для Fel.
До сих пор принимались во внимание только известные уров ни. Ясно, что важно рассмотреть уровни, которые должны суще ствовать, на пока еще не известны. Для изолированного атома число теоретических энергетических уровней бесконечно. Для водорода и ионизованного гелия теория Бора предсказывает
уровни с главными квантовыми числами п и энергиями |
(отсчи |
|
тываемыми от основного состояния) |
|
|
= |
Ry(l — Д ) |
(3.8.2) |
для всех значений я. Здесь Ry — постоянная Ридберга, a Z — за ряд ядра, воздействующий на электрон. Можно ожидать, что для других атомов и ионов справедлива та же самая формула с заменой я на «эффективное» квантовое число *)
«’ = £ [R y /ta ,-x J ]‘/2 |
(3-8.3) |
и с учетом мультиплетности (2S1 + 1) (2L1 + 1) исходного терма.
Теперь сумма по состояниям должна включать высоколежащие уровни и, следовательно, иметь слагаемые вида
(2S' + 1) (2U + 1 ) ^ 2 (л*)2ехр{ - [и, - д ^ г ] Д Д , (3.8.4)
где знак штрих при суммировании показывает, что в этой фор муле учитываются только высоколежащие водородоподобные со стояния.
При любой заданной температуре ряд в формуле (3.8.4) при я * —►оо не будет сходиться, так как множитель Больцмана при
ближается к постоянной величине ехр(—%0/kT). Ясно, что здесь что-то неверно, так как если, например, суммы по состояниям расходятся, то отношения
Nr,s/Nr = (gr. Jur) exp (— Xr, JkT) |
(3.8.5) |
должны стремиться к нулю, и мы не сможем наблюдать никаких спектральных линий! Нетрудно видеть, в чем источник затруд нений: атомный радиус возрастает пропорционально я2, таким образом, если сумма по состояниям неограниченно растет, то и размеры атома также должны расти неограниченно.
*) Если исходный терм не является основным состоянием следующей стадии ионизации, то %о не будет обычным потенциалом ионизации [164].
п о ГЛАВА 3
Мы можем быть уверены, что размеры атома не должны превышать среднее расстояние между частицами. Следова тельно, в первом приближении суммирование (3.8.4) нужно пре кращать, как только размеры атома достигают N~'l3, где N — плотность числа частиц.
Обычно ограничение суммы по состояниям обсуждается в связи с явлением «понижения энергии ионизации». Рассмо трим электрон с очень высоким эффективным квантовым чис лом я*, так что энергия возбуждения у (я*) лишь немного меньше энергии ионизации хо- В реальном газе возмущения от соседних частиц могут превосходить силу притяжения ядра. В этом слу чае электрон отрывается от ядра, и если пт— минимальное эффективное главное число, при котором эта ионизация возму
щениями имеет место, то потенциал |
ионизации атома |
пони |
|||
жается |
на Л%= %о — |
Следовательно, |
суммирование |
||
(3.8.4) |
должно проводиться только до п* = п*т. |
различных |
воз |
||
При |
вычислении пт нужно |
учесть |
природу |
||
мущений. В этой связи рассматриваются три вида возможных возмущений: 1) возмущения от соседних зарядов, 2) возмуще ния от соседних нейтральных атомов, 3) возмущения, вызванные плазменными (дебаевскими) взаимодействиями.
В настоящее время в литературе существуют некоторые рас хождения относительно точного выражения для пт‘ . Поэтому мы проведем лишь упрощенное изложение, дающее введение в предмет. Но прежде полезно отметить, что для большинства условий, имеющих место в звездных атмосферах, результат не имеет особой важности. Ван’т Веер-Меннерт [160] первым ука зал, что отношение NTt e/N довольно нечувствительно к выбору теории ограничения суммы по состояниям. Всякий раз, когда температуры и плотности в звездной атмосфере приводят к сумме по состояниям иг, которая заметно отличается от суммы по всем известным состояниям, атом оказывается преимуще ственно (г + 1)-кратно ионизованным. При этом функция иг больше не играет роли при вычислении отношения NTi e/N [cp. уравнение (3.8.1)].
3.9. МЕТОДЫ ОГРАНИЧЕНИЯ СУММЫ ПО СОСТОЯНИЯМ
В этом разделе мы познакомимся с принципами, на основе которых осуществляется ограничение суммы по состояниям. Цель такого рассмотрения — введение в понятия и методы, а не рецепт получения «наилучших» выражений для применения в за дачах исследования. Такой подход представляется самым разум ным, если учесть современное состояние теории.
3.9.1. Возмущение соседними зарядами. Рассмотрим атом ный электрон на орбите с высоким эффективным главным кван-
СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
товым числом п*. Электрон подвержен возмущению положи тельно заряженной частицей, и мы спросим, при каком значе нии п* возмущения настолько велики, что электрон покинет атом.
Для реальной плазмы получить детальное решение сформу лированной задачи было бы делом чрезвычайно сложным. Ведь ясно, что если возмущающий заряд достаточно близок, чтобы
вырвать электрон из атома, то |
+Ze |
+Z/0 |
|||||
применение боровской |
теории |
||||||
водородоподобных атомов даст |
|
|
|||||
очень |
плохое |
приближение. |
|
Р |
|||
Различные исследователи пы |
|
||||||
тались |
решить |
соответствую |
|
R |
|||
щее |
уравнение |
Шредингера, |
Рис. 3.9.1. Геометрия возмущения, |
||||
считая оба ядра неподвижны |
|||||||
ограничивающего |
сумму по состоя- |
||||||
ми. |
Мы сказали о |
влиянии |
|
|
|||
ионов, но, вероятно, и элек троны вносят существенный вклад в понижение энергии иониза
ции. Эти и другие осложнения нужно исследовать, прежде чем развивать окончательную теорию. Пока же остановимся на очень грубых приближениях.
Пусть электрон находится на расстоянии г от своего исход ного ядра с зарядом Z, возмущающий заряд Zx находится на расстоянии R от атомного ядра, а расстояние между электроном и возмущающим зарядом составляет р (рис. 3.9.1). Будем счи тать, что электрон «покидает» атом при таком р, когда силы., действующие на электрон со стороны обоих зарядов, равны по
величине, т. е. |
(3.9.1) |
Ze2/r2 = Zxe2/р2. |
|
Здесь г — функция эффективного главного |
квантового числа, и |
мы полагаем, что |
(3.9.2) |
г « (3/2Z) (пУ а0, |
где а0— боровский радиус (ср. [12, уравнение (3.20)]). По скольку г + р = R, исходя из (3.9.1) и (3.9.2) можно получить соотношение между R и п*:
R = (Пу а0(3/2Z) (1 + V~Zjz). |
(3.9.3) |
Исходя из несколько отличающегося критерия для «отрыва» электрона Унзольд [157] получил
R = (пУ aQ(2/Z) (1 + 2 V z j z ) , |
(3.9.4) |
т. е. для данного п* возмущающий заряд может находиться до вольно далеко и все же он вызовет отрыв электрона. Запишем
112 |
ГЛАВА 3 |
соотношение типа (3.9.3) и (3.9.4) в более общей форме:
R = (n)2aüf(Z,Zl), |
(3.9.5) |
где f(Z, Zi)— функция порядка единицы, и продолжим рассмо трение.
Пусть р(п*)— вероятность заполнения «*-го водородоподоб ного уровня. Тогда р(п*) равно вероятности того, что внутри описанной около атома сферы радиуса R, где R задается фор мулой (3.9.5), нет заряда -j-Zje. В гл. 5 приводится простой вы вод для вероятности P(R) отсутствия частиц в сфере радиуса R. Поскольку этот вывод полностью независим от других сообра жений гл. 5, отсылаем читателя к этой главе. В результате имеем
Р (R) = ехр (— 4nNR3/S), |
(3.9.6) |
где N — плотность числа возмущающих зарядов. Производя за |
|
мену (3.9.5), получим |
|
р («*) = exp {~(4zN/3)(ny[a0f(Z, Z,)P). |
(3.9.7) |
Теперь для суммы по состояниям можно записать |
|
U (Т) = 2 gn exp ( - lnfkT) + (2S' + 1) {2U + 1) X |
|
(известные уровни) |
|
ОО |
|
X ^ Р (n') 2 («Техр { — [%о— (Z2Ry/n2)]/kT), |
(3.9.8) |
(водородоподобные уровни)
Мы можем быть уверены в сходимости этого ряда, так как р(п*) быстро спадает к нулю.
Мы не будем останавливаться на подробностях численных оценок (3.9.8), отослав читателя к [3]. Очевидно, для больших«* сумму можно аппроксимировать интегралом.
Заметим, что мы пользовались двумя допущениями: 1) только ближайшие (положительно) заряженные частицы эффективны в понижении энергии ионизации, 2) положения этих зарядов не зависят от дебаевских взаимодействий [второе допущение под разумевалось при выводе (3.9.6)]. Эти допущения служили лишь для упрощения выводов и могут быть отброшены в окончатель ной теории.
3.9.2. Возмущения соседними нейтральными частицами. Если плотность числа заряженных частиц очень низка, то желательно рассмотреть возмущения от нейтральных частиц из-за вандерваальсовых взаимодействий.
Для двух атомов с расстоянием между ядрами R энергию возмущения можно разложить по степеням 1/R (ср. [122, § 47а]),