ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 149
Скачиваний: 0
202 |
ГЛАВА 6 |
включающий уширения ионами и электронами, но в астрофизике этот контур применялся почти исключительно для линий ней трального гелия [109].
6.10. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ КВАДРАТИЧНОГО ЭФФЕКТА ШТАРКА К УШИРЕНИЮ ИЗОЛИРОВАННЫХ СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ
Грим [63] провел обширные вычисления уширений крыльев линий электронами и ионами на основе приведенной здесь тео рии. За исключением линий НеІ [10, 31], заметных улучшений результатов для нейтральных атомов, по-видимому, получено не было.
Многие исследователи отмечали, что вычисления Грима при водят к результатам, не сильно отличающимся от полученных полуклассическими методами, описанными в гл. 5. Причину от сутствия существенных расхождений можно понять из рассмо трения уравнения (6.9.15) и рис. 6.9.2 и 6.9.3. Полуклассическая теория приписывает уширение линии сильным соударениям. От носительная роль сильных и слабых соударений определяется отношением ширин линий:
Сильные |
I А (Zmin) + В (Zmin) | |
,с 1П п |
Слабые |
I а (z,mn) | |
|
На рис. 6.9.2 и 6.9.3 видно, что это отношение редко бывает много меньше единицы. По этой причине полуклассическая тео рия с ее переменным параметром г)о достаточно хорошо воспро изводит результаты современной теории.
Для ионов экспериментальные результаты [65] показали, что расчетные ширины линий [63] были в 2—10 раз меньше наблю даемых значений. Грим показал [65, 66], что можно получить значительно лучшее согласие с наблюдениями, если рассматри вать сильные соударения как возбуждающие или гасящие стол кновения, используя полуэмпирический метод, развитый ван Режемортером [159] и Ситоном [134].
В атмосферах звезд ранних классов В наблюдается много линий многократно ионизованных атомов. Вряд ли современная теория уширения линий ионов позволит значительно расширить наши знания об атмосферах этих звезд. Скорее наблюдения звезд обеспечат основные данные, исходя из которых можно бу дет развить и подтвердить теорию уширения линий.
6.11 УШИРЕНИЕ ВАН ДЕР ВААЛЬСА
Подавляющее большинство линий металлов в спектрах звезд типа Солнца уширяется столкновениями с атомами нейтраль ного водорода. Причина этому — значительно большее пар
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ р а с с м о т р е н и е у ш и р е н и я ДАВЛЕНИЕМ 203
циальное давление атомов водорода по сравнению, скажем, с да влением электронов или ионов.
В настоящее время теория уширения ван дер Ваальса очень неопределенна, потому что ряд приближений, которые хотелось бы использовать, оказался неприменимым. Дело в том, что пер вый не обращающийся в нуль член в разложении Ф оказывается чисто мнимым (если рассматривать разумное приближение, см. ниже). Это означает, что слабые соударения приводят к смеще нию, а не к уширению линии. Следовательно, полная постоянная затухания определяется лишь сильными столкновениями, кото рые рассматриваются в рамках обычного приближения Лоренца.
Сильные столкновения, которые определяют ширину линии, происходят при прохождении возмущающих частиц на расстоя ниях, мало отличающихся от радиусов рассматриваемых атомов. Это означает, что разложение возмущений по степеням расстоя ния между атомами неудовлетворительно в том смысле, что те перь нельзя ограничиваться первым членом разложения, отбра сывая все остальные.
Теория уширения линий, рассмотренная в разд. 5.5, назы вается теорией Линдхольма — Фоли. Мы не будем останавли ваться на различиях между этой теорией и более элементарной теорией Лоренца (или Лоренца — Вейсскопфа), которая, ве роятно, наиболее наглядна из всех методов, изложенных в гл. 5, а отошлем читателя к монографиям [20, 152]. Пока необходимо только учесть, что эти теории объясняют столкновения в преде лах радиуса Вейсскопфа и, следовательно, принимают во вни мание то, что мы называем сильными соударениями. По этой причине выражение, которое мы выведем ниже для постоянной затухания вследствие сильных соударений, не будет существен но отличаться от подобного выражения, полученного методами, изложенными в гл. 5.
Рассмотрим опять изолированные линии, ширина которых много меньше расстояния уровней от других уровней, на кото рые могут индуцироваться переходы. Если пренебречь также нижним уровнем, то
<ß \ U ( ОО, - оо) —1|ß > = - ^оо |
V'(t')dfJ |
Jt ' |
V'{t")dt" + ... , |
— оо |
|
— оо |
|
|
|
|
(6. 11. 1) |
так как члены первого порядка в разложении возмущения не
дадут вклада (ср. [122]). |
Далее можно поступить так же |
как |
||||
в разд. 6.9 [ср. уравнение |
(6.9.4)], однако частоты с о = |
—■ |
||||
— Ер')//і |
обычно |
значительно больше, чем |
в |
стучае квадра |
||
тичного |
эффекта |
Штарка, |
и можно тотчас |
же |
вычислить один |
|
204 |
ГЛАВА 6 |
|
|
интеграл в |
(6.11.1). Мы имеем |
<ß | і / ( о о , — |
оо) — I I ß ) ------- - ^ r S I |
X Jf exp [— i (£p — Ep) (t" — t')/h] (ß' I V (t") |ß) dt". (6.11.2)
Пусть t" — t' = x; тогда после интегрирования по частям второй
интеграл станет равным *) |
|
|
|
Ь (РМѴ(ПІР) |
I Q [Г МР'ММПІР) I2) |
(6.11.3) |
|
і £р, — £ß |
( L £ß/ — £ß J Г’ |
||
|
и в большинстве интересных для астрофизики случаев мы можем отбросить члены более высокого порядка. Это члены порядка (Асо/со)2, где Аю — ширина линии, а со — частота резонансной линии возмущенного атома. В этом приближении
< ß | t / - l |ß) = |
Гdtf у |
(ß IH n iß 'H ß 'IH n iß ) |
(6.11.4) |
|
|
Оценка этого члена значительно бы упростилась, если бы можно было вынести из-под знака суммирования в (6.11.4) зна менатель £ у — £ß. Тогда мы имели бы сумму по полной си стеме состояний, и (6.11.4) можно было бы переписать в виде
< ß |£ / - l |
n |
f dt' <ß 11/2 (*')! ß>- |
(6.11.5) |
|
Ep •> |
|
E'p можно определить таким образом, чтобы значение (6.11.5) совпадало со значением в (6.11.4). На практике нужно рассма тривать фактическое возмущение, обращая внимание на то, что члены (ß| V(f') | ß') будут включать дипольные матричные эле менты возмущающей и излучающей частиц. Первый не обра щающийся в нуль член**) в сумме (6.11.4) будет преобладать, и, следовательно, хорошим приближением является выбор этого члена в качестве Е'Р. Первый не обращающийся в нуль диполь ный матричный элемент для возмущающей частицы является подходящей оценкой для резонансной линии. Когда разность энергий, соответствующая первому не обращающемуся в нуль члену для излучающей частицы, мала по сравнению с аналогич ной разностью для возмущающей частицы, хорошим приближе нием будет замена Е'Р на энергию первого возбужденного со стояния Ер возмущающей частицы.
*) Символ О означает порядок малости.
**) Может иметься несколько членов, включающих Е^, — Е^ я* Ер,
КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ УШИРЕНЙЯ ДАВЛЕНИЕМ 205
Если ограничиться разложением возмущения порядка 1/R3,
то
р2 |
2 |
v ^ ^ r m |
v r p ' rR~ v d i w {Tp' R)(r« - R) + • ••> (б-11-6) |
где Гр и гд — радиусы-векторы возмущающего и излучающего электронов относительно их ядер, а R = р + vt — радиус-вектор ядра возмущающей частицы относительно излучающей. Можно выбрать р = ру и V = ѵх, где х и у — единичные векторы. При
возведении в квадрат (6.11.6) и усреднении по всем углам боль шинство перекрестных членов исчезнет. Далее, учитывая усред нение по всем углам, можно заменить выражения типа x2py2R на
грг%19- Тогда (6.11.5) сведется к соотношению |
|
оо |
|
< ß |t / - H ß )=== _ |i - |l < ß ( r 2 r2 |ß) |
(6.11.7) |
— оо |
|
Интеграл в (6.11.7) уже рассматривался в гл. 5, где получено его значение Зя/(8р5п).
Если взаимодействие двух атомов настолько мало, что можно считать волновую функцию системы произведением отдельных волновых функций, то |ß) = Ißpßp) äs |ßp)|ßp). Переменные возмущающей и излучающей частиц почти не зависят друг от друга. В таком случае
<ß I £/ — 1 iß>= — |
<6 ЛІ -8) |
где черта обозначает усредненные матричные элементы. |
|
В принципе уравнение (6.11.8) |
подходит для получения |
у (сильное), так же как любое другое. Однако нужно еще ис пользовать понятие суммы по полной системе состояний, чтобы
получить приближенное выражение для г|. |
Записываем |
|
(ß і'р ІР> = 3 { 2 I (ß Up |ß') |
|2}ср , |
(6.11.9) |
где усреднение проводится по всем углам. Правая часть (6.11.9) пропорциональна сумме по силам линий для линий единичного статистического веса и ее можно заменить силами осцилляторов по формулам гл. 1. В такой сумме первый член, для которого f 1 (резонансная линия), обычно преобладает; следовательно,
<ß|r2p|ß> - 4 |
^ / . |
(6.11.10) |
|
Если это выражение подставить в (6.11.8), то при / = |
1 имеем |
||
(ß |t/ — 1 |ß>« — i — |
mE2p R P°ü |
(6. 11. 11) |
|
8 |
v |
’ |
|
206 |
ГЛАВА 6 |
Оператор Ф получается |
из (6.11.8) или (6.11.11) делением |
на Лт и усреднением по всем скоростям и прицельным пара метрам [ср. уравнение (6.4.2)]. Усреднение по ориентациям уже проведено. Ясно, что Ф будет мнимым. Поскольку ширина ли нии, или постоянная затухания, получается из действительной части Ф, полученное приближение определяет смещение, а не ширину линии.
Ширину линии будут определять сильные столкновения, и ее
можно найти из обычного приближения Лоренца |
(или Лорен |
|||||||
ца— Вейсскопфа) при условии |
|
|
|
|
|
|||
|
Kß|t/(oo, |
— оо) — 1 I ß) I — 1. |
|
|
||||
Тогда найдем pmin, в пределах |
которого |
происходят |
сильные |
|||||
столкновения и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V (сильное) = |
2яіѴ J |
92mlnvf (о) dv. |
|
(6. 11.12) |
|||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
Из (6.11.11) |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
Зл |
h e 4 |
|
|
|
(6.11.13) |
|
Pmin \ |
8 |
тЕр2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|||||
Радиусы г\ |
обычно |
оцениваются |
в приближении |
водородопо |
||||
добного атома, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 4 / ао) = |
і ёт-[5(«*)2+ |
1 - 3 1 ( 1 + 1)], |
|
(6.11.14) |
|||
где ао — радиус Бора, п* — «эффективное» |
главное |
квантовое |
||||||
число, определяемое уравнением (3.8.3), а I— орбитальный уг ловой момент оптического электрона. Выражение, подобное (6.11.13), можно получить из (6.11.8), а различия в этом и по добных ему соотношениях, приводимых в литературе, не имеют особого значения, поскольку все они определены лишь с точ ностью до множителя порядка двух или еще более грубо. Мы ввели переменный параметр тіо, который нужно взять равным 2/3, чтобы получить согласие с выражением, приведенным в [158], а для согласия с экспериментами тіо нужно иногда изменить на порядок. Соответствующие результаты экспериментов приво дятся в [51, 99, 100].
Теория Линдхольма — Фоли (ср. [158]) была распространена на взаимодействие с потенциалом Леннарда— Джонса [11, 77]. Это полуклассическое приближение кажется перспективным, и его нужно обобщить, последовательно проводя квантовое рас смотрение. Была подтверждена важность учета короткодей ствующих взаимодействий [126].