ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 144
Скачиваний: 0
Об о б щ е н н ы й г а р м о н и ч е с к и й ан ал и з |
21? |
Функцию Ф(п), которая определена при дискретных значе ниях п, нужно заменить соответствующей функцией непрерыв ной переменной ш. Поскольку Ф(п) есть мощность в единичном интервале частот, связь между двумя функциями определяется следующим образом:
Ф (п) яа Ф(со) Ай—>Ф((о)й?Сй при Г -> оо . |
(II. |
11) |
|
Если теперь подставить |
(II. 10) и (II. 11) в (II. 9) и взять пре |
||
дел суммы, то получится |
|
|
|
С (т )= |
|ф (< а)ехр (— шт) day. |
(II. |
12) |
Можно видеть, что автокорреляционная функция является преобразованием Фурье от спектральной плотности. Из обрат ной формулы Фурье следует, что спектральная плотность яв ляется преобразованием Фурье от автокорреляционной функции, которая для бесконечной апериодической функции определяется соотношением
|
7 7 2 |
|
C ( T ) = l i m - J r |
f f(t)f(t + x)dt. |
(II. 13) |
т->°°1 |
J |
|
|
-TI2 |
|
Строго говоря, мы должны определить спектральную плотность Ф(со) бесконечной апериодической функции как преобразование Фурье (II. 13). Наш прежний вывод показывает, что Ф(со) яв ляется аналогом Ф(п)/Асо периодической функции, период кото рой стремится к бесконечности.
Задача отыскания спектральной плотности из автокорреля ционной функции — одна из главных задач обобщенного гармо нического анализа. Эта задача рассмотрена в учебниках [103, 119]. Классическая работа Винера была переиздана в виде книги [169]. Численные аспекты этой задачи были рассмотрены в [14].
П Р И Л О Ж Е Н И Е III
Символический метод квантовой механики
III.1 ВВЕДЕНИЕ
Это приложение содержит краткое изложение тех аспектов квантовой механики, которые необходимы для понимания со временных теорий уширения спектральных линий. Оно предна значено как для подготовленного читателя, которому нужно лишь вспомнить некоторые понятия, так и для новичка, который должен овладеть этими понятиями.
Мы начнем с фундаментальных понятий состояния и прин ципа суперпозиции состояний. Затем изложим метод, который Дирак назвал символическим. Наиболее четкое описание сим волического метода дано самим Дираком. Мы примем его тер мины «вектор состояния» и «со-вектор состояния» (или просто «вектор» и «со-вектор») и будем часто ссылаться на его моно графию «Принципы квантовой механики» [42].
III. 2. КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ И ФИЗИЧЕСКАЯ ТЕОРИИ, ВЕКТОРНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Можно начать изложение символического метода как чисто математической схемы. В такой схеме мы рассматриваем неко торые неопределенные абстрактные величины и формулируем правила, согласно которым можно выполнять операции над этими величинами. Тогда задача чистой математики — открыть логически непротиворечивые соотношения (теоремы) между ве личинами и операциями. Мы вольны делать столько допущений о правилах и операциях, сколько пожелаем, пока не придем к логическому противоречию.
Мы переходим от чистой математики к физике, когда иден тифицируем физические понятия с нашими абстрактными эле ментами и операциями. Помимо логической непротиворечивости, физическая теория, выведенная из математической схемы, должна удовлетворять некоторым другим требованиям. Соотно шения, которые можно получить для физических величин, и операции, выполняемые над ними, должны находиться в согла сии с большим количеством экспериментальных результатов. Ко нечно, чтобы теория имела смысл, вовсе не обязательно, чтобы
СИМВОЛИЧЕСКИЙ МЕТОД КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ |
219 |
она была в согласии со всеми экспериментальными результа тами. Например, ньютоновская механика является физической теорией, которую можно успешно применять для описания са мых разнообразных физических явлений.
К счастью, в случае квантовой механики можно считать, что большое число экспериментальных результатов оправдывает (а не доказывает!) физическую теорию, и можно рассматривать саму теорию как логически непротиворечивую математическую схему. Допущения, которые вводятся по мере математической разработки теории, можно сделать правдоподобными, апелли руя к физической интуиции и к накопленному опыту работы с физическими (в противоположность математическим) величи нами. Однако значение такого «оправдания» чисто эвристиче ское. Исследователь может делать любые допущения при по строении своей физической теории до тех пор, пока его допуще ния не вступят в конфликт с логикой или экспериментом*).
Желательно дать название тем величинам, с которыми мате матическая теория квантовой механики имеет дело. Дирак на звал эти величины со-векторами и векторами состояний- и ввел для них символы (I и I). Если желают снабдить со-вектор или
вектор значком, то его помещают в середину символа {А | |
или |
|||
|Л). В общей теории |
эти |
величины |
удовлетворяют соотноше |
|
ниям, выполняющимся |
для |
обычных |
векторов, поэтому-то |
они |
и называются векторами или со-векторами состояний или про сто векторами и со-векторами.
Физическое понятие, которое описывается векторами или со-векторами состояний, есть понятие состояния физической си стемы. Понятие «состояние» лучше всего оставить неопределен ным в физической теории, так же как фундаментальные понятия остаются неопределенными в математической схеме. Тем не ме нее это слово может обозначать конкретное понятие. Например, мы говорим об энергетических состояниях атома, о состоянии движения частицы или о спиновых состояниях электрона. При веденные примеры употребления слова «состояние» означают, что мы можем осмысленно использовать это слово, даже избе жав его точного определения.
Определим для наших математических величин операцию умножения на число, которое, вообще говоря, может быть ком плексным. Если с — такое число, то мы условимся, что с\А) и |Л) соответствуют одному и тому же состоянию. Это означает, что мы идентифицируем состояние только с направлением век тора или со-вектора, а не с направлением и величиной. Вектор
*) Требование отсутствия противоречий между теорией и экспериментом может быть снижено, если физическую теорию не применять к области, где имеются эти противоречия.
220 |
ПРИЛОЖЕНИЕ III |
может иметь комплексные компоненты. Иногда удобно норми ровать вектор к единице, но это только математический прием, облегчающий рассмотрение.
Теперь определим операцию сложения векторов. Физический принцип, которому соответствует правило сложения, называется принципом суперпозиции состояний, и он является одним из са мых фундаментальных принципов квантовой механики. Если мы положим с = 2 в операции умножения, то увидим, что суперпо зиция состояния с самим собой приводит к тому же состоянию. Вообще в результате суперпозиции двух различных состояний получается третье состояние. Математически можно записать
Сі \А) + с2\В) = Сі{ \ Л> + -^ -|5> }. |
(III. 2.І) |
Эту суперпозицию можно выполнить дважды-бесконечным чис лом способов, поскольку комплексное число с2/сі == рехр(ІѲ) со держит две произвольные величины, модуль р и фазу Ѳ. Необхо димость введения комплексных чисел в математическую теорию вызвана тем, что физическая теория требует, чтобы общая су перпозиция могла осуществляться дважды-бесконечным числом способов. Когда складываются две волны, нужно учитывать и амплитуды, и фазы.
Вматематической теории со-векторы и векторы определяются
вразличных (векторных) пространствах. По этой причине со векторы и векторы нельзя складывать друг с другом. Однако принято, что имеется взаимно однозначное соответствие между
со-векторами и |
векторами и что со-вектор, соответствующий |
с\А), есть с(Л |, |
где { А|— со-вектор*), соответствующий век |
тору |Л). Если существует такое взаимно однозначное соответ ствие двух векторов в различных пространствах, то можно опре делить их эрмитово произведение**). Рассмотрим общий со-
вектор |
. .. + с п{А\ |
(III.2.2) |
|
<В| = с1(Л1| + с2< Л ,|+ |
|||
и соответствующий ему вектор |
|
|
|
IВ) = с, I Л,) + с21Л2> + |
. .. + сп \ Л„>. |
(III. |
2.3) |
Скалярное произведение определяется соотношением |
|
|
|
(В IВ) = фщ + с2с-2 + |
• • • + спсп. |
(III. |
2.4) |
*) Следуя обозначению Дирака, мы отмечаем комплексно-сопряженное |
|||
комплексного числа черточкой сверху. |
(Л2[Лі) = 1 и т. д., т. е. век |
||
**) Ср. [105, § 10.18]. Считается, что |
|||
торы IАп) аналогичны единичным базисным |
векторам (см. обсуждение |
соб |
|
ственных векторов ниже). |
|
|
|
СИМВОЛИЧЕСКИЙ МЕТОД КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ |
221 |
В элементарной квантовой механике выражение, соответствую
щее правой части тождества (III. 2.4), есть |
|
I ффаД = ^ änan, |
(III. 2.5) |
ср., например, уравнение (1.5.7).
Со-векторы и векторы могут подвергаться действию «линей ных операторов», в результате получается другой со-вектор или вектор. Действие линейного оператора а на общий вектор |Л) + |Д ) приводит к такому же результату, как действие опе ратора а на векторы |Л) и |ß ) по отдельности и последующее сложение. Со-вектор, соответствующий вектору а\А), есть (Л|й, где оператор а называется сопряженным оператору а. Если а = а, то оператор называют самосопряженным, или эрмито вым.
Линейные операторы в математической теории соответствуют динамическим переменным в физической теории. Сопряженность оператора соответствует комплексной сопряженности динамиче ской переменной. В элементарной квантовой механике встре чается линейный дифференциальный оператор, который соответ ствует импульсу в направлении х (динамическая переменная):
(іи . 2.6)
Принимается, что операторы, которые соответствуют (дей ствительным) измеримым физическим величинам, являются эр митовыми. [Может показаться, что вышеприведенное выражение противоречит этому предположению, но нетрудно показать (ср. [42, § 22]), что д/дх является мнимым линейным оператором!]
При перемножении двух линейных операторов получается третий. Например, положим
|
|
|
&|Л) = сф|Л>, |
(III. |
2.7) |
где I, |
а |
и |
ß — линейные операторы. В записи |
правой части |
|
(III. 2.7) |
подразумевается, что вначале действует оператор |
ß на |
|||
вектор |
|Л), |
а затем а. Для произвольного вектора можно запи |
|||
сать |
|
|
5 = aß. |
(III. |
2.8) |
|
|
|
|||
Вообще aß ф ßa, т. е. два линейных оператора не коммути руют. Куммутативность двух операторов в математической тео рии очень важна для соответствующей физической теории. Если два оператора коммутируют друг с другом, то физические вели чины, которым они соответствуют, можно одновременно изме рить с какой угодно точностью. Приведем два элементарных