ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 142
Скачиваний: 0
222 |
ПРИЛОЖЕНИЕ III |
примера. Согласно принципу неопределенности, положение х' и импульс р'х нельзя наблюдать одновременно*). Таким образом,
операторы рх и х не должны коммутировать. С другой стороны, можно одновременно с произвольной точностью наблюдать ком поненты импульса по х и у, так что линейные операторы рх и ру должны коммутировать. Действительно, используя, например, (III. 2.6), получим
( - “ (IIL2'9)
что очевидно из элементарной теории.
Для данного линейного оператора а можно выбрать такие векторы, что действие оператора а на вектор просто приведет к умножению вектора на постоянное число и не изменит его направления (состояния),т. е.
а|сс') = а'| а'). |
(III. 2.10) |
Такой вектор называют собственным вектором линейного опе ратора а. В физической теории состояние, которое соответствует такому собственному вектору, называется собственным состоя нием. Когда физическая система (с определенностью) находится в собственном состоянии динамической переменной ос с собствен ным вектором Іа'), то измерение динамической переменной должно с определенностью давать число а'. Принимают, что опе раторы а, имеющие собственные векторы |а'), |сс"), . . . , соот ветствуют реальным физическим величинам, численные значения которых можно измерить, проводя подходящий эксперимент.
Вообще имеется большое количество собственных значений и соответственно большое количество собственных со-векторов и собственных векторов. Если динамическая переменная а — дей ствительная физическая величина, то собственные векторы (и со-векторы) а являются ортогональными и образуют полную систему. Оба эти понятия знакомы из элементарной квантовой механики. На языке собственных векторов и со-векторов ортого нальность означает, что
(a' Iа") = 6а,а„. |
(III. 2.11) |
Справедливость этого выражения легко доказать, используя свойство самосопряженности оператора а, который соответ ствует реальной динамической переменной (ср. [42, § 9]). Полнота системы собственных векторов означает, что любой
*) Следуя Дираку, мы обозначаем физическую величину, которая соот ветствует линейному оператору, тем же символом, что и оператор, но со штрихом. Оператор со штрихом является, таким образом, числом.
СИМВОЛИЧЕСКИЙ МЕТОД КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ |
223 |
вектор можно представить как функцию собственных векторов:
\К) = с1\а') + с2\а")+ . . . . |
(III. 2.12) |
Проще всего принять этот результат в математической теории, поскольку для физической теории требуется такое свойство ее математического аналога. Это допущение основано на следую щих доводах.
Пусть имелось бы состояние, которое нельзя было бы опи сать математически в форме (III. 2.12). Это означало бы, что существует состояние, для которого нет соответствующего соб ственного вектора, а следовательно, и собственного значения. Поскольку собственное значение — это результат физического измерения, то динамическую переменную невозможно было бы измерить, когда физическая система находится в указанном со стоянии. А это противоречит нашему допущению о том, что оператор а соответствует реальной, измеримой физической ве личине.
Поскольку ос|А) является вектором, при помощи со-вектора (А I можно образовать скалярное произведение (А [а|А ). Ре зультат (А |а |А ) идентифицируют со средним значением дина
мической переменной, соответствующей |
оператору а. |
Можно |
также образовать скалярное произведение вектора а |А ) |
с дру |
|
гим со-вектором, скажем (В |. Результат |
|
|
(ß| а | А) |
(III. 2.13) |
|
можно рассматривать как элемент двумерной матрицы, и по тому его называют матричным элементом. Матричные элементы (т\Р\п) в гл. 1 являются частными случаями общего выраже ния (III. 2.13).
Одним из основных постулатов математической теории кван товой механики является следующее соотношение:
(А| ß) = (ß| А). |
(III. 2.И) |
Если это правило объединить с допущением, что {С\а есть совектор, соответствующий вектору а |С ), где а — оператор, то можно получить правило действия над матричными элементами. Пусть (А | = (С| а, тогда (III. 2.14) переходит в
(C |ä |ß ) = <ß|a|C>. |
(III. 2.15) |
Это соотношение используется в разд. 6.2.
Иногда удобно иметь обозначение оператора, от соответ ствующего матричного элемента которого берется комплексно сопряженное значение. Такие операторы будут отмечаться звез
дочкой сверху: |
|
(ß ! а |С) = (ß| <х| С). |
(III. 2.16) |
224 |
п р и л о ж е н и е |
m |
III.3. |
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ |
И «КАРТИНЫ» |
При работе с абстрактными величинами математического аппарата квантовой механики (со-векторы, векторы и линейные операторы) можно вывести соотношения, более общие, чем со отношения, которые можно получить, скажем, из волновых функ ций элементарной квантовой механики. Вдобавок легкость об ращения с операторными обозначениями дает большие преиму щества.
Но чтобы получить численные значения, необходимо перейти от этих абстрактных величин к более привычным обозначениям элементарной квантовой механики, таким, как волновые функ ции, и, в конечном счете, к самим численным величинам. Этот переход от абстрактного к конкретному можно совершить мно гими различными способами. Каждый из них соответствует тому, что Дирак назвал «представлением». Первое знакомство с кван товой механикой начинается обычно с координатного представ ления. Затем изучают импульсное представление. Сами действи тельные числа называются представителями. Представители всегда соответствуют выражениям в угловых скобках.
Часто удобно выбирать представление (т. е. последователь ность базисных векторов Іа')), имея в виду частную динамиче скую переменную а, так чтобы выполнялось соотношение (III. 2.10). Тогда, как следует из (III. 2.11), все матричные эле менты будут диагональными, и мы говорим, что а диагонально в этом представлении. Наиболее известным примером диаго нального оператора является оператор Гамильтона, который диагоналей в шредингеровском представлении элементарной квантовой механики (ср. [42, § 22]).
Покажем теперь, как знакомое координатное представление и его волновые функции можно получить из абстрактных поня тий со-векторов и векторов состояния. Мы ограничимся одной координатой X и рассмотрим одиночную частицу.
Собственный со-вектор (х'\ соответствует специальному слу чаю состояния (положения), в котором измерение координаты давало бы численное значение х'. Другими словами, {х'\ соот ветствует тому, что частица находится в х'.
В общем случае частица только с некоторой вероятностью находится в х'. Пусть вектор |ф) соответствует такому общему состоянию. Тогда эрмитово произведение (х|ф ) является ком плексным числом, которое будет различным для каждого от дельного значения переменной х, т. е. для каждого х'. Каждому значению х, скажем х', мы можем поставить в соответствие число (х'|ф ). Такое соответствие в математике называется функ цией, и мы пишем
<*'|ф) = ф(х'). (III. 3.1)
СИМВОЛИЧЕСКИЙ МЕТОД КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ |
225 |
В этом соотношении мы подразумеваем просто числа. Функ
циональная форма |
(III. 3.2) |
<*|г|)) = і|)(*) |
означает, что (III. 3.1) выполняется для х при любом его част ном значении х'. Конечно, ф(х) — волновая функция в коорди натном представлении.
Мы уже отмечали, что в абстрактных обозначениях получать соотношения проще, чем в обозначениях представлений. Можно показать, что если доказана верность соотношения в абстракт ных обозначениях, то будет также верно и аналогичное соотно шение в обозначениях представления (или матричного эле мента). Следовательно, нет необходимости заново выводить в неудобной системе обозначений результат, полученный в опе раторных обозначениях. Хотя это важное заключение не может быть доказано здесь и мы отсылаем читателя к § 17 моногра фии Дирака, оно будет использоваться нами в дальнейшем.
Если можно найти представителей со-векторов и векторов, которые описывают состояние квантовомеханической системы, и оценить матричные элементы или скобочные выражения, то это даст все, что квантовая механика способна рассказать о физи ческой системе. Основная задача квантовой механики, описы вающей изменения во времени, — определение векторов в мо мент времени t по их значениям в момент to. Допустим здесь (см. [42, § 27]), что эту задачу можно решить применением ли
нейного оператора T(t, t0) к вектору |Л (^0)): |
|
|
I A(t)) = T(t,t0)\A(t0)). |
(III. |
3.3) |
Аналогичные соотношения выполняются между |
соответствую- |
|
щими со-векторами и сопряженным оператором T(t,t0)*). |
|
|
Определим оператор Я соотношением |
|
|
i h j f \A(t)) = H\A(t)). |
(III. |
3.4) |
Будем считать, что оператор Я соответствует полной энергии
физической |
системы, |
и потому назовем |
его |
гамильтонианом |
|
(или оператором Гамильтона). Подставляя |
уравнение (III. 3.3) |
||||
в (III. 3.4), |
можно убедиться, что оператор |
Т удовлетворяет |
|||
тому же соотношению, |
что и вектор |
|Л(^)), |
т. е. |
|
|
|
ih-^T{t,to) = |
HT{t,to). |
(III. 3.5) |
||
*) Чтобы понять, что «динамическая переменная» соответствует такому оператору, как T(t,t0), нужно вспомнить, что в теории преобразований га
мильтоновой механики энергия, время и, следовательно, их функции рассма триваются как динамические переменные.
8 ч. К а у л и
226 |
ПРИЛОЖЕНИЕ Ш |
Теперь примем, что численное значение (Л |В ) не должно за висеть от преобразования во времени (ср. [42]). При этом предпо ложении становятся существенными длины векторов и со-век- торов. Дирак называет это «усилением принципа суперпозиции». Без этого уточнения была бы невозможна интерпретация |ф |2 как амплитуды вероятностей:
(Л (t0) I В (to)) = (Л (t) ! В (t)) = (Л (to) I Т (t, to) Т (t, to) I В (to)).
(III. 3.6)
Из этого соотношения, справедливого для произвольного со-век- тора Л и вектора В, можно вывести свойство унитарности опе ратора эволюции во времени T(t, to), т. е. получить равенство
T(t, to) T(t, to) = T~l (t, to) T(t, t0) = 1, (III. 3.7)
где, конечно, 1 есть единичный оператор, который оставляет векторы и со-векторы без изменения.
Другим полезным свойством оператора Т является соотно
шение |
(III. 3.8) |
T(t", t) — Т (t", t') Т (t', t), |
которое проверяется последовательным приложением операто ров правой части соотношения (III. 3.8) к произвольному век тору \K(t)).
В теории уширения спектральных линий нам потребуется выражение для зависимости от времени матричных элементов электрического дипольного момента квантовомеханической си
стемы |
(III. 3.9) |
(m(t)\P\n(t)). |
Если удастся определить этот матричный элемент для момента времени t0 и найти решение уравнения (III. 3.5), то можно за
писать
( m ( t) \P \ n (t)) = |
(m (to) I T (t, tQ) P T (t, |
t0) | n (tQ)), |
(111. 3Л0) |
|
и задача формально будет решена. |
|
|
как |
|
Уравнение (III. 3.10) |
получено рассмотрением векторов |
|||
величин, зависящих от |
времени по закону |
(III. 3.3). |
Если |
мы |
считаем, что изменяются векторы, то пользуемся картиной Шре дингера. Возможна и альтернативная интерпретация уравнения (III. ЗЛО). Вместо того чтобы считать, что операторы Т и Т дей ствуют на со-вектор и вектор, стоящие слева и справа, можно полагать, что они действуют на динамическую переменную Р, преобразуя ее во времени. Этот способ рассмотрения задач об изменении во времени в квантовой механике называется карти ной Гейзенберга. Из способа, которым мы ввели эти две кон-