ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 140
Скачиваний: 0
СИМВОЛИЧЕСКИЙ МЕТОД КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ |
227 |
цепдии — картины Гейзенберга и Шредингера, видно, что конеч ные результаты (представители) совпадают, какую бы картину мы ни выбрали. Использование той или иной картины вообще зависит от того, для какой из них легче получить представи телей. Во многих задачах о возмущениях и, в частности, в со временных теориях уширения спектральных линий желательно применять третью концепцию, называемую картиной взаимодей ствия.
III.4. ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
ИКАРТИНА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Вэтом разделе мы последуем блестящей трактовке Мерцбахера [108], но сохраним обозначения Дирака.
Предположим, что оператор Гамильтона можно разложить на две части: не зависящий от времени оператор Я0 и оператор Ѵ(і), представляющий возмущение. Тогда уравнение (III. 3.4) переходит в
т П Ш І ==[Но + Ѵ (і))\А(ф. |
(III. |
4.1) |
|||
Определим новый вектор |
\K{t)) соотношением *) |
|
|
||
K(i)) = |
exp[jrH0( t - t 0)]\A(t)). |
(III. |
4.2) |
||
После дифференцирования по |
t и использования (III. 4.1) |
по |
|||
лучим |
|
= |
ѵ, |
|
|
т d\Kjt)) |
(III. |
4.3) |
|||
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
V' (t) = exp [ 4 Ho (t ~ t o ) ] v |
(t) exp [ - 4 #o (*-*<>)] |
(111. 4.4) |
|||
и использована инверсия выражения (III. 4.2), т. е. |
|
|
|||
I А ( ф = ехр [ - 4 Н0 (t - t0) ] I К (t)). |
(III. |
4.5) |
|||
Векторы IK(t)) в картине взаимодействия удовлетворяют урав нению Шредингера с гамильтонианом V'(t). Они меняются во времени только из-за возмущения V(t). Таким образом, картина взаимодействия является промежуточной картиной, имеющей некоторые черты и гейзенберговской, и шредингеровской картин.
*) Оператор ехр (а), где а — также оператор, означает 1 + а + а 2/2 ! + , . . .
Матричный аналог соотношения типа (III. 4.2) довольно громоздок.
8*
228 |
ПРИЛОЖЕНИЕ m |
|
|
|
|
В результате подстановки уравнения |
(III. 4.5) в (III. 3.3) |
по |
|||
лучим |
|
|
|
|
|
I К (/)> = ехр Ң |
#о (/ - /о)] Т (U to) IК (ф). |
(III. |
4.6) |
||
Теперь мы определим новый оператор |
|
|
|
||
U(t,t0) = |
ехр |
-^Ho(t — to) |
T(t,t0), |
(III. |
4.7) |
который назовем оператором эволюции во времени в картине взаимодействия. Если записать
\K(t)) = U(t,tQ)\K(to)) (III. 4.8)
и подставить в уравнение (III. 4.3), то можно видеть, что опе ратор U удовлетворяет уравнению Шредингера с F' в качестве гамильтониана, т. е.
m dU~ (^ - = V'U (t, to). |
(III. 4.9) |
Уравнение (III. 4.9) можно решать методом итераций. Заме тим, что, когда V' обращается в нуль, U становится единичным (тождественным) оператором. Таким образом, для малых, но конечных V получается приближенное решение
|
t |
|
U(t, t0) ~ 1 |
J V'(t')dt'. |
(III. 4.10) |
|
*0 |
|
Более точное приближение достигается подстановкой соотноше ния (III. 4.10) в (III. 4.9). Этот процесс можно неограниченно продолжать и получить
t t t'
£/Mo) = i — i f f |
v'(t')dt' + - ^ l v ' ( t ' ) d f \ v'(t")X |
|
10 |
U |
ta |
|
X |
< # " + . . . . (III. 4.11) |
Такое решение невозможно получить в шредингеровской кар тине, поскольку в аналоге выражения (III. 4.9), т. е. в уравне нии (III. 3.5), Н нельзя считать малым.
111.5.МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ. СДВИГ ПО ВРЕМЕНИ
Вформальной теории рассеяния фундаментальную роль иг рает матрица рассеяния, или 5-матрица. Можно показать, что соответствующий S оператор равен оператору эволюции во вре
мени в картине взаимодействия с аргументами to = —оо,
СИ М ВО Л И Ч ЕС КИ Й |
М ЕТОД |
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ |
229 |
/ = +00 (см. [108, ch. 21, |
§ 6]). |
Если возмущения V(t) |
быстро |
спадают к нулю, оставаясь значимыми в малой области внутри (/0, /), то U(t,io) можно заменить на U(oo,—оо) или 5.
Недиагональные элементы матрицы S не идентичны для со ударений, которые происходят в различные моменты. Рассмо трим две физические системы I и II, одинаковые во всех отно шениях, с тем лишь исключением, что событие в системе I имеет место в момент tl, а соответствующее ему событие в си
стеме II в момент /п. Пусть для определенности |
t1 > |
/п, тогда |
|
система II опережает систему I на время tl — tu. |
|
|
|
Пусть системы подвержены зависящим от времени возмуще |
|||
ниям V1 и Vй, тогда |
|
|
|
уі(/) = у іі ( / _ / і + /Ц) |
|
|
(III. 5.1) |
и |
|
|
|
СО |
|
|
|
С/і (оо, — оо) = 1 — (ЦК) I exp (iHot'/h) Vй (/' + |
— /') X |
|
|
— оо |
|
, |
(III. 5.2) |
X ехр (—г Н4'1К) dt' + |
|
||
где U1— оператор эволюции во времени в картине взаимодей ствия для системы I. Замена переменных в (III. 5.2) приведет
ксоотношению
и1(оо, — оо) = ехр [іН0 (tl — tu)/h] X
X и п (оо, — оо) ехр [ - Ш0{tl — Іиш (III. 5.3)
Это соотношение используется в разд. 6.4.
П Р И Л О Ж Е Н И Е IV
Функция Н ( а. ѵ )
Было затрачено много усилий на вычисление свертки доппле ровского и дисперсионного контуров Н(а,ѵ). Армстронг [5] выполнил обзор литературы, посвященной этой функции, и опу бликовал программу на языке ФОРТРАН для ее вычисления. В большинстве учебников по лабораторным и звездным спек трам также рассматривается функция Я (а, о) (см., например, [2, 124, 158]). Ниже будут описаны три метода вычислений. Не обходимые для практических вычислений детали можно найти в цитируемой литературе.
IV. 1. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СТЕПЕНЯМ а
Очень часто а -С 1; тогда бывает полезно разложить функ цию Я (а, о) в ряд по степеням а. По определению
Я (а, о) == |
схр ( V 2) |
* 1/(а2 + o2) = |
-E-f, (и) * f2(v). |
(IV. 1) |
||||
Преобразованиями Фурье функций ft (v) |
и /2(у) являются*) |
|||||||
|
|
|
|
Fi(k) = |
Yn |
ехр (— k2/4), |
(IV. 2) |
|
|
|
|
|
F2{k) — |
exp (— а] k I). |
(IV. 3) |
||
Из теоремы о свертке и об интеграле Фурье имеем |
|
|||||||
Я (а, ѵ) ■ |
а |
1 |
exp (ikv) |
— exp (- |
>]х |
|
||
я |
2я |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
X \Ѵп ехр( — k2/4)\ dk. |
(IV. 4) |
|
Из (IV. 2) |
и |
(IV. 3) |
ясно, |
что |
произведение Fx{k) и F2(k) яв |
|||
ляется четной функцией k, |
так что Я (а, |
ѵ) не будет иметь мни- |
||||||
*) Модуль в (IV. 3) |
возникает по следующей причине: если k |
положи |
||||||
тельно, то |
|
|
j |
а если k отрицательно, то F2(&) =-Е -еай, |
||||