Файл: Калинчук, Б. А. Анализаторы инфразвуковых случайных процессов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 99
Скачиваний: 0
сигнала ошибки. При этом дисперсия сигнала ошибки, определяе мая как математическое ожидание квадрата центрированной функ
ции, остается постоянной и равной — б2, а средняя величина по
терь, определяемая через квадратичную функцию потерь S [х (t) — т| (/) ] в виде:
< е2 (/) > = м {а [х (0 - 1 1 (011, |
(1 -64) |
обнаруживает функциональную зависимость от /г. Действительно, полагая закон распределения сигнала ошибки квантования равно мерным в пределах, определенных выражением (1-59), и равным 1/6 (что справедливо для достаточно большого количества интерва лов квантования S), запишем величину средних потерь в виде:
Ѳ/ + 1(І—А-)—*Ѳу |
|
||
< е 2(/)> = ^ - |
[ |
S [х (/) —г) (/)] cfe= < [е (/)]2> + ео> |
(1-65) |
0/.(i-fe)-ft0/4 i |
|
||
о |
|
|
|
где е (/) — центрированный сигнал ошибки. |
|
||
Как следует из (1-59), математическое ожидание е (/) |
|
||
(8т)ша.ч |
|
||
Ео = -і- |
( |
е(0гіе = і ^ ( Ѳ / + Ѳ/+1). |
(1-66) |
(с—)max
Общее выражение для коэффициента связи /г, экстремальные значения которого определяются условием (1-58), запишется в виде:
|
|
fe= |
9/ + w--, |
(1-67) |
||
где 0 < т < |
1 |
Ѳ/+ |
°/ г1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из (1-66) и (1-67) следует |
|
|
|
|
||
|
|
е0= |
1~ |
2т |
5. |
(1-68) |
Учитывая, |
что дисперсия ошибки |
при |
ах/8 )§> 1 |
равна |
||
|
|
< [е (/)]2> |
== б2/ 12, |
(1-69) |
||
из (1-65) |
и |
(1-68) получим: |
|
|
|
|
|
|
< e 2 ( 0 > = 6 4 L ± 3(1-2m )!1 |
(1-70) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Окончательно, относительное превышение величин средних по терь при квантовании сигнала к дисперсии сигнала ошибки соста вит:
Д1(т) = [1 + 3 ( 1 — 2 т )2]. |
(1-71) |
44
Функция веса ф (in) (рис. 1-19) имеет ярко выраженный пара болический характер; минимальное значение г]) (т) (вершина па раболы) соответствует т = 0,5, когда величина средних потерь совпадает с дисперсией сигнала ошибки (е0 = 0).
Все предыдущие соотношения были выведены в предположении большой величины S. При использовании многоуровневых ампли тудных квантизаторов можно полагать среднее квадратическое отклонение входного сигнала ах много большим величин интерва лов квантования, т. е.
^о» 1 . |
(1-72) |
При выполнении (1-72) изменение кривой дифференциального закона распределения входного сигнала квантизатора х (t) в пре-
Рис. 1-20. Законы распределения і|> (т) сигнала ошибки при равномерном квантовании сигнала с нормаль
ным распределением
делах любого интервалаПсвантования Ѳ^., |
можно полагать ли |
нейным. Закон распределения ошибки квантования может быть получен наложением (аналитическим или графическим) участков кривой W (X) с соблюдением условия совмещения точек абсциссы W (х), соответствующих ір. Аналитическое соотношение для за кона распределения сигнала ошибки квантования имеет вид:
1і7(е) = ѵ |
117,(8 + ^ ), |
(1-73) |
/=і |
|
|
Ѳ/ - ' П / < е < Ѳ / + 1- і р , |
|
|
где Wx (е -f rp) — закон распределения входного сигнала, |
аргу |
|
мент X которого заменен на е + |
тр. |
|
На рис. 1-20 показан вид дифференциальных законов распреде ления сигнала ошибки квантования для S = 2, 4 и 6 при выполне
45
нии соотношения (1-58). Результаты расчетов по формуле (1-73) сведены в табл. 1-1. Закон распределения центрированного вход ного сигнала при построении W (е) принимался нормальным, а сам сигнал X (t) — нормированным.
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1-1 |
|
|
|
|
S = 2 |
|
|
|
|
|
|
— 1,5 с е < + 1,5 |
|
|
|
6 = 3 |
|
||
|
|
|
111і I = |
Иі2 I = |
1-5 |
|
|
|
£ |
— 1,5 |
—1,0 |
—0,5 |
0 |
|
+0,5 |
+ 1,0 |
+ 1,5 |
U/(e) |
0,4033 |
0,3696 |
0,296 |
0,259 |
0,296 |
0,3696 |
0,4033 |
|
|
|
|
S = 4 |
|
|
|
|
|
|
—0,75 |
е < +0,75 |
|
|
|
6= |
1,5 |
|
|
h li I = hU I = 2,25 |
|
|
|
I ’Ъ I = ! ’Ъ I = 0,75 |
|||
£ |
—0,75 |
—0,5 |
—0,75 |
0 |
|
+0,25 |
+0,5 |
+0,75 |
W (е) |
0,6623 |
0,6647 |
0,6656 |
0,6656 |
0,6656 |
0,6647 |
0,6623 |
|
|
—0,5 ■■ |
е < + 0,5 |
S = 6 |
|
6 = |
1 |
0,5 |
|
|
І’І2І = |
І’І5 І= |
1.5 |
|||||
l ’li 1= і Ча 1= 2,5 |
1’1з 1= |
1Ш 1= |
||||||
£ |
—0,5 |
—0,25 |
|
0 |
+0,25 |
+0,5 |
||
F(e) |
0,9953 |
0,9975 |
0,9982 |
0,9975 |
0,9953 |
|||
Как следует из кривых на рис. 1-20, распределение сигнала ошибки при S = 2 является бимодальным. С ростом числа интер валов квантования W (е) приближается к равномерному, не совпа дая с ним полностью вплоть до 5 = 6. Выбор іі/ согласно (1-58) обеспечивает нулевое значение математического ожидания сигнала ошибки е (t) и, как следствие, величину функции веса ф (ш) = 1, т. е. совпадение средних потерь при квантовании с дисперсией е (t).
Оптимизация работы амплитудного квантизатора возможна в на правлении минимизирования дисперсии сигнала ошибки при со хранении малой величины средних потерь, т. е. в области одновре менного выполнения условий:
Г< |
[е (012> = |
< [е (012> min, |
(1_?4) |
1 |
ф (т) = |
1. |
|
46
Следует отметить, что выражение (1-71) составлено при условии
т . = const. При этом в общем случае соотношение |
|
Tl/+ 1ls + !- /==0* |
О '75) |
за исключением тривиального выбора т,- = 0,5, не выполняется, т. е. интервалам квантования, симметрично расположенным относи тельно математического ожидания сигнала х (t), соответствуют раз личные по абсолютной величине уровни, передаваемые на выход
квантизатора. |
Последнее обстоятельство и вызывает е0 |
0, |
и, |
как следствие, яр (/«)> 1. |
|
при |
|
Рассмотрим |
вариант работы амплитудного квантизатора |
||
пі: Ф const и |
т .= \ — ms |
(I-76) |
|
|
|||
вые» |
границы |
интервалов, |
симмет |
Рис. |
1-21. Вид функцииX |
& (х) |
|
математического ожидания х 0 сигнала |
|||||||
рично расположенных относительно |
при |
|
|
||||
X (t) |
(д:0 = 0), |
получим: |
|
непрерывном изменении |
|||
|
|
|
|
сигнала от — X |
до + |
при |
|
|
Ѳ,+ |
Ѳ5+1_; = - 6 |
(1-79) |
выполнении |
соотношений |
||
и, следовательно, г);. + r\s+l_. = 0. Таким |
образом,(1-75) ипри(1-76)выполне |
||||||
нии условия (1-76) автоматически выполняется и соотношение (1-75). На рис. 1-21 показан вид сигнала ошибки при выполнении ус ловий (1-75), (1-76) и непрерывном изменении входного сигнала от — X до X. Здесь нулевое значение е0 влечет за собой, очевидно, совпадение величины средних потерь при квантовании с диспер сией сигнала ошибки De. Минимизация математического ожидания квадратичной функции потерь возможна теперь только за счет
уменьшения DË.
Для нормированного гауссового сигнала х (t) |
с нулевым мате |
|||
матическим ожиданием на |
основании (1-73) имеем: |
|
||
s |
°/+і-чг |
(е + 1/)2 |
|
|
/=і ' Ѵ 2л |
-ехр |
de. |
(1-80) |
|
0/—'V |
|
|
|
|
47
Несложным преобразованием выражение (1-80) приводится к виду:
D.= |
(—O-507:-.) + |
/=1
+ (0У—2Т1.) exp (-0,502)] + (^2+ 1) [ф ,0. ,) _ ф (Ѳ.)] J, (1-81)
где Ф (0) — функция Лапласа.
°: |
, |
0'P |
, |
tft Ь\Ы |
\0 |
Ц |
Ц |
1,9 |
2,2\і)гl,lfrl |
2,0 |
2ß |
2,6 |
2# |
J,2l7,ljysl |
Рис. 1-22. |
График зависимости |
Рис. 1-23. |
График зависимости |
||
D Eі |
= |
f |
Ol/) при S = 4 |
DBj = |
f, Ol/) при S = 6 |
|
|
||||
|
|
|
|
||
Соотношение (1-81) позволяет построить систему уравнении от носительно величины г)/, определяющую зависимости Dr! = f (tp), где Dsj — элементы суммирования в (1-81). В табл. 1-2 приведены системы квадратичных уравнений для случаев S = 2, 4, 6 и 8.
Графическая |
интерпретация |
зависимостей |
Dej = |
/ (гр) |
для S = 4 |
|||
и S = 6 приведена на |
рис. |
1-22 и |
1-23. |
|
|
|
||
Полагая в (1-80) S |
== const, найдем, что условие |
|
||||||
|
M ( E [ .t( 0 - ll m = D e min, |
|
(1-82) |
|||||
выполняется |
при: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Л/opt |
exp (—0,5 Ѳ/+!) —exp (—0,50/) |
» |
(1-83) |
||||
|
--- Г , |
\ |
/ |
' п |
||||
где |
|
V 2л [ф(0;.) - ф ( 0 уЧ1)] |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф(Ѳу) = - и |
1 |
e~**dz |
|
(1-84) |
|||
— функция Лапласа. |
|
У 2ліх . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
48
S = |
2 |
/ = 1 | |
2 |
D e/ = |
0,4987 т|? — 0,7911 | ц. | + |
Таблица 1-2 |
|||||
0,4853 |
|
||||||||||
S = |
4 |
/ = |
1; |
4 |
D e/ - |
0,0654 ц? — 0,2503 | і1у. | + |
0,2465 |
|
|||
/ = |
2; |
3 |
Dej =-■ |
0,4332 т]у — 0,5408 ) |
| + |
0,2388 |
|
||||
|
|
||||||||||
S = |
6 |
/ = |
1; |
6 |
Dfj --- |
0,0214 11? — 0,0994 11^. | + |
0,1164 |
|
|||
/ = |
2; |
5 |
Dej |
0,1359 и? — 0,3770 | i]y.| + |
0,2703 |
|
|||||
Dej |
|
||||||||||
|
|
/ = |
3; |
4 |
|
0,3413 11? — 0,3148 h iy. 1+ |
0,0987 |
|
|||
|
|
/ = |
1; |
8 |
Dej = |
0,0110 ii? — 0,0549 1ii; 1+ |
0,0694 |
|
|||
S = |
8 |
/ = |
2; |
7 |
De/ ^ |
0,0546ii? — 0,1952 |ii;. 1+ |
0,1770 |
|
|||
у = |
3; |
6 |
Dej =- --- 0,159811? — 0,3448 Ң-1 + |
0,1918 |
|
||||||
|
|
/ = |
4; |
5 |
Dej |
0,2734 ii? — 0,1952 111; | + |
0,0466 |
|
|||
|
|
|
|
||||||||
Из |
(1-78) |
и |
(1-83) |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ехр ( ~ 0,5Ѳ?+ і) |
exp ( |
0,59?) |
|
| |
(1-85) |
|
|
|
7 0 P t |
1Л > |
л 0/[ ) ф |
-( ф |
( О |
/ + 1 ) ] |
||||
|
|
|
|||||||||
Принимая, |
что закон распределения нормированного сигнала |
||||||||||
X ( і ) |
ограничен |
пределами (— X, X), |
найдем: |
|
|
|
|||||
б
Учитывая, что
2Х_
( 1-86)
S
Ѳ і = - Х , |
(1-87) |
запишем границы /-го интервала в виде:
Ѳ/ = 0і + (/ — 1) б == X
( 1-88)
1
Выражение (1-83) с учетом (1-88) приобретает теперь следующий вид:
exp |
— 0,5Х~І2 -І--- Л 2 |
|
2Л'2 |
|
|||
1 - e x p ^ - ( 2/ - S - I ) |
|||||||
_ |
L |
\ |
s |
/ . . |
S2 |
. (1-89) |
|
11у opt |
|
|
|
|
|
|
|
V |
2п |ф |
Г х ( У |
1 |
iV — Ф |
x ( 2 -i---Л |
|
|
|
|
L 1 |
s |
|
jj |
1 S |
/J |
3 Зак. 1548 |
49 |