Файл: Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах.pdf

71

То же самое получаем, естественно, поделив непосредственно подсчитанные значения La и Са.

Подсчитаем период малых колебаний в окрестностях равно- df

Таким образом, период помпажных колебаний в момент воз­ никновения помпажа равен « 0,01 с.

Перейдем к построению процесса установления режима и к определению периодических движений в системе при различных

показывает, во сколько раз необходимо изменять отрезок М\А\,

или М\А%. Подставляя значения т и получаем Са

v = m2-^ - = 1002 - 10—“ = 1 .

Са

Следовательно, в данном случае длину отрезков М\А\ и М\А% изменять не следует.

Пусть дроссель установлен в таком положении, что ему соот­ ветствует характеристика сети, показанная на рис. 2.5. Равно­ весный режим определяется точкой, достаточно удаленной от максимума характеристики вентилятора. Построение фазовых траекторий, проведенное на рисунке, показывает, что в системе невозможны периодические движения и, следовательно, невоз­ можен помпаж. Все фазовые траектории представляют собой спирали, асимптотически наматывающиеся на особую точку, являющуюся устойчивым фокусом.

Прикроем несколько дроссель. Пусть характеристика сети при этом будет такой, как на рис. 2.6. Как видно из характера фазовой плоскости, здесь особая точка также является устойчи­ вым фокусом, т. е. ее характер не изменился.

Однако на фазовой плоскости возникает замкнутая кривая (предельный цикл), которой соответствует периодическое движе­ ние— помпаж в исходной системе. На рисунке видно, что все траектории извне наматываются на предельный цикл, а изнутри

72

Рис. 2.6 Рис. 2.7

сматываются с него и наматываются на устойчивый фокус. Сле­ довательно, в системе возникает полуустойчивый предельный цикл. При достаточно больших начальных толчках помпаж мо­ жет установиться, однако вероятность, что он просуществует сколько-нибудь долго, ничтожно мала ввиду того, что всегда имеются случайные толчки, которые выбьют изображающую точку внутрь предельного цикла, и колебания затухнут.

Если прикрыть дроссель еще больше (рис. 2.7), то полуустой­ чивый предельный цикл разделится на два предельных цикла — устойчивый наружный и неустойчивый внутренний.

Особая точка остается устойчивым фокусом, поэтому коле­ бания самопроизвольно установиться не могут. Область притя­ жения устойчивого фокуса распространяется на всю часть фазо­ вой плоскости, расположенную внутри неустойчивого предель­ ного цикла. Поэтому все начальные отклонения, которым соответствуют точки фазовой плоскости, расположенные внутри неустойчивого предельного цикла, будут затухать.

В случае возникновения достаточно сильных начальных толчков, которым соответствуют точки фазовой плоскости, рас­ положенные снаружи неустойчивого предельного цикла, все фа­ зовые траектории будут наматываться на внешний устойчивый предельный цикл, и в системе возникнут помпажные коле­ бания.

Легко видеть, что стабильность помпажа зависит от расстоя­ ния между устойчивым и неустойчивым предельными циклами: чем это расстояние меньше, тем меньше стабильность помпажа. В то же время расстояние между циклами тем меньше, чем бли­ же положение дросселя к тому, которое соответствует полуустойчивому предельному циклу. Этим объясняется известный из экс­

73

периментов факт, что в случае жесткого режима помпаж в мо­ мент возникновения является малоустойчивым и то возникает, то исчезает.

Будем продолжать прикрытие дросселя. При некотором его положении точка равновесия совпадает с точкой максимума ха­ рактеристики 1 вентилятора (рис. 2.8). В этом случае топологи­ ческая структура разбиения фазовой плоскости не отличается от только что рассмотренной, но устойчивый предельный цикл уве­ личивается, а неустойчивый — уменьшается.

При дальнейшем прикрытии дросселя устойчивый цикл про­ должает увеличиваться, а неустойчивый уменьшается, и при не­ котором положении дросселя неустойчивый цикл сливается с особой точкой, передавая ей свою неустойчивость. В системе остается один устойчивый предельный цикл и неустойчивый фокус. При еще большем прикрытии дросселя неустойчивый фо­ кус переходит в неустойчивый узел. Последнему случаю соот­ ветствует рис. 2.9. При положениях дросселя, когда на фазовой плоскости имеются неустойчивый узел и устойчивый предельный цикл, помпаж возникает самопроизвольно.

Если прикрывать дроссель далее, то рабочая точка переме­ щается по восходящему участку характеристики справа налево и в некотором диапазоне положения дросселя структура фазо­ вой плоскости будет совпадать со структурой, показанной на рис. 2.9. Однако с момента перехода рабочей точки через точку перегиба характеристики вентилятора топологическая структура фазовой плоскости начнет изменяться в обратном порядке: сна­ чала неустойчивый узел перейдет в неустойчивый фокус, затем от особой точки отпочкуется неустойчивый предельный цикл, а сама особая точка сделается устойчивой, в системе появятся два предельных цикла — внутренний неустойчивый и внешний устой­ чивый. Следовательно, помпаж из мягкого сделается жестким.

74

Это значит, что для его возбуждения требуется начальный толчок, и помпаж не самовозбуждается.

При еще большем прикрытии дросселя ра­ бочая точка перейдет влево от точки минимума характеристик вентиля­ тора, и в системе будет происходить жесткий помпаж на нисходящей ветви характеристики.

На рис. 2.10 показана фазовая плоскость в слу­ чае полного закрытия дросселя (что соответст­ вует, например, напол­ нению бака). На ней имеются два предельных цикла (из которых мень­ ший — неустойчивый) и

устойчивый фокус. Следовательно, в системе возможен жесткий помпаж.

Чтобы в случае расположения рабочей точки слева от мини­ мума характеристики вентилятора получить такой же характер фазовой плоскости, как на рис. 2.5, необходимо рабочую точку характеристики расположить еще левее, чем указано на рис. 2 .10. Для этого требуется принудительно вдувать в вентилятор воздух через напорный трубопровод. В системе тогда будет существо­ вать особая точка типа устойчивого фокуса или узла, а периоди­ ческие движения исчезнут, так как неустойчивый и устойчивый предельные циклы сольются, превратятся в полуустойчивый пре­ дельный цикл и затем исчезнут.

2 .5 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДА КОЛЕБАНИЙ

Определим период колебаний для одного из рассмотренных случаев, например, для показанного на рис. 2.8. Точками Nu N2, N3 и N4 разбиваем предельный цикл на четыре дуги NiN2, N2N3,

N^Ni — Ha участки высотой в одно деление оси ординат. Концы участков отмечаем цифрами /, 2, ..., 31. От середины каждого

из участков дуг N\N2 и N3N4 проводим вертикали СД)* до пере­ сечения с характеристикой вентилятора (на рисунке отмечена вертикаль С7Д7). От середины каждого из участков дуг N2N3 и

75

NaNi проводим горизонтали С,£,- до пересечения с характеристи­ кой сети (на рисунке отмечена горизонталь С22Е2э).

Подсчитаем длины отрезков С,£г- и С,£),- и образуем выраже­

ние

без учета сил трения. При этом было получено Т = 0,011 с. Таким образом, в рассмотренном случае под влиянием сил трения зна­ чение периода увеличивается на 0,002 с, что составляет 15% от истинного значения Т.

2.6. ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ РАЗМЕРОВ СИСТЕМЫ НА ХАРАКТЕР ПОМЛАЖА

Выясним влияние на характер помпажа изменения геометри­ ческих размеров системы при условии, что характеристики вен­ тилятора и сети не изменяются (т. е. если р, Т, п, ро и положение дросселя сохраняются постоянными).

Из выражения

U

следует, что —— увеличивается при уменьшении s и увеличении

76

—убывает до нуля, то ——

сывающего и напорного тру­ бопроводов (при которой еще возможна принятая идеализация с одной сте­ пенью свободы) можно ука­ зать такой максимальный наклон восходящего участ­ ка характеристики компрес­

сора, при уменьшении которого помпаж в системе невозможен.

О до оо. Положим вначале, что — — >0 (рис. 2 .1 1 ). В этом слу-

Са

чае точка Л3 (рис. 2 .12 ) неограниченно приближается к точке

dQK

тральные кривые будут идти горизонтально, и фазовая диаграм­ ма примет вид, показанный на рис. 2.11. Если точка пересечения характеристики сети находится на восходящем участке характе­ ристики вентилятора, то независимо от ее расположения на этом участке образуется устойчивый предельный цикл, составленный из дуг АВ и CD характеристики вентилятора и отрезков прямых

Рис. 2.12

9