Файл: Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах.pdf

В результате подстановки сюда найденных ранее выражений для La и Са получим при адиабатическом сжатии

(3.15)

Перейдем теперь в уравнениях движения к весовому расходу, положив Qoyo = Go! QroYo = Grq. Тогда

Подставляя эти выражения в уравнения (3.11) и (3.12), по­ лучаем следующую систему уравнений:

СаРб = G0— Gfio(As).

где

(3.17)

(3.18)

для случая зависимости (3.9); здесь

(3.19)

3.2. ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

Будем рассматривать движения в окрестностях положения равновесия, чтобы установить условия самовозбуждения и вы­ яснить характер процесса установления. Выше такое исследова­ ние было проведено приближенным методом при использовании значительных допущений.

Здесь исследуем характер возбуждения колебаний и опреде­ лим мягкий и жесткий режимы точным методом, следуя Ляпуно­ ву [23].

Рассмотрим систему уравнений (3.11) и (3.12). Перенесем начало координат в особую точку QJ , р б* . Полагая

90

dQl

компрессора в рабочей точке. Таким образом, получено условие самовозбуждения и статической устойчивости в том же виде, что и ранее.

91

3.3. УСЛОВИЯ МЯГКОГО И ЖЕСТКОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ПО ЛЯПУНОВУ

Перейдем к вопросу о характере возбуждения помпажных колебаний. В этом случае нельзя ограничиться рассмотрением уравнений первого приближения, а необходимо учитывать нели­ нейные слагаемые разложения функций F и ср.

Согласно Ляпунову [2, 23], жесткий или мягкий характер воз­ буждения определяется знаком некоторой величины q. В прос­ тейшем случае этот коэффициент будет иметь вид (при учете членов F'2" и q"')

если q < 0, то мягкое. Предположим вначале, что характеристи­

то возбуждение жесткое.

При переходе на восходящий участок характеристики сказы­

вается влияние члена F'F"2. Так как F > 0, то при удалении от точки максимума характеристики влево возбуждение будет жестким, если удовлетворяется условие

F "'(Q l)> F'F"*Ca

F'C ,— L

Следовательно, наличие члена, пропорционального F'F"2, облегчает возникновение жесткого режима. Таким образом, на

режима возбуждения. Этот результат является уточнением вы­ вода, который был сделан выше, когда вытекала необходимость условия E"'(QJ ) > 0.

92

Если характеристика сети не прямолинейна в окрестностях рабочей точки, то необходимо учитывать члены с <р" и q/". При квадратичной зависимости между давлением и расходом Ар = = KQ2 будем иметь

В этом случае область жесткого режима уменьшается. Влия­ ние членов с ф" и ф'" уменьшается при увеличении напорности компрессора.

При работе на нисходящем участке характеристики компрес­ сора, где F' < 0, критерий (3.28) оказывается неприменимым, так как здесь нельзя выполнить условие

р/ _ £-аф

Са

В этом случае необходимо рассматривать систему «в боль­ шом» и учитывать поведение характеристики компрессора на восходящем участке.

Условие (3.29) допускает, при учете поведения характеристи­ ки компрессора вдали от рабочей точки, возможность появления предельных циклов. Для рассмотрения возможности появления большего числа предельных циклов необходимо учесть члены в разложениях функций F и ф выше третьего порядка.

3.4. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ, СОДЕРЖАЩИХ ДРОССЕЛЬ ВО ВСАСЫВАЮЩЕМ ТРУБОПРОВОДЕ

Рассмотрим систему, схематически показанную на рис. 3.1. Ее составляют всасывающий трубопровод с дросселем на входе, компрессор и выходной трубопровод, сообщающийся с атмо­ сферой.

Подобная схема соответствует работе так называемого газососа, который преодолевает сопротивление только на стороне всасывания и производит выталкивание газа в атмосферу. Ана­ логичная схема применяется и в установках для испытания ком­ прессоров.

Примем те же допущения, что и при выводе уравнений систе­ мы с дросселем на выходе, причем будем теперь считать, что ем­ кость сосредоточена за всасывающим дроссе­ лем.

Обозначим через ро, Ро, Со, Qo — соответствен­ но давление, плотность, скорость звука и объем­ ный расход на входе во всасывающий трубопро­

93

вод. Эти же величины за дросселем, перед и за компрессором будем отмечать соответственно индексами 1 , 2 и 3; длины и се­ чения трубопроводов 1 и 2 обозначим через l\, /2, Si и .s2. Плот­ ности р] и р2 полагаем, как и раньше, одинаковыми. Тогда по­ лучим следующую систему уравнений, описывающих последо­ вательно процессы, происходящие в дросселе, всасывающем трубопроводе, компрессоре и выхлопном трубопроводе:

Ро— P i = ф(СЫ;

CaPl = Ql — Q

L a\Q2 — P i — P '/•

PZ = p2n{Q2)'<

^aPl = Ql — Q2 = Ф(р|)— Q2 •

Если компрессор малонапорный, то можно положить Q2 ~ Q3; тогда движение описывается уравнениями

L aQ 2 — Р\ — Р о

где

С * Р \ = Ф(А) — Q2; L a = Ди

а2 ■

P i СТ

При малых напорах pi ~ р0; С| = со, тогда

Дифференциальное уравнение интегральных кривых будет иметь вид

P i —

94

Преобразуем теперь уравнения движения в случае высоко­ напорного компрессора, придем все величины будем относить к параметрам за дросселем. Из условия неразрывности следует, что P2Q2 = рз<2зОтсюда получим (при слабом помпаже, когда р = const)

Q3 = Q2 -P^.

Рз

Полагаем, что Q3 ~ Qo; рз = ро (так как выхлопной трубо­ провод открыт, а член LuoQ3полагаем малым). Кроме того, во

с отбором тепла, то необходимо учитывать фактическую темпе­ ратуру.

Как и в случае высоконапорного компрессора с дросселем на выходе, в уравнениях (3.31) можно полагать La и Са постоян­ ными при слабом помпаже. Если же помпаж сильный, то La и Са будут изменяться значительно в связи с изменением степени сжатия j i ( Q o) .

3.5. ПОСТРОЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОМПРЕССОРА

Рассмотрим случай слабого помпажа. При этом La = const,

Приведем это построение с некоторыми уточнениями и обобще­ ниями.

95

Пусть DAE (рис. 3.2) являет­ ся характеристикой компрессора при отсутствии дросселирования на входе и при наличии дросселя на выходе, если избыточное дав­ ление на входе является посто­ янным р0 — 1 ат.

Допустим, что давление на входе изменяется дросселирую­ щим устройством по кривой Oid, причем дросселирование неве­ лико и температура на входе из­ меняется незначительно. В этом случае новое конечное давление р[, т. е. ордината новой характе­

= const (при изотермическом процессе).

Геометрическое построение, соответствующее этой пропорции, основывается на подобии треугольников ОАК и CM'^i и ОВК

и OB'К.

Здесь луч ВО пересекает кривую 0\й в точке, соответствую­ щей давлению р ^ прямая же Л О пересекается с вертикалью, про­

ходящей через точку, соответствующую давлению р ' в точке А',

являющейся точкой новой характеристики DA'E', принадлежа­ щей кривой всасывания 0\d, Объем Q', соответствующий давле­ нию р I , относится к недросселированному всасывающему тру

бопроводу, т. е. к условиям на входе, так как все абсциссы кри­ вых соответствуют именно этому состоянию газа. Во всасываю­ щем трубопроводе объем больше и оба эти объема относятся один к другому как давления

Q ' _ Р о

Q o Ро

Q '- ^ = Qo-

Ро

Следовательно, объем за дросселем не изменился. Предположим теперь, что давление рк на выходе из трубо­

провода остается постоянным и равным ро (т. е. что выходной дроссель отсутствует) и что'я невелико, так что температура на входе меняетсяпренебрежимо мало. Построение для этого слу­ чая приведено на рис. 3.3. Точке А на обычной характеристике

96

к параметру на входе. Если необходимо построить характеристи­

ку ——— , отнесенную к параметрам за дросселем, то необходимо

п(Qk)

перенести точку Ai горизонтальным переносом на прямую АК',

точка Аь и будет точкой характеристики Fx= — , отнесенной

51(Qk)

к параметрам перед компрессором. Вся характеристика пред­ ставляется кривой D1A2E.

В случае адиабатического процесса перестроение производит­ ся аналогичным образом, лишь абсциссы новых точек при па­ раллельном переносе определяются по иным формулам.

В дальнейшем анализ будем проводить относительно пара­ метров на входе в компрессор, так как тогда при преобразова­ ниях происходит значительная деформация характеристик ком­ прессора и сети. Например, однозначные характеристики могут преобразоваться в многозначные, что существенно затруднит рассмотрение и потребует введения специальных приемов ис­ следования.

На рис. 3.4 приведен пример построения характеристик ком­ прессора (J) и сети (2) по нормальным характеристикам V и 2'. Из чертежа видно, что характеристика компрессора, будучи однозначной при наличии дроссельного устройства на выходе, превращается на участке АВ в трехзначную характеристику; одновременно характеристика сети делается двузначной.

Казалось бы, наличие многозначных участков характеристи­ ки компрессора должно вызвать неустойчивость системы и помпаж в ней. В действительности система может стать даже более устойчивой, что связано с многозначностью также характеристи­ ки сети. На рисунке пунктирными линиями 1" и 2" изображены характеристики компрессора и сети, отнесенные к расходу Q2 перед компрессором.