Файл: Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах.pdf

1*1 = ^ .

Подставляя в выражение (3.33) значения отдельных членов, получаем:

для случая дросселя на выходе

тогда A' = AN.

Если дробь N в правой части больше единицы, то система с дросселем на входе будет устойчивее системы с дросселем на выходе; если N < 1, то менее устойчивой. Легко видеть, что всег­ да можно указать такие значения /. и 12, при которых система с дросселем на входе будет устойчивее, чем с дросселем на вы­ ходе. В частности, всегда можно указать такое, достаточно боль­ шое 12/1и чтобы обеспечить (при данном я) большую устойчи­ вость системы с дросселем на входе. С другой стороны, при достаточно малом l2/h система с дросселем на входе будет ме­ нее устойчивой, чем система с дросселем на выходе.

Если задано N > 1 при данном я = я., то, увеличивая я, мож­ но сделать N < 1, т. е. с увеличением степени сжатия при дан­

102

ных геометрических размерах системы, систему, более устойчи­ вую при дросселе на входе, чем на выходе, можно сделать менее устойчивой.

3.8. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ ПРИ РАЗМЕЩЕНИИ ВОЗДУШНОГО ОБЪЕМА НЕ В КОНЦАХ ТРУБОПРОВОДА

Рассмотрим случай, когда емкость объемом V расположена в середине нагнетательного трубопровода.

Обозначим через ро, Р" , Рк >Рв и Р д — абсолютные давле­ ния на входе в трубопровод, перед и за компрессором, в емкости и перед дросселем. Длины и сечения участков трубопроводов — соответственно 1и /2, /з, Sj, s2, s3. Объемные расходы через на­ гнетатель и выходной дроссель — QK и Qa. ' Эти расходы, отне­ сенные к давлению ро, будем обозначать через Qо и Qaо- Тогда уравнения для каждого из участков воздушного тракта будут:

^alQo=-Po— Рй

Pk= PM Q0);

Рб ~ Р к L a2Q.K, С аРб = Qk Qx>

^а<2д = Рб— Рд, Рд— РО = ф(Одо)-

Если учесть уравнения неразрывности

PoQo= PkQk'i PoQAo= PkQa>

то, имея в виду, что

получаем систему трех нелинейных дифференциальных уравне­ ний 1-го порядка:

Пусть Q о , о *0, р *— значения, соответствующие стационар­ ному режиму и определяемые из условий

F{Q0) — рб = 0; Q0— (2ДО= 0; рб— ф1(РдО) = 0-

103

Положим,

Qo = Qo+x', Рб — рб + у, Qao — Qflo + z.

Тогда получаем, в линейном приближении, систему трех уравнений 1 -го порядка:

Lax = F’x — y,

Cty = x — z\

La%z = у — kz,

dQ*о

Характеристическое уравнение этой системы будет

LaLa3Cav3 + Ca(Lak— La3F')v2 + {La + La3— CaF'k)v + (k— F') = 0.

Условия устойчивости Гурвица для данной системы будут иметь вид

Система будет устойчивой, если выполняются одновременно все эти неравенства. Она отличается от рассмотренных ранее наличием трубопровода между емкостью и выходным дросселем. Нетрудно видеть, что добавление этого трубопровода уменьшает устойчивость при больших La3 и увеличивает ее при малых La3.

3.9. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ В СИСТЕМАХ ПРИ НАЛИЧИИ ГИСТЕРЕЗИСНЫХ И РАЗРЫВНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК КОМПРЕССОРА

Опыт показывает, что в высоконапорных компрессорах ха­ рактеристики часто бывают разрывными и неоднозначными на некоторых участках. На рис. 3.6 приведен пример такой характеристики, представленной уча­ стками FB и СЕ. Здесь в полосе,

104

давление описывается участком ED характеристики. Если теперь начать уменьшать расход от значений, больших Q" , то давление

будет меняться по закону, определяемому ветвью CD вплоть до достижения расхода Q ^ . Затем происходит переброс давления

в точку F, и в дальнейшем оно изменяется по кривой FA.

Таким образом, при очень медленном колебательном измене­ нии расхода, охватывающем интервал Q ' — Q " , точка, харак­

теризующая состояние системы, будет описывать петлю гистере­ зиса FBEC.

Если характеристика сети имеет две точки пересечения с ха­ рактеристикой компрессора (на рис. 3.6 точки Ау и Л2), то обе эти точки могут соответствовать устойчивым состояниям равно­ весия. При этом будет поддерживаться тот расход, который оп­ ределяется предысторией явления. Если непосредственно предшествовавшими точками пересечения были точки, принадле­ жащие участку ED, то будет поддерживаться расход, соответст­ вующий точке А2; если же предшествовавшие точки пересечения лежали на участке AF, то будет поддерживаться расход, соот­ ветствующий точке А у. Для того чтобы с ветви CD перейти на ветвь АВ, необходимо обязательно предварительно уменьшить расход до величины, меньшей Q ^. А чтобы перейти на ветвь CD

с ветви АВ, необходимо предварительно увеличить расход до значения, превышающего Qк •

Наличие подобного типа характеристик можно объяснить существенными перестройками структуры потока при прохожде­ нии точки В, если режим соответствовал точкам участка АВ, и при прохождении точки С, если режим соответствовал точкам участка CD.

В работе [1], например, появление многозначных характерис­ тик компрессора, когда одному значению объемного расхода соответствует несколько значений давления за компрессором, объясняется следующим образом: предполагается, что происхо­ дит перестройка потока, вызванная тем, что ударные волны вбли­ зи передних кромок лопаток либо уменьшаются, либо сохраня­ ются неизменными, позволяя относительному потоку воздуха течь с меньшими или большими потерями.

Не будем останавливаться на, по нашему мнению, ошибочном предположении, что сам помпаж вызывается ударной волной. Перейдем к вопросу об исследовании движений в подобных сис­ темах.

Очевидно, что использование обычной фазовой плоскости в этом случае невозможно, так как в пределах вертикальной поло­ сы, ограниченной абсциссами QK' и Q" , нарушается свойство

однозначности.

Такие системы относятся к введенному нами [19] классу дина­ мических систем, движения в которых могут быть описаны под­ становками дифференциальных уравнений. Они были названы

105

нами многократными динамическими системами. Этот класс сис­ тем очень распространен. К нему относятся все типы часов и спусковых регуляторов, типы систем автоматического регулиро­ вания, в которых имеются элементы с гистерезисными свойства­ ми, а также другие системы, описываемые дифференциальными уравнениями с неоднозначными правыми частями.

Рассмотрим общий случай. Пусть дано уравнение

в котором f(x, х) = fi = (х, х) в области Gt(x, х), (i = 1, 2, ..., т),

причем ни одна из областей G,- не заполняет всей плоскости х, х и каждая из них перекрывается не менее, чем одной из осталь­ ных областей.

Уравнение (3.35) можно записать в виде совокупности урав­ нений

Пусть функции fi в областях G,- непрерывны и удовлетворяют

условиям Липшица по х и х. Будем считать, что по меньшей ме­ ре для одной из функций fi вид ее или область определения от­ личны от таковых для других функций fi.

Рассмотрим теперь динамическую систему, движения в кото­ рой поочередно описываются уравнениями (3.36). Пусть в на­ чальный момент движение описывается t-м уравнением, причем

для подобласти Q,- начальных значений Хоь Х о через некоторый

промежуток времени, зависящий от х0,-, х0,-, точка (х, х) выходит из области G, (через участок границы этой области, являющийся дугой без контакта семейства траекторий t-го уравнения), и пусть дальнейшее движение требует для своего описания k-ro урав­

нения. Далее, для области Q„ начальных значений хок, х01( через

некоторый-промежуток времени, зависящий от хок, хок движение начинает описываться р-м из уравнений (3.36), затем ^-м и т. д.

Характер движений в данной динамической системе опреде­ ляется, с одной стороны, видом и областями существования функций fi, а с другой — порядком замены уравнений совокуп­ ности (3.36). Не рассматривая общего случая, ограничимся предположением, что замена дифференциальных уравнений ди­ намической системы при всех начальных значениях циклическая

нозначное соответствие между точками фазового пространства

106