Файл: Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах.pdf

РАЗДЕЛ II

ПОМПАЖ В СИСТЕМАХ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ; ВОЗДЕЙСТВИЕ НА ПОМПАЖ

ГЛАВА 4

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОМПАЖА В РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМАХ

До снх пор мы рассматривали колебательные процессы в си­ стемах, включающих компрессоры с сетью, в предположении, что сложная распределенная акустическая система может быть аппроксимирована системой с одной степенью свободы.

Разработанная в этом предположении теория позволила объяснить ряд основных явлений, наблюдающихся при помпаже, вывести критерий устойчивости «в малом» и «большом», ус­ тановить возможность мягкого и жесткого возникновения коле­ баний, определить их частоту и амплитуду, указать причину гистерезисного характера колебаний, часто наблюдающегося на практике. С ее помощью предсказан ряд явлений, которые могут происходить при помпаже, в частности, возможность потери ус­ тойчивости на нисходящих участках характеристики компрессо­ ра, а также целенаправленного выбора параметров сети.

Сравнение теоретических исследований с экспериментальны­

[1], в ряде случаев наблюдаются скачкообразные изменения час­ тоты и амплитуды колебаний, форма колебаний часто далека от гармонической, встречаются постепенные переходы от одной частоты к другой.

Все эти существенные обстоятельства не получают должного объяснения в рамках теории систем с сосредоточенными посто­

распределенную систему. Такой анализ позволяет указать гра­ ницы применимости упрощенной теории, а также дает возмож­ ность теоретически изучить те особенности, которые характери­ зуют распределенные свойства компрессорных систем.

Исследование распределенной системы, включающей ком­

1 2 4

прессор с коммуникациями в рамках линеаризованного прибли­ жения, выполнено в работах (5 и 6], по которым и ведется даль­ нейшее изложение с необходимыми дополнениями и изменениями. Кроме того, развивается приближенный метод исследо­ вания нелинейной распределенной системы, учитывающий нелинейные свойства характеристики компрессора. В результате выводятся соотношения, определяющие амплитуды и частоты периодических колебаний, находятся условия существования мягкого или жесткого режима возбуждения автоколебаний, оп­ ределяется характер устойчивости периодических движений и даются аналитические условия, накладываемые на характеристи­ ку компрессора, при выполнении которых возможно возбужде­ ние колебаний на нисходящих ветвях характеристики компрес­ сора.

4.1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ

При выводе уравнений сделаем некоторые упрощающие пред­

положения.

Примем, что в рассматриваемую акустическую систему вхо­ дят компрессор с присоединенным к нему трубопроводами, объемами, дросселями и др. При этом трубопроводы представ­ ляют собой одномерные распределенные системы, а объемы и дроссели — сосредоточенные сопротивления. Как и раньше, ком­ прессор заменим эквивалентным активным нелинейным сопро­ тивлением, свойства которого определяются характеристикой компрессора. На концах трубопроводы нагружены на акустичекие сопротивления. Такая модель справедлива для компрессоров небольшой осевой протяженности. Примем, что скорость потока мала по сравнению со скоростью звука.

На рис. 4.1 представлена схема рассматриваемой системы. Ко входу и выходу компрессора присоединены трубопроводы со­ ответственно длин /i и /2 и поперечных сечений Si и S2-

Поведение системы может быть описано посредством уравне­ ний гидродинамики в форме Эйлера и уравнений состояния

(4.3)

где U, р и р — скорость, плотность и давление, являющиеся функциями времени t и координаты х;

у— показатель диабаты;

аи т — коэффициенты внутреннего и турбулентного

трения;

d — диаметр трубопровода.

125

входного трубопровода, а ось направим по оси трубопроводов. Если предположить, что трубопроводы отделяются один от

другого компрессором и на их концах помещены акустические сопротивления Z\ и Z2, то для граничных условий задачи получа­ ем выражения

(4.4) — (4.7) нелинейны. Однако при рассмотрении устойчивости

126

где <7t и pi — приращения объемной скорости .(<?» = Sif/») и дав­ ления (штрихи у pi и U{ отброшены); U0i и ро,-— постоянные со­

Из уравнения (4.12) определяется объемная скорость <?,• как функция времени т и координаты у , т. е. qi — qi{x, у ) . Давление P i ( т, у ) найдется из уравнения (4.13) по известному qi(x, у). В самом деле, из уравнения (4.13) следует

о

Преобразуем также граничные условия (4.4) — (4.7), выразив входящие в них переменные через приращения. Не следует, од­ нако, думать, что при таком преобразовании граничные условия во всех случаях будут рассматриваться как линейные. При ис­ следовании устойчивости и условий самовозбуждения граничные условия будут приниматься как линейные с постоянными коэф­ фициентами. При исследовании автоколебаний необходимо учи­ тывать существенные нелинейности в характеристике компрес­ сора. Этот учет можно осуществить тем, что коэффициенты линеаризованных уравнений (граничных условий) будем прини­ мать зависящими от основных переменных.

• Выражения (4.4) и (4.7) могут быть записаны в виде

причем в дальнейшем разности р\— /?ш и р2— р<я, представляю­ щие собой избыточные давления, будем обозначать соответст-

127

то вместо выражений (4.16) находим (штрихи у р и р опускаем)

Представим уравнения (4.18) и (4.21) в виде уравнений че­ тырехполюсника. Для этого1решим их относительно переменных

128