Файл: Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 144
Скачиваний: 0
Таким образом, анализ неравенств
(3.44) и (3.45) позво ляет согласовать ре жим работы ступеней, необходимый для обе спечения устойчивой работы, а в случае не достаточности этого мероприятия — ука зать места .перепуска воздуха и оценить его количество, обеспечи вающее устранение не устойчивости.
Определенные вы воды могут быть сде ланы и в отношении характера изменения длин и площадей попе
речного сечения участков между ступенями, что может позво лить увеличить устойчивость системы или уменьшить перепуск воздуха, смещая границу устойчивости в область меньших расходов воздуха. Влияние других параметров системы на положение границы устойчивости в общем аналогично тому, что установлено для одноступенчатого компрессора.
Характер самовозбуждения колебаний в системе определяет ся здесь знаком выражения
sign [а3(/?20)] = sign |
dQl |
[Z7!(QoJ^tQo)] + |
|||
d2 |
|
|
|
||
[F. (Q0) f 2 (Qo)] |
|
||||
dQ\ |
|
||||
|
|
|
|
||
K20- - ^ - I M |
Q o)F2(Qo)1 |
||||
2 ( W 3 + <1 W s |
dF2(Q0) |
d2 |
[f.(Q o)M Q o)] |
||
dQo |
dQl |
||||
( V 2 /з + еK2 |
LS,S, |
|
|
(3.47) |
|
+ e Kt l l e |
к2^25з) |
||||
2 |
|||||
где значение наклона характеристики выходного дросселя опре деляется из условия нахождения системы на границе устойчиво сти, соответствующей паре чисто мнимых корней. Отсюда полу чается
а0 (^2ек2^1^3~Гек2 |
^^Sj) |
Мягкий режим самовозбуждения колебаний в системе соот ветствует отрицательной правой части выражения (3.47). Знак этого выражения зависит от параметров системы, формы харак теристик ступеней, а также от взаимного расположения рабочих точек на характеристиках компрессора. Жесткий режим само возбуждения колебаний будет иметь место, если знаки производ ных
и -^-[F,(Qo)F»(Qo)] dQ0 dQ%
на границе устойчивости противоположны, а
d3
1(Qo)^*2(Qo)] "> о.
dQl
Предположим, что приближенное периодическое решение уравнения (3.43) может быть записано в виде
х —а(т)соэ(т) + 6(T)sin(x) +с(т), |
(3.49) |
где а (т), Ь(т) и с (т) — медленно меняющиеся функции времени. Укороченные уравнения Ван дер Поля для переходных про
цессов при этом могут быть:
|
k0p |
k2p3 |
kAps ' |
|
|
|
|
8 |
16 L > |
|
|
|
|
k7p3 |
3msp3 |
5msp5 |
|
|
|
8 |
8 |
16 > |
(3.50) |
c = Q(p) = |
V 2 |
ksp* |
Щр3 |
3m4p4 |
|
|
|
8 |
|
' 8 |
|
, 5m6p6 |
|
|
|
|
|
16 ' |
|
|
|
|
|
где
p = Y a 2 + bP\ tg 0 = — . a
Амплитуды стационарных колебаний определяются! корнями
уравнения Ф(р) = 0. Колебания являются |
устойчивыми, если |
|
справедливо неравенство Ф'(р) < |
0. Анализ показывает, что при |
|
k o> 0 существует устойчивое |
состояние |
равновесия р\ = 0. |
Если рабочие точки находятся на устойчивых ветвях характери стики и ki > 0, то в системе нет иных устойчивых состояний равновесия. Далее автор работы [30] пишет: «Если же среди то чек устойчивой ветви характеристик компрессора имеются та
кие, где выполнено неравенство k4 < 0, то в любой из них, |
в ко |
||
торой выполнено неравенство А2 ^ |
V"81А0А41, существует |
еще |
|
устойчивое состояние равновесия |
|
|
|
Рг - V |
+ у/"k-2— 81k0kA |
|
|
|
(3.51) |
||
|
*4 I |
|
|
8 З а к а з 1516 |
113 |
соответствующее большей амплитуде предельного цикла. Именно в этих точках устойчивой ветви характеристик рассматриваемая система является потенциально-автоколебательной с жестким режимом самовозбуждения.
На неустойчивой ветви характеристик компрессора
k0< 0 |
(3.52) |
существует неустойчивое состояние равновесия р\ = 0. |
В тех |
точках неустойчивой ветви характеристик, где выполнены нера венства
kA> 0; |
(3.53) |
k 2< — VS\k0k4\, |
(3.54) |
существует еще устойчивое состояние равновесия |
|
— *2— V *1— 8I *0*4 I |
(3.55) |
Рз = |
|
1*41 |
|
соответствующее меньшей амплитуде предельного цикла. |
где вы |
Если же система попадает в одну из точек области, |
полнены неравенства (3.52) и (3.53), а (3.54) не выполнено, то система не может здесь оставаться, так как эта точка неустой чива, не может совершать и периодических движений вокруг этого неустойчивого состояния равновесия, так как предельные циклы не существуют. Следовательно, здесь мы снова встреча емся с возможностью разрыва в экспериментально снимаемых характеристиках компрессора, когда система самопроизвольно по той или иной незамкнутой траектории, в зависимости от на чальных условий, смещается к новому состоянию равновесия, которое или само устойчиво, или вокруг него существует устой чивый предельный цикл.
Следует заметить, что возможность разрыва в характеристи ках компрессора а этом случае обусловлена не только опреде ленным сочетанием параметров системы и свойств характерис тик, но и принятым согласованием режимов работы ступеней. Разрыва в характеристиках можно избежать или, по крайней мере, сдвинуть его в желаемом направлении по расходу воздуха путем соответствующего размещения рабочих точек на характе ристиках ступеней.
Далее, всюду на неустойчивой ветви характеристик компрес
сора, где выполнено неравенство |
< 0, |
кроме неустойчивого |
состояния равновесия р\ = 0, существует |
устойчивое состояние |
|
равновесия Рг, определяемое по (3.51), разрыва в характерис тиках компрессора здесь быть не может.
Нужно отметить, что указанные в цитированном отрывке рассуждения и вводимое на их основе понятие разрыва характе-
114
ристик — необоснованны. |
При выполнении условий ко > О, |
к2 Н- 8 1kok4|, k4< 0, |
имеет место случай жесткого режи |
ма. При этом на фазовой плоскости существуют два предельных цикла: большей амплитуды — устойчивый, меньшей — неустой чивый, равновесие — устойчиво (см. рис. 2.14).
Если к0> 0, k2= + У 8 1koki |, к4 < 0, то имеется полуустойчивый предельный цикл и устойчивое равновесие (см. рис. 2 .6).
В случае ко < 0 , k4> 0, k2< — V 8 1k0k41 положение равно весия неустойчиво. При этом имеются два предельных цикла: меньший — устойчивый, больший — неустойчивый.
Наконец, рассмотрим случай, который привел автора статьи
кмысли о разрыве характеристики компрессора: k0 < 0, к4 > 0 неравенство (3.54) не выполняется. В этом случае корни урав
нения амплитуд — мнимые, т. е. Нет стационарных ' амплитуд. Физически это значит, что положительное трение, создаваемое
членом \k2\x2x, не может компенсировать влияние членов
(— |ко|— |k41х4]х, создающих отрицательное трение. В результа те происходит нарастание колебаний.
Как видим, это случай, рассматриваемый в теории колебаний и не требующий введения понятия разрыва характеристики ком прессора, которое само по себе физически не оправдано.
Здесь нужно отметить, что на практике неограниченное нарас тание колебаний, разумеется, не наблюдается: или нарастание колебаний прекращается, что свидетельствует о необходимости учета членов более высокой степени в характеристике компрес сора; или компрессор ломается под влиянием слишком интен сивного помпажа.
Исследование системы при учете емкости и инерционности промежуточного трубопровода. В этом случае мы должны учесть, что в сечениях k\— кх н а2— а2 не равны как секундные весовые расходы, так и статические давления (равенство давлений тре бует пренебрежения инерционностью промежуточного трубопро вода), при этом компрессор представляет систему с двумя степе нями свободы.
Система уравнений имеет следующий вид: |
|
|||
( к |
.. ^ |
- f J= |
pa/7,(Q i)-P a2; |
|
\gs2 |
gSi |
|
|
|
dPa2 |
c i |
|
|
|
dt |
gSA |
|
dQ* |
(3.56) |
Pa2^ 2(Q 2) — |
|
|||
gSi |
dt |
|
||
|
|
|
||
dPa. |
_ |
|
|
|
dt |
gS3l3( 0 2- -@д)> |
|
|
|
Рд = PaRl + pM Q ^ — QJ,
8* |
11& |
где Qi, С\ и Q2, с2— соответственно секундные весовые расходы воздуха и скорости звука за первой и второй ступенями ком
прессора.
Введем безразмерные относительные отклонения:
Qi = Q o+ <7i; Q2= Qo + q2\ x==~^~ ’ У = |
(3.57) |
Вводя безразмерное время
С|5,
2S, + e°i lj i252
2^1
и используя аналитические выражения характеристик ступеней, получаем следующую систему уравнений:
х + х = (<7о + Я\Х—q2x3)x + у,
у + Поу= ШхХ+ т2ху + т3у2+ mtx2+ т5ху2 +
+ m6x2y— m7y3— m3x3— m9xy3— ml0x3y + mux2x |
^ |
X ip —m u if— m ^ i f — mux2!? + m ^ f — m^x + |
|
+ fa + kxx + k2y + A3*2 + k&y— kstp— ksx3+ k7x3y — |
|
— k3x f — k2x3y— k10X V + kux3f ) y — {p9+ Piy— PifpYxy, |
|
где точками обозначено дифференцирование по т, а коэффициен ты выражаются соответствующими формулами.
Уравнения первого приближения системы (3.58) имеют ха рактеристическое уравнение
а4 + ра3 + <7<х2 + га + s = 0, |
(3.59) |
где
р —— (Ao+ *To)i г = т ю— ло<7о— А0>
q — tio + Ао9о+ 1» s — tiо— ТП\.
Рабочие точки равновесных режимов на характеристиках ком прессора, для которых одновременно выполнены неравенства Гурвица
р > 0, q > 0, г > 0, s > 0;
(3.60)
R = pqr— sp2— г2 > 0,
являются устойчивыми.
Переход к знаку равенства в неравенствах (3.60) дает ана литические выражения соответствующих границ устойчивости. Неравенства (3.60) позволяют построить качественную картину распределения областей устойчивости для типового случая рас-
116