Файл: Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 143
Скачиваний: 0
Преобразуем это выражение, подставив в него значения ве личин Ац, h\2i h2l:
е - 4 в р , = е “ 2 - f f ( Z 22 + P q \ F + V - i Z y P x f + Iх 2z 2 2 n l x |
|
|
(Z22 p0lF |
^2^22m2) + (*2^22п2 |
|
x [Z22(l —Ц2т 2) — RiY + {Xj + Ц2£22я 2)2 |
(4.153) |
|
[Z22( I + Щ/n,) + Л2]2 + (Хг + H2Z2Sn,)2 |
|
|
В частных случаях открытой |
(|Z2 |->-0) и закрытой |
(|Z2| |
-*■ оо) труб последний множитель правой части уравнения (4.153) становится равным единице, поэтому получаем
е_4вра_ е—2 7Г |
(Z22 + P0\F' + I V ^ l )2 + ^ г 22»1 |
(4.154) |
|
(Z22—Р0\^ + ^2^22т г) + 1А2^22п2 |
|
Анализ выражений |
(4.153) и (4.154) позволяет сделать ряд |
|
выводов о влиянии распределенного затухания на величину де кремента.
При отличном от нуля коэффициенте распределенного сопро
тивления (р2 Ф 0) декремент затухания системы б |
возрастает |
|||||
по сравнению со случаем ц2 = |
|
0. |
Это следует, в частности, из |
|||
того, что множитель |
-г-й*. |
< |
1 ; |
.так как тi « —т2, то первый |
||
е |
||||||
множитель выражения |
(4.154) |
при прочих |
равных |
условиях |
||
уменьшается при возрастании ц2. |
|
(4.154) |
ни при ка |
|||
Если р.2 Ф 0, то знаменатель выражения |
||||||
ких условиях не обращается в нуль, т. е. система не становится абсолютно неустойчивой. Поскольку коэффициенты П\ и п2 про
порциональны множителю —2^ 2 , который при и -> -0 и со-»-оо
обращается в нуль и имеет наибольшее значение при <в = б, то, по-видимому, при прочих равных условиях имеется тенденция к увеличению запаса устойчивости системы на средних частотах.
Таким образом, распределенное сопротивление в присоеди ненных к компрессору трубопроводах оказывает положительное влияние на увеличение запаса устойчивости компрессора.
4.8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ РЕЖИМОВ
При исследовании автоколебаний в распределенных системах используется метод периодических решений Пуанкаре в форме, Витта [11] или метод Линдштедта — Ляпунова в форме Гвоздовера [12]. Однако эти методы сложны.
Ставя целью получить первое приближение, можно пойти значительно более простым путем, воспользовавшись идеей ме тода гармонического баланса [3], видоизмененного надлежащим образом.
160
Ранее мы показали, что колебательная граница устойчивости определяется условием 6 = 0, где 6 — декремент затухания ко лебаний. В частности, для случая 1\ = 0 получены условия дина
мической и статической устойчивости в виде F' < |
D{ (динамиче |
|
ская устойчивость) и F' < D2 (статическая |
устойчивость), где |
|
D\ и D2 определяются выражениями (4.96) и (4.97); на границе |
||
устойчивости F' = D\. |
|
в окрестнос |
Рассмотрим характеристику компрессора F(Q) |
||
тях рабочей точки Q * PoF(Q*). |
|
|
Пусть характеристика аппроксимируется полиномом |
||
F (Q )= b0 + blQ + b2Q2 + b3Q3 + ... . |
(4.155) |
|
Рассматривая характеристику в окрестностях рабочей точки |
||
Q*, получаем |
|
|
F(Q* + q) = F(Q*) + F'(Q*)q + Г ^ 4*- |
F"'(Q*)q* |
|
|
|
|
Здесь |
|
|
F(Q*) = bo+ 6,Q* + b2Q*2+ b3Q*3+ |
... = |
C0; |
F'(Q*) = 6, + 2 b2Q* + 3b3Q*2+ ... = Cl;
F"(Q*) = 2b2+ 6b3Q* + . . . |
= C 2; |
(4.156) |
F"'(Q*) = 663 + ... = C';
Следовательно,
F(Q* + q) = C0+ C[q + -£|-q2+ ~ q3+ ...
Рассматривается приращение давления
F{Q* + q) — F{Q*) = C[q + |
q2 + - y - q3 + ... |
|
Обозначая F(Q* + q) — F(Q*) |
= Fi(q), имеем |
|
Fl(q) = Clq + C2q2+ C 3q3+ .... |
(4.157) |
|
где
Положим q = a cos at и разложим Fi (<7) в ряд Фурье:
Fi(acos(ol) = ao + aIcoso)^ + a2cos2(Di + ... + a Acos^(o^ +- . . . +
+ a\ sin at + a2sin 2 a t + . . . + a* sin k a t + . . . ;
|1 Заказ 1516 |
161 |
здесь
а0 = —— Г Fi(acosu)du;
2л J
о
2л
а,= ——Г F^acos u)cos udu;
яJ
|
2л |
|
|
Ok |
_l_ |
a cos u)coskudu\ |
|
я |
|||
(4.158) |
|||
|
|
||
|
2л |
cos и)sin udu\ |
|
a\ |
я |
||
|
|
||
' |
2л |
|
|
l |
cos u)sin ku du, |
||
ak= ----- |
|||
|
я |
|
|
где и = cat.' |
|
симметрична относительно нача |
|
Если характеристика Fi(^) |
|||
ла, то ао = 0; если симметрия не соблюдается, то а0 Ф 0, что как |
|||
бы эквивалентно смещению центра колебаний. Будем полагать,
для упрощения расчетов, что ао = 0. |
Нетрудно видеть, |
что а \ = |
|||||
= |
0. Действительно |
|
|
|
|
|
|
|
2л |
|
|
|
|
2л |
|
|
а.\ = -----( F1(acosu)sinudu = ------- Г F, (a cos u)dd cos и = |
||||||
|
я J |
|
|
|
na J |
|
|
|
|
|
|
2it |
|
|
|
|
|
|
|
—1 |
с?ф(а cos u), |
|
|
|
|
|
|
яа I |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
dtb(acosu) |
„ |
, |
, |
|
|
с перио |
----- J------- - = Fi(acos и) — периодическая функция |
|||||||
|
даcos а----------------------------------------------------------------------- г |
||||||
дом 2я. |
|
и |
переменная |
составляющая |
функции |
||
|
Следовательно |
|
|||||
•ф(асовц) — периодическая по и с тем же периодом.
162
Поэтому |
|
|
|
а[ = —— N)(acos 2n)— Tjj(acos 0)] = |
0 . |
|
|
я a |
|
|
|
Пренебрегая членами высшей кратности, получаем |
|
||
Fi (a cos и )= F1(q) = aicos и = |
|
|
|
2n |
-I |
|
|
— J Fi{acos u)cos иdu\a cos и = hq, |
(4.159) |
||
о |
J |
|
|
где |
|
|
|
2 л |
|
|
|
h = -— Г Fl(acosu)cosudu = Flcpia). |
|
||
na J |
|
|
|
Иными словами, h — усредненное |
значение |
dFt |
в смысле |
|
|
dq |
|
гармонического баланса. Мы предполагаем, что амплитуда ко лебаний мала и значение D\ при колебаниях равно значению Dx на равновесном режиме. Иными словами, считаем, что при коле баниях величины активного и реактивного сопротивлений не меняются. Тогда амплитуда автоколебаний найдется из урав нения
Ficp(a)==T>i. (4.160)
Найдем теперь выражение для коэффициента h в явном ви де. Для случая полинома 5-й степени аналитическое выражение для характеристики имеет вид
F\{q) — С\Ч+ ^2<72 + Сзq3+ C t f + C5q5. |
(4.161) |
Тогда
h — —— Г [Cya cos и + C2a2 cos2 и + C3a3 cos3и + C4a4cos4и +
na J |
|
|
|
|
о |
|
2Я |
|
|
|
|
j^ a - rtcos 2и |
||
+ C6cos5 u + G5a5cos5 u]cosucfu = —!—J |
||||
|
|
0 |
|
|
+ C2a2 cos и + -j- cos 3uj + C3a3 |
+ -j- cos 2u + |
cos 4uj + |
||
+ Cta4 ( — cos и + —— cos 3u + —5— cos 5*Л + |
|
|||
\ 8 |
16 |
16 |
/ |
|
+ C5as ( - ^ - + -^ -c o s 2u + —^-cos4u + —— cos5iAl du.
\ 16 |
32 |
16 |
32 |
J j |
l l |
163 |