Файл: Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 142
Скачиваний: 0
Подставляя в уравнение (4.130) значения величин Лц, hl2 и Л21, получаем
e _ 46Pl = (Zn / b + p 0lF ' - R 2)2 + X2 |
( Z ^ - R ^ + X2 |
(Zu/K-p0lf ' + R2f + X2 |
(4.132) |
(Z ,, + Я,)2 + X2 |
Отсюда следует, что при учете сопротивления на выходе ком прессора декремент б ни при каких значениях параметров не об ращается в —оо, т. е. система не становится абсолютно неустой чивой. Множитель
( z n /\+ p0lF ' - R 2)2 + X2
(Zu /k— pQlF + R 2)2 + X2
характеризующий влияние компрессора на устойчивость систе мы, может принимать различные значения в зависимости от ви да характеристики /',/(02). Если F > 0, то при прочих равных ус ловиях этот множитель имеет максимальное значение при
p0iF '= R 2- Z u/ к + ] / - § у + х 1 |
(4ЛЗЗ) |
При достаточно большом значении сопротивления R2, т. е. при /?2 Zul% этот множитель становится минимальным для
PoiF' — R2— Z „A - V |
3 l + x I |
(4.134) |
4*2 |
|
Поскольку условия устойчивости системы определяются не равенством
(Z , ,/Х + |
PnF' - R 2f + X2 |
(Z ,, - R , f + |
X2 |
{ |
J |
(z u ix - |
Poif ' + r 2)2 + x 2 |
(Z j j + ^ + X |
? |
|
|
то легко понять, что путем изменения сопротивлений на входе Z\ и выходе Z2 можно менять в определенных пределах границу устойчивой работы компрессора.
4.6. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМЫ СО ВХОДНЫМ И ВЫХОДНЫМ ТРУБОПРОВОДАМИ
Рассмотрим систему с компрессором, к которому подсоеди нены входной (/i ф 0) и выходной (h Ф 0) трубопроводы. Если предположить, что распределенные сопротивления отсутствуют (pi = р.2 = 0), то из выражений (4.56) получаем
*i = mPil/i; х2 = шр2(1— У \ ) \ = 6pif/i; 62 = 6Р2(1— у,). (4.136)
Предположим также, что сопротивления на входе Z\ и на вы ходе Z2 состоят из активной и реактивной частей, т. е.
Z i= Ri + jXil Z2 = R2 + jX2.
155
С учетом указанных предположений комплексное уравнение
(4.54) распадается на два вещественных уравнения вида |
|
(— М, + Nl tg x 2)e-b = (М2 + N2tg x2)e<4 |
(4.137) |
(M, tg х2+ W,)e-e>= (М2 tg х2— N3)e6t, |
(4.138) |
где Ali, А12, N1 и N2— величины, зависящие от параметров вход
ного трубопровода и сопротивлений Z\ и Z2. |
|
||||||||||
Если |
из уравнений |
(4.137) и |
(4.138) |
исключить сначала 62, |
|||||||
а затем tg дгг, то аналогично предыдущему получим |
|
||||||||||
|
|
|
t |
2 - |
2 |
|
|
tg х2— 1 = 0; |
(4.139) |
||
|
|
|
6 |
|
|
лг,Л12—/И,л/2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
m\ + nI |
|
|
(4.140) |
||
|
|
|
|
|
М в« = |
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
m\ + n\ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0i02 |
|
||
MlM2 + NlN2 =(Zl2— Rl— X ^ l +2i |
|
||||||||||
mi |
О* |
|
|||||||||
X {z \2- |
r \ - x \)ф 2— 8(6,— e,) |
|
|
|
|||||||
|
|
з* |
|
||||||||
N\ЬЛ2— M\N2= 2X2Z22<Pt + 4X2Z22 |
010д |
|
1^Ф2 + |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||
4— -— (0] — 02)(Z22— R\— X2) Ф3; |
|
|
|
|
|
||||||
^ii |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mi +JVf= [(Z22 + |
2)2 + X\] { [(Z„ - |
tf,)2 + X?] X |
|
||||||||
x ( ^ - + l ) 2e-M. + [(Z„ |
+ Я,)2 + X?] ( - A - - 1 ) 2e*«.+ |
|
|||||||||
+ 2Ф2 |
02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'11 |
/• |
|
|
|
|
|
|
(4.141) |
||
m \ + n \ = |
[(z 22- |
r 2)2+ X2] {[(Z„ - t f ,)2 + X?] X |
|
||||||||
X ( - | j - + |
l ) 2 e-*e. + [(Z„ |
+ tf,)2 + X?] (-|l ■ -1)2e2e>4- |
|
||||||||
+ 2Ф2 |
0? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф, = [(Zu + |
,)2 + X?] ( A |
. + Л / A |
. + |
Л er*«. + |
|
||||||
+ [(Z„ - я , ) 2+ X?] ( A |
- - 1) ( + |
1 |
) |
e2fli; |
|
||||||
Ф2 = (Z21 — |
— Xi)(cos2Xi — sin 2 Xi) + |
|
|
|
|||||||
+ 4XiZn sin^! cos*!; |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ф3 = (Z21 — Ri — X2)sin x xcosX[ —X\Zn (cos2 x ,—sin2 *i)- |
|
||||||||||
156
Заметим, что хотя выражения (4.139) и (4.140) по форме сов падают с соответствующими выражениями (4.65) и (4.66), они отличаются по существу, так как их невозможно разрешить от носительно частоты и декремента.
Подставляя в выражение (4.140) значения величин Mi, Ni, М2 и N2 и з уравнений (4.42), получаем
|
/—40, |
(Z22- R 2) 2 + X2 |
|
||
|
|
|
X |
|
|
|
|
(•^22 4"Я2) + Х 2 |
|
||
|
[ { Z n + Я,)2 + *?] ( - ^ + ») l~26'+ [(Zn “ |
« i f + *?] |
') 2'2в' + |
||
|
|
+ 2Фг |
0, |
|
|
|
|
Z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
£11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[(z n + * .)2 + Х* ] ( т ^ + 1) 1~26' + [(z i 1- ^ i ) 2 + *?] |
1)2 /2в' + |
|||
|
|
+ 2Ф2 72 |
|
|
|
|
|
|
Z11 |
|
|
(4.142)
Рассмотрим некоторые предельные случаи, вытекающие из выражения (4.142). Влияние выходного сопротивления Z2 на ве личину декремента остается таким же, как и в случае системы с одним выходным трубопроводом. В частности, если нагрузить си стему на волновое сопротивление R2 = Z22(x2 = 0), то декремент становится бесконечно большим. Аналогия с рассмотренными ранее случаями сохраняется также и при |Z2|-»-0 и |Z2|->-oo. Если в выражении (4.142) положить декремент равным нулю, т. е. 6 = 0, то оно примет вид
(z 22- R 2)2 + X2
X
|
(Z22 + *2)2 |
+ *2 |
|
|
[(z n + Яг)2 + ^?] |
l) |
+ [(2 |
ц —Я,)2 + Х2] |
+ |
|
^ ч |
т |
' |
= 1. |
|
+ I ) 2 + [(z,, - Я ,)2 + *?] |
|||
[(zn + Я,)2 + X*\ |
1j2 + |
|||
(4.143)
157
Это выражение представляет собой уравнение границы устой чивости системы. Оно упрощается при Z y = 0:
{Z22- R 2)2 + X l |
9* + А \ + (91 —zfi) (cos2 |
- s ' ”2 *1) |
|
|||
(Z22 + R2)2 + |
X\ |
Q2+ Z2n + (0^- Z \,) (cos2 |
- s i n 2 i , ) |
|
||
На основе выражения (4.143) можно оценить влияние длины |
||||||
1\ всасывающего |
трубопровода |
на устойчивость |
системы. Для |
|||
этого предположим, |
что 1у мало, |
т. е. у\ 1. |
В таком случае_для |
|||
первых гармоник получаем Ху <g; 1. Пользуясь тем, |
что cos2 Ху « |
|||||
« 1, sin2 х\ я* х { |
, получаем вместо (4.143) приближенное выра |
|||||
жение, справедливое для Ху -С 1: |
|
|
|
|||
(^22 |
^2) |
+-^2 1 + 2^22^11^11^12^21^1 < |
1. |
(4.144) |
||
(^22 |
^2) |
4- Х2 |
(h\x—Z\2h\2h\{y |
|
|
|
Если F' > 0, то hyy < 0 и тогда второй член выражения в квадратных скобках неравенства (4.144) становится отрицатель
ным. При этом с увеличением 1у, пока Ху = 0)^ ——— |
мало, об- |
||||
ласть устойчивости системы увеличивается. |
‘1+ h |
|
|||
|
|
||||
Если всасывающий трубопровод на входе нагружен на беско |
|||||
нечно большое сопротивление |
|Z2|->-oo, то приближенное выра |
||||
жение для границы устойчивости принимает вид |
|
||||
(^22 ^2) |
4- X2 |
2^22^11^12^*27 |
< |
(4.145) |
|
(Z22+ R2) |
+ Х3 |
72 |
|||
|
|
||||
Ztl |
|
|
|||
Из этого выражения также следует, что чем больше длина всасывающего трубопровода, тем больше область устойчивости, тем больший запас устойчивости имеет система. Этот вывод спра ведлив, разумеется, при указанных выше условиях, т. е. при
Ху -С 1.
4.7.ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ
СУЧЕТОМ РАСПРЕДЕЛЕННОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
Рассмотрим влияние распределенного сопротивления на час тоту и декремент системы, полагая рг Ф 0. Вычисления прове дем для случая, когда входной трубопровод отсутствует (1у = 0) .
Полагая в уравнении (4.54) Ху = 0, Z y = 0, найдем
(Z22 - Z 2) 02е*а= (Z22- Z 2)
Преобразуем это уравнение, для чего воспользуемся выраже ниями Z 22 и Z 22 из уравнения (4.41) и 0,' и 02 из уравнения
(4.49):
158
|
|
Z22 — ----Z 22[1 4* ^2(^1 4" }щ)]> |
|
|
(4.146) |
||||
|
|
Z22 — Z22 [1 — [*2(^2 4- /П,)]; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
01 == 0|--- 1^2^22^12^21 (^14" /^l)» |
|
|
(4.147) |
||||
|
|
®2 = 0 2 ---[^2^22^12^21 ( ^ 2 4 [щ ), |
|
|
|||||
где |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тх |
— |
^ - |
( 1-------ПХ= ------------------------------------— |
||||||
|
р2(о>2 + 62) |
V |
2а2р2 / |
р2(ш2 + б2) Ч |
|
2а2р2 |
|||
т2 |
------ — ------- f l + |
— |
> |
я , - -------- ( 1 4 - — |
' |
2а2р2. |
|||
|
р2(ш2+б2) |
ч |
2а,Р»/ |
Р2(со2 + 62) \ |
|
||||
Если подставить выражения (4.146) и (4.147) в уравнение |
|||||||||
(4.145) |
и произвести преобразования, аналогичные тем, |
которые |
|||||||
делались выше, то получаем два уравнения |
|
|
|
||||||
|
|
(Л] + Вхtg х2)1 |
6г = |
(— Cj -ЬDj tg Х2)16г1 |
|
(4.148) |
|||
|
|
(At t g * - B t) r b |
- (С, tgx24- Dx)l\ |
|
(4.149) |
||||
Отсюда находим уравнение частот |
|
|
|
||||||
|
|
tg2*2 |
2 AiC,+B: D,tgx2— i =o. |
|
|
(4.150) |
|||
|
|
|
|
В\С1— i4(Dj |
|
|
|
||
и уравнение декремента |
|
|
C? + D? |
|
|
|
|||
|
|
|
|
/—•>63 |
|
|
(4.151) |
||
|
|
|
|
А\ + В\ ’ |
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Aj = [Z22(1 4 " P-2^l) + ^2](02 |
li‘2Z22^\2^2\m2) 4" \^-2Z22^12^-21П2{^2 4" |
||||||||
|
|
|
|
|
+ [*2^22^1)’, |
|
|
|
|
|
B'i = [Z22( 1 + f*2mi) 4- ^ 2 ] [Аг^гг^12 ^ 2 1 tt2— |
( ^ 2 |
4" |
|
|||||
|
|
4- p^Z^rti)^— [^2^22^12^21^2)1 |
|
|
|
||||
C 1= [Z22( I |
p.2 ^ 2)---^2](01 |
P-2^22^-12^21^1) p2Z2,/lцйщ |
(-^2 4" |
||||||
|
4" Рг^гзЛ-г); |
|
|
7)[ — [Z22( 1 |
Р-г^г) |
^2 ]Р-2^22^12^21 |
4* |
4" (Х%4“ М,2^22®1');(0'1 |
P2^22^12^21 |
1)• |
|
Подставляя значения коэффициентов А\, ВЛ, С Хи Dit |
|||
жение (4.151), получаем |
|
|
|
С...,ДР1_ с- » -Ж- (9l - ^ Z22Al2ft2imi)2 + l#M**2*ff"* „ |
|||
(0j |
li2^22^llZ^2im2) 4 ^2^22^12^2 ln2 |
||
[Z22(1— p2fft2):— ^2]2 + (Z2 + p2Z22гс2)2 |
|||
[Z22 (1 + |
+ Я2]2 + (Z2 + p2Z22n,)2 |
||
ввыра
.
(4.152)
159