Файл: Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах.pdf

Все члены, пропорциональные косинусам кратных дуг после интегрирования в пределах от 0 до 2 я, в силу периодичности да­ дут нуль. В результате имеем

Как видно из полученного выражения, члены с четными сте­ пенями q при интегрировании выпадают и их в дальнейшем мо­ жно не выписывать.

4.9.МЯГКИЙ И ЖЕСТКИЙ РЕЖИМЫ ВОЗБУЖДЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ,

ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ

Если взять с1 > Du то это соответствует случаю мягкого воз­ буждения колебаний, которое характеризуется самовозбуждени­ ем колебательного процесса, то есть неустойчивостью положения равновесия; если С\ < D u то возможно жесткое возбуждение ко­ лебаний.

и периодическое движение невозможно (случай, показанный кривой 2).

164

Поэтому

Докажем теперь, что рассматриваемый режим, характеризу­ ющийся устойчивыми автоколебаниями, действительно имеет мягкое, возбуждение. Для этого нужно показать, что положение равновесия неустойчиво и имеется одно орбитально устойчивое периодическое движение. Имеем

F[(q)=C i— 3Czq2.

На равновесном режиме q — 0; тогда

'F[(Q) = Ci.

Вто же время амплитуда автоколебаний разыскивается из условия

.Fcp=Ci — —+■С3аст= Di.

4

165

Следовательно,

С, — D\ н—— Сга2 > D],

4

т. е.

F [(0 )> D .

Итак, условия устойчивости равновесия не выполняются, рав­ новесие неустойчиво и режим возбуждения — жесткий.

Далее, из выражения

следует, что при Cj > D 1 существует только одна стационарная амплитуда (при С\ < Dx— корень мнимый, что подтверждает невозможность периодических движений в этом случае).

Выскажем теперь качественные соображения об устойчивости периодических движений. Если а < аст, то h(a) < Du и ампли­ туда колебаний растет; если же а > аст, то А (а) > Dь и ампли­ туда убывает. Следовательно, периодическое движение устойчи­ во по амплитуде (орбитально-устойчиво). Поэтому можно считать доказанным, что рассматриваемый режим возбуждения колебаний является мягким, а в системе имеется одно устойчи­ вое периодическое движение. В системе с компрессором будут происходить помпажные колебания с амплитудой, возрастающей от нуля при прикрытии дросселя.

Сравним теперь выражение для стационарной амплитуды, полученное в частном случае Х2 = 0, с выражением, найденным в предположении, что система описывается уравнением с сосре­ доточенными параметрами и 1\ = 0. Мы получили выше

Учитывая принятые обозначения, имеем b = Ci, с == Сз,

Следовательно,

т. е. оба выражения совпадают.

Рассмотрим теперь случай жесткого режима возбуждения при наличии устойчивых колебаний. Он имеет место, как будет показано ниже, если Ci < D\ и С5 < 0.

166

167

Подставляем значения а4 и а2 в выражение (4.167):

л ( К < £ ,— a )< D ,.

Следовательно, амплитуды, большие aCTi. убывают, а мень­

25eg

+" Г - “| _ А _ Л - ^ Г >^ 9С|— 40( D, — С,) СБ} .

168

Отсюда

h { V «Its + А) = D, —4 - C5A2 + — A V 9Сз— 40(D,— C]) C5.

Поэтому амплитуда будет убывать, стремясь к нулю.

Таким образом показано, что в рассматриваемом случае са­ мовозбуждение отсутствует, а в системе имеются неустойчивые периодические движения меньшей амплитуды и устойчивые — большей. Следовательно, система имеет жесткий режим возбуж­ дения.

кривой 2. При этом существует только одно устойчивое периоди­ ческое движение со стационарной амплитудой а ^ при мягком

режиме возбуждения.

Нетрудно установить характер устойчивости стационарных амплитуд. Если кривая F'lCp (а) пересекает при возрастании а

прямую D! снизу вверх, то стационарная амплитуда, соответст­

прямую D\ сверху вниз, то стационарная амплитуда устойчива (точка пересечения В)‘,

Вслучае точки А соседние значения -амплитуд будут удалять­ ся от аст2, что условно показано стрелками, исходящими из точки А.

Вслучае устойчивой амплитуды aCTi соседние амплитуды бу­ дут приближаться к точке В, что также отмечено направлением стрелок.

Если кривая FJcp (а) касается прямой D\ == const (кривая 3),

то имеется полуустойчивое периодическое движение с амплиту­ дой а "т. Здесь амплитуды, большие а"т, убывают, стремясь к

а"т, а амплитуды, меньшие а "т, убывают до нуля. В этом слу­

169