Файл: Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах.pdf

1.2.ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ ДВУХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

1-ГО ПОРЯДКА К УРАВНЕНИЮ 2-ГО ПОРЯДКА В СЛУЧАЕ ЛИНЕЙНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДРОССЕЛЯ

Полагая в системе (А) [уравнения (1.7) и (1.8)] QK= О, Ро = 0, находим состояния равновесия системы. Тогда

(В)! ^ З к )— Рб = 0;

I Q k-«P .(A s) = 0.

Число и значения действительных корней этой системы урав­ нений определяют число равновесных режимов и их значения. Геометрически действительные корни даются точками пересече­ ния кривых F(QU) и ф], т. е. характеристик вентилятора и сети. Может быть как одна точка пересечения, так и несколько.

Рассмотрим случай, когда имеется одна устойчивая точка пересечения. Пусть ее координаты будут Q* , р*6 . Тогда

pl = F(Q'K)\ ф, (ре) “ Qk*

23

Подставляя последнее выражение в уравнение (1.13), полу­ чаем

Геометрический смысл проделанных упрощений заключается

втом, что упругую силу считаем изменяющейся линейно по Q,

вто время как она изменяется в соответствии с разностью функ­ ции F и ф]. Однако в окрестностях равновесного режима такое упрощение допустимо для получения приближенного решения, так как отклонение от линейной зависимости невелико. Качест­

венные особенности явления зависят в основном от члена с Q, поэтому получаемые выводы сохраняют качественную силу и для исходного уравнения. В то же время упрощение существенно облегчает рассмотрение и делает его физически более нагляд­ ным.

Таким образом получено дифференциальное уравнение дви­ жения, описывающее отклонение секундного расхода через вен­ тилятор от его значения при равновесном режиме. Из этого уравнения непосредственно следуют условия самовозбуждения колебания, а также условия статической устойчивости.

24

Прежде всего устанавливаем, что равновесный режим будет статически устойчив, если выполняется условие

Геометрический смысл условия (1.17) заключается в том, что угол наклона касательной к характеристике сети должен быть больше угла наклона касательной к характеристике вентилятора в точке равновесного режима (см. точки Л и С на рис. 4). При выполнении условия (1.17) на фазовой плоскости равновесному режиму будет соответствовать особая точка типа фокуса, узла или центра. Если же в условии (1.17) знак неравенства будет обратным, то особая точка будет седлом (этот случай соответ­ ствует точке В на рис. 4).

1.3. УСЛОВИЕ САМОВОЗБУЖДЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ И ИХ ЧАСТОТЫ

Пусть условие (1.17) выполняется. Если при этом выполняет­ ся также условие

dF(QK) _La_

(1.18)

<kCa ’

то в системе всегда будут самовозбуждаться колебания, и она, таким образом, будет динамически неустойчивой.

Действительно, выражение (1.16) — линеаризованное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Пусть система, определяе­ мая этим уравнением статически устойчива, т. е. выполнено условие (1.17). Тогда поведение системы в процессе колебания будет определяться членом, зависящим от скорости.

Если коэффициент при скорости положителен, то это соответ­ ствует случаю положительного трения, при котором происходит рассеяние энергии и затухание колебаний. Тогда система обла­ дает динамической устойчивостью. Если же этот коэффициент отрицателен, то имеем случай так называемого отрицательного трения, при котором происходит накопление энергии и нараста­ ние амплитуды колебаний. Тогда система динамически неустой­ чива, хотя и обладает статической устойчивостью *. На фазовой плоскости состоянию равновесия будет соответствовать особая точка типа неустойчивого фокуса или узла.

Условие (1.18) определяет такой режим работы, при котором в системе устанавливаются колебания при сколь угодно малом возмущении, т. е. при сколь угодно малом отклонении от равно­ весного состояния. Это будет так называемый мягкий режим.

Однако невыполнение условия (1.18) отнюдь не означает не­ возможности автоколебаний в системе. В этом случае могут по­

уже при жестком режиме возбуждения *, т. е. при таком, когда состояние равновесия устойчиво и требуется достаточно сильный начальный толчок, чтобы начались колебания (при этом имеют­ ся два предельных цикла на фазовой плоскости — внутренний неустойчивый и внешний устойчивый).

Рассмотрим условие самовозбуждения (1.18) в явном виде. Будем считать, что всасывающий и напорный трубопроводы ци­ линдрические, их длину и площадь поперечного сечения обозна­ чим соответственно через /|Si; I2S2, кроме того, полагаем ро = рк.

Имея в виду, что столб воздуха во всасывающем трубопрово­ де играет роль только инерционного элемента, можем написать

Г _ Ро^| *-al — Si

Напорный трубопровод частично играет роль инерционного звена, а частично — емкостного. Если объем I2S2 напорного тру­ бопровода пренебрежимо мал сравнительно с сосредоточенным объемом V, то

ia2 = 0; Са= — .

рс2

В случае большого сечения на выходе, малом k и отсутствии сосредоточенного объема можно пренебречь влиянием инерци­ онности и считать

Подставляя в условие (1.18) выражения для La1 =-■ La и Са, получаем условие самовозбуждения в виде

Условие устойчивости будет иметь вид

* Условия, при которых получается жесткий режим возбуждения, приве­ дены в п. 1.8.

26

Если трубопровод нельзя полагать очень коротким, эти усло­ вия можно выразить более точно, если учесть также и инерцион­ ную роль напорного трубопровода.

Как известно, в случае применения цилиндрической трубы можно приближенно отнести половину длины трубы к инерцион­ ному элементу с акустической массой La2, а половину — к емко­ стному с акустической гибкостью Са.

Влияние сосредоточенного объема У сказывается в том, что при возрастании его величины по сравнению с, объемом /2S2 на­ гнетательного трубопровода роль последнего при подсчете Са убывает, а при подсчете La2 возрастает.

Можно приближенно принять приведенное значение объема Упр при определении Са в виде

0 , b l 2S 2

Упр = У + V/l2s2 + I ’

а приведенное значение длины L2np при определении La2 в виде

0,5 +

l 2S 2

так как в случае малонапорного вентилятора n(.QK) ~ 1. Подставляя найденные значения La и Са в выражение (1.18),

получаем условие самовозбуждения в виде

27