Файл: Казакевич, В. В. Автоколебания (помпаж) в компрессорах.pdf

Умножая выражение (ПШ.4) на sin(^ + v), а уравнение

Вводя новую переменную и — ki + у, находим

Считая теперь величину p достаточно малой, усредняем пра­ вые части выражений (ПШ.7) и (ПШ.8) за одно колебание в предположении а = const и получаем

2п

Возводим обе части этого выражения в квадрат:

Так как p мало, квадратом его можно пренебречь, и вместо последнего уравнения получаем

2п

с92(а) = А2 + - ^ - Г /(acosu, — afcsinu)cosudu. (ПШ.12)

п а j

232

Последнее выражение можно переписать в виде

2л

а 2(а )= -----Г /,(acosu, — aks\nu)cosudu, (ПШ.13)

яа J

о

где

^(acosu, — ak sin и) = k2ucos и + \if(a cos и, — a&sinu).

Укажем теперь на те ограничения, которые накладываются при применении метода Ван дер Поля на вид уравнения (ПШ.1). Эти ограничения не сводятся только лишь к требованию мало­ сти |х. Рассмотрим выражение (ПШ.10) для средней частоты колебаний ш(а). Нетрудно заметить, что в окончательное выра­ жение для частоты (после интегрирования) не войдут члены, учи­

тывающие силы трения, если эти члены нечетны по х. Это отно­ сится, например, к дифференциальному уравнению затухающих колебаний

х + 2bx + k2x = О

ик уравнению Ван дер Поля

х— р (1 — х2)х + х = 0.

Если члены, зависящие от скорости, не нечетны по х, то они будут влиять на результат, но учет их влияния формулой (ПШ.10) будет обычно неправильным.

Отметим влияние упругих (консервативных) сил при опреде­ лении частоты. Правильным будет учет этих сил в пределах рас­ сматриваемого приближения лишь в том случае, если соответст­ вующие члены нечетны по х, т. е. если характеристики упругой силы симметричны относительно начала координат. Если же эти

неверным даже качественно.

Выражение (ПШ.10) дает описание процесса установления. Оно будет правильно учитывать скоростные члены, если послед­

ние нечетны по х. В противном случае их учет может быть не­ верным.

Рассматривая ограничения в сведениях, даваемых методом Ван дер Поля, необходимо отметить, что его применение для случая несимметричных систем никак не учитывает этой несим­ метричности при определении стационарной амплитуды, хотя по­ грешность может иметь порядок ц.

Отметим и другой недостаток при использовании одного из полученных выражений — накладывание ненужных ограничений при использовании формулы (ПШ.13), дающей квадрат часто­

233

ты. Из структуры и самого вывода выражения (П111.11) следу­ ет, что оно применимо лишь пока р достаточно мало. Если, на­ пример, при фиксированном значении р/г будет уменьшаться до нуля, второй член правой части, а вместе с ним и средняя час­ тота о)(а) будут неограниченно увеличиваться, между тем как в действительности это обстоятельство, как очевидно из физичес­ ких соображений, не может иметь места.

Так как выражения (ГИИ.12) и (ПШ.13) получены из урав­

ражения (ПШ.12) и (ПШ.13) применимы лишь в случае малых р. В действительности столь общий вывод является неверным. В случае, например, симметричных консервативных систем, т. е. при выполнении условия

f(x, X) = f(X )= — f(— X),

требование малости р при использовании формулы (ПШ.13) не является необходимым, а лишь достаточным. Рассматривая, на­ пример, крутильные колебания вала, описываемые уравнением

х + kx + h sgn х = О,

для квадрата частоты получаем выражение

Казалось бы, очевидным условием применимости этой форму-

ft

лы должна служить малость отношения — .измеряющая откло- aft

нение зависимости &x + /isgn;c от линейного закона*f(x) — kx.

< П 1 , , Л 5 )

В то же время, если k = 0, точное выражение для периода легко находится из закона равноускоренного движения

П . , . - 4 У Т | / i = 5 , 6 5 j / - V

234

Сравнивая последние выражения, замечаем, что ошибка в ве­ личине периода, даваемая приближенной формулой, оказывается меньше 2 %.

Это обстоятельство не является случайным. При использова­ нии выражения (ПШ.13) необходимым условием применимости формулы (П1П.10) является не формальное требование малости р, а, как будет показано дальше, условие того, чтобы действи­ тельное движение, определяемое дифферециальным уравнением, было близко к синусоидальному. В случаях малых р последнее условие, разумеется выполняется, однако оно может иметь место при любых р.

Можно привести ряд примеров, подтверждающих сказанное. Формула (П1П.13) представляет образец того, как ошибки, вносимые двумя последовательными допущениями, взаимно ком­

пенсируют одна другую.

2.ВЛИ ЯНИ Е С И Л Ы ТРЕНИЯ Н А Х А Р А К Т Е Р Д ВИ Ж Е Н И Я

Чтобы выяснить причины, обуславливающие ограничения в результатах, получаемых с помощью метода Ван дер Поля, рас­ смотрим ближе картину взаимодействия сил трения и сил упру­ гости в колебательных системах с одной степенью свободы. В уравнении

f(x, х) представляет собой некоторую силу, являющуюся, вообще говоря, функцией положения и скорости. Однако если заданы не­

которые начальные условия, например х = а, х = 0 при t = 0, то в силу уравнения (ПШ.16) х само является функцией положе­ ния и можно записать

f(x, x) = cp(x, а).

Действительно, предположим, что решение известно. Пусть оно имеет вид

Дифференцируя это выражение по времени, получаем

235

В дальнейшем всякий член в выражении (П1П.16), завися­ щий от х, будем называть силой трения, неконсервативной или скоростной силой.

Возьмем прямоугольную систему координат и на оси ординат

при t = 0. Выражение f(x, х) = ф(х, а) в дальнейшем будем на­ зывать также характеристикой силы. На рис. ПШ.1,а, б даны характеристики сил, действующих в линейной консервативной си­ стеме и в системе, описываемой уравнением

затуханием, меньшим критического; на рис. ПШ.2, б — при зату­ хании, большем критического. На рис. ПШ.2, в, г даны харак­ теристики силы, действующей в системе, описываемой уравнени­

при X < 1 и X> 1 .

Эти характеристики сил показывают, что трение может весьма сильно изменять картину действия сил в неконсервативных сис­ темах (по сравнению с консервативными), вызывая различный характер движения колеблющейся точки в различных четвертях колебания.

Рассмотрим рис. ПШ.2, а. В 1-й четверти (х > 0, х < 0) сила трения противоположна по знаку восстанавливающей силе, уменьшая последнюю. Больше того, после момента достижения достаточной скорости (величина которой уменьшается с увели­ чением степени демпфирования) сила трения оказывается столь значительной, что превосходит по абсолютному значению вели­ чину восстанавливающей силы. Начиная с этого момента, колеб­ лющаяся точка не только не увеличивает своей скорости, но и

236