Файл: Игнатов, В. А. Статистическая оптимизация качества функционирования электронных систем.pdf

Различают прямую и обратную задачи оптимизаций. В прямой задаче отыскивают такие оптимальные значе­ ния управляемых переменных, которые доставляют мак­ симум критерию качества при заданных экономических показателях. В обратной задаче отыскивают те значения переменных, которые обеспечивают минимум экономиче­ скому показателю при требуемых по техническим усло­ виям критериях качества. Например, при решении пря­ мой и обратной задач оптимизации периодичности про­ филактического обслуживания изделий в роли критерия качества часто выступает коэффициент технического использования, а в роли экономического показателя — удельные эксплуатационные расходы на обслуживание

[Л. 15].

Оптимизация технического обслуживания изделий включает задачи оптимизации как принципов организа­ ции, так и методов, форм проведения технического об­ служивания.

К таким задачам относятся задачи оптимизации ор­ ганизации технического обслуживания, проверки или контроля работоспособности изделия, поиска отказавших элементов, оптимизации периодичности и объема профи­ лактического обслуживания, комплексной оптимизации технического обслуживания и т. п.

Задачи оптимизации технического обслуживания являются актуальными по целому ряду причин: слож­ ность структур современных электронных систем, сниже­ ние их надежности, серьезные последствия отказов, зна­ чительные потери при вынужденных простоях систем из-за отказов, взаимосвязанное выполнение задания раз­ личными системами, наличие отказов при хранении й неиспользовании, удобство эксплуатации и т. п. Цель оптимизации технического обслуживания — выбор таких принципов, методов стратегий и форм технического об­ служивания, при которых максимальное качество функ­ ционирования обслуживаемых изделий обеспечивается при заданных эксплуатационных расходах. В обратной задаче отыскиваются условия обеспечения требуемого качества изделий при минимальных эксплуатационных расходах. Наиболее разработаны методы решения задач оптимизации контроля работоспособности, поиска неис­ правных и отказавших элементов, оптимизации профи­ лактического обслуживания (Л. 16—18]. Решение ряда основных задач оптимизации технического обслужива­

15

структурной оптимизации и задачи параметрической оп­ тимизации. При структурной оптимизации стоит задача выбора оптимальной структуры изделия и оптимальной системы его технического обслуживания. При парамет­ рической оптимизации для выбранной структуры изделия и системы его технического обслуживания отыскиваются оптимальные параметры. В гл. 6, посвященной оптимиза­ ции синтеза изделий по технико-экономическим критери­ ям качества, мы будем рассматривать только задачи вто­ рого типа, так как методы решения задач первого типа, объектом исследования которых являются такие интерес­ ные и важные для практики виды систем, как самонаст­ раивающиеся, адаптивные и т. п., только начинают раз­ виваться [Л. 13].

Задачам второго типа уделяется большое внимание, значительный успех достигнут в оптимизации параметров систем автоматического управления [Л. 21—23] и в опти­ мизации числа резервных элементов изделий с учетом различных видов ограничений [Л. 24]. При выборе опти­ мальных технико-экономических характеристик качества изделий необходимо учитывать и эксплуатационные рас­ ходы, так. как оптимально изготовляемые устройства мо­ гут оказаться далеко не оптимальными при их эксплуа­ тации. Поэтому в роли основного экономического показа­

вкоторых учитываются как годовые эксплуатационные расходы Е, так и капитальные вложения К, связанные с производством и внедрением одного изделия (е — норма эффективности капитальных вложений в той области на­ родного хозяйства, в которой будет применяться изделие;

вприборостроении и радиотехнической промышленности в=0,2 ч-0,3 год-1[Л. 12]).

Вгл. 6 рассматриваются задачи оптимального синте­ за, решаемые на последнем этапе, когда принцип дейст­ вия аппаратуры выбран, метод его технической реализа­ ции проанализирован, зависимости технико-экономичес­ ких характеристик качества проектируемого устройства от управляемых переменных определены. Принципиально

16

новой особенностью решения этих задач является то, что оптимизация производится не для статического режи­ м а— на момент выпуска устройств, а с учетом динамики прогнозируемого изменения качества.

В основе предлагаемого подхода к оптимальному син­ тезу лежит идея сингулярного представления технико­ экономических процессов с помощью элементарных, слу­ чайных величин, имеющих наглядный физический смысл: начальных значений и скорости прогнозируемого ухуд­ шения определяющих параметров изделий, продолжи­ тельности различных видов планируемого технического обслуживания, скорости изменения оптовой цены изде­ лий в зависимости от состояния производства и стабиль­ ности определяющих параметров и т. п. С использовани­ ем этих элементарных случайных величин, играющих роль управляемых переменных, и разработанных аппрок­ симаций реальных процессов находят аналитические вы­ ражения для целевых функций, функционалов и ограни­ чений. Методом неопределенных множителей Лагранжа определяют оптимальные моменты и плотности распре­ деления элементарных случайных величин. Формальная постановка задач, решаемых этим методом, рассмотрена в § ! гл. 6; особенности их решения обсуждаются в по­ следующих параграфах этой главы.

1- 5. Особенности предлагаемого подхода к статистической оптимизации качества систем

Предлагаемый подход к статистической оптимизации качества систем имеет следующие принципиальные осо­ бенности.

При анализе качества систем исследованию подвер­ гается структура взаимосвязанных случайных процессов ухудшения качества, технического обслуживания, изме­ нения режимов функционирования и др. Поэтому резуль­ таты анализа открывают определенные возможности по оптимальному управлению этими процессами. По сути дела, статистическая динамика указанных выше случай­ ных процессов изучается с учетом всех основных реально существующих взаимосвязей.

Разрабатываются математические модели анализа, синтеза и оптимизации качества электронных систем, ко­ торые носят достаточно общин характер, поэтому они применимы для оптимизации качества и других видов

технических изделий. Все построения этих моделей, что очень важно, проводятся с учетом возможности получе­ ния исходной информации, необходимой для достоверной статистической оценки параметров моделей.

Большинство методов, излагаемых в книге, доводит­ ся до уровня, обеспечивающего их успешное применение в инженерной практике: строится большое число номо­ грамм и графиков, даются иллюстративные числовые примеры, оцениваются погрешности применяемых ап­ проксимаций, указываются особенности вычислительных процедур и т. п.

Г л а в а в то р а я

АНАЛИЗ КАЧЕСТВА ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ, ФУНКЦИОНИРУЮЩИХ В СЛУЧАЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМАХ

2-1. Постановка задач

В этой главе рассматриваются математические модели ухудшения качества и технического обслуживания изде­ лий, функционирующих в случайных стационарных ре­ жимах. Для построения моделей используется марков­ ская аппроксимация, в которой применяется квантование уровня случайных функций, определяющих работоспо­ собность изделий (Л. 2, 15].

Предполагается, что интенсивности марковских моде­ лей определены вероятностными или статистическими ме­ тодами, по этим интенсивностям требуется отыскать ха­ рактеристики процессов ухудшения качества и техниче­ ского обслуживания изделий: вероятность безотказной работы, плотность этой вероятности, математическое ожидание и дисперсию времени безотказной работы, ма­ тематическое ожидание, дисперсию и, где необходимо, закон распределения определяющего параметра, вероят­ ность завершения технического обслуживания, плотность этой вероятности, математическое ожидание и дисперсию времени технического обслуживания, коэффициенты го­ товности, простоя на ремонте, простоя на профилактиче­ ском обслуживании, надежности, вероятности исправной работы, выполнения задания и др.

18

Рассмотрим элемент (или необслуживаемое устройст­ во), работоспособность которого можно характеризовать одним определяющим параметром X. С помощью кван­ тования по уровню случайной функции X(t) аппрок­ симируем реальный процесс ухудшения качества марков­ ским дискретным процессом [Л. 2, 15, 29]. Его динамику изучим с помощью дифференциальных уравнений А. Н. Колмогорова [Л. 30], известными величинами в ко­ торых являются интенсивности ухудшения параметра и интенсивности внезапных отказов [Л. 15]. Решение этих уравнений используем при выводе аналитических соот­ ношений для характеристик качества функционирования элемента: вероятности безотаказной работы, плотности этой вероятности, математического ожидания и диспер­ сии времени безотказной работы, закона распределения определяющего параметра элемента и др.

Обозначим через S, такое состояние элемента, когда случайное значение параметра X находится в г-м интер­ вале квантования Ах,, і—0, п; S^eS. Интервалы выбе­

рем так, чтобы So, Sn-і были состояниями исправной ра­ боты, a S n — состоянием отказа, вероятность пребывания элемента в S r м состоянии обозначим через Pj(t).

При постепенном отказе элемента изображающая марковская система последовательно проходит через всю цепь работоспособных состояний, при внезапном отказе элемента она может из любого работоспособного состоя­ ния за один переход попадать в состояние отказа, поэто­

характера реального процесса появления отказов может наблюдаться три случая: а< различны, а,- равны и неко­ торые щ равны. Методы решения системы (2-1) во всех этих случаях подобны, поэтому мы изучим подробно только первый случай.

В начальный момент времени і» = 0 элемент может находиться в S r м работоспособном состоянии с вероят*

20

ностью Pi, поэтому при решении системы (2-1) целесо­ образно использовать начальные условия

Применяя преобразование Лапласа к системе (2-1) при начальных условиях (2-2), получим изображение

k = \

где

п

я'Ы = П ( а* - а*')-

іфк

Используя (2-4), получим:

_______-2 ■•• VqPq___________ 1 Ч/

(2 -5 )