Файл: Игнатов, В. А. Статистическая оптимизация качества функционирования электронных систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 118
Скачиваний: 0
Сумму j+ 1 постоянных коэффициентов при (s + cxj)“1 обозначим через Кц, тогда формула (2-5) примет про стой вид:
і |
_ _ _ _ _ |
р г (s ) = S Кгз (s -f- a j ) - 1 , г = |
0, « — 1. |
/ = о |
|
Применяя обратное преобразование Лапласа, полу чим:
А ( 0 = Е * « в V , i = 0, п — \ . |
(2-6) |
1=о
Найдем основные характеристики качества функцио нирования элемента. Вероятность безотказной работы Р(і) определим как суммарную вероятность пребывания элемента в работоспособном состоянии
P(t) = Z P t (t).
і=О
Группируя в (2-6) слагаемые, имеющие сомножители
—a,.t
е, получим:
P{t) = Y-Dine ~ ^ , |
(2-7) |
|
і=О |
|
|
где |
i—k |
|
Dln = + S |
||
І Ы - I |
||
k—i /=.1 |
||
ІФп—1 |
(2- 8) |
|
|
•Зная вероятность безотказной работы, нетрудно оп ределить остальные характеристики надежности. Плот ность вероятности
f V) = d^ J r = У] Ч D i n ^ " , |
(2-9) |
|||
|
|
і= 0 |
|
|
интенсивность отказов элемента |
|
|
||
п—1 |
—ссЛ |
/п—1 |
—аЛ |
( 2- 10) |
А (0 = £ «гАп е |
|
S |
&ІП £ |
|
і = 0 |
|
і=0 |
|
|
22
среднее время безотказной работы |
|
|
СО |
п—\ |
(2-11) |
1\ = - \ р (0 dt = И °іп <*г‘ , |
||
0 |
і-0 |
|
дисперсия времени |
|
|
а<— 2 s ' Din аі~2 — Т\ , |
(2-12) |
|
вариация времени |
|
|
V t = T ~ l | / |
2 Z D in a - 2 - T l . |
(2-13) |
|
1=0 |
|
Система дифференциальных уравнений (2-1) описы |
||
вает динамику взаимосвязанного появления |
внезапных |
|
и постепенных отказов, поэтому обобщенное показатель ное распределение (ОПР) (2-9) является одним из наи более общих распределений времени безотказной рабо
ты. Если постепенные отказы отсутствуют (т]* = 0, |
п = |
= 1), из выражения (2-9) следует экспоненциальное |
рас |
пределение с параметром Я«; если внезапные отказы от сутствуют (Лі = 0), из выражения (2-9) следует распре деление класса гамма-распределений (при большом п оно сходится к нормальному). Если внезапные и посте пенные отказы независимы, распределение (2-9) явля ется композицией экспоненциального и гамма-распреде лений [Л. 33].
Обобщенное показательное распределение — это рас пределение длительности любого сложного случайного процесса, который в начальный момент времени с веро ятностью Р{ находится в і-й стадии и в своем развитии может проходить через одну, через две или через п ста дий, продолжительности которых экспоненциально рас пределены. Поэтому область применения ОПР достаточно широка. Например, это распределение удобно использо вать и для описания длительности различных процессов технического обслуживания (см. §2-3).
Кратко проанализируем характеристики ОПР. Вначале
рассмотрим |
вид |
плотности |
вероятностей. При |
t = 0, |
п—1 |
|
|
ростом t изменение |
f (t) |
/ (0 )= ^ М |
’г+ |
'Чп-іЛі-і* С |
||
i=о |
|
|
|
|
23
различно, в зависимости от соотношения параметров щ
и Рі. Если отношения Р іЛг 1 и аосіі-1, і—1, п—1 невели ки, то f(t) имеет максимум, координата которого умень шается с увеличением этих отношений (наибольшее зна
чение имеет рост отношения Рп-і/Р0) . При |
некоторых |
|
вполне определенных соотношениях Р { Р и о^аГ1, |
tm = |
|
= 0, т. е. при ^>0, f(t) не имеет максимума. |
При |
і> Т 0 |
поведение f(t) определяется тем слагаемым, |
у которого |
|
коэффициент си в показателе экспоненциальной функции наименьший, следовательно, при t>T0 изменение f(t) близко к изменению экспоненциальной функции.
В начальный момент времени интенсивность отказов
|
П—1 |
л ( 0 ) = /( 0 |
+ |
Л(0) равно нулю, если, например, Яг- = 0 и Рп_1= 0, что соответствует поведению интенсивности отказов гаммараопределения. С ростом t функция Л(^) может возра
стать, |
если [Л (0Х мин (а0, ап_,), |
убывать, если А(0),> |
||
> мин (а0, a„_j), или оставаться |
неизменной и равной |
|||
мин (а0, а„_,), если Л(0) = мин (а0, ап_1), |
так |
как при |
||
t —>oо, |
A(f) —>мин(а0, а„_,). Следовательно, |
выбирая |
||
|
а |
P t и |
а% распределе |
|
определенным образом параметры |
||||
ния, его можно применять для описания появления от казов элементов и необслуживаемых устройств в раз личные периоды эксплуатации: при приработке, при нор мальной работе, при износе и старении. Следует отме
тить, что с ростом отношений сц и вариация
времени безотказной работы растет.
Пример 2-1. Для иллюстрации свойств ОПР рас смотрим графики его характеристик при п = 2. Если сіон^ссі, то
И
fl (і)
24
Если ао=аі=сс, то, решая систему (2-2), получим:
Ш |
= \* - Р М < Ч — 1)] е—'. |
|
|
Из последнего уравнения |
следует, что |
если т|—»О, |
|
/а (0 — Яе-51', если |
Я ^О , то |
f2 (0 — 4 {Рх+ |
Р ^ ) ^ * - . |
Отсюда следует, что при сингулярном начальном рас пределении вероятностей Р0=1, Р і= 0 , f(t) стремится к гамма-распределению. При любых других начальных распределениях вероятностей величина f(0) не равна нулю.
На рис. 2-1 показаны графики Р,(Я0Г) (-0> /, (Ѵ)Ѵ*
(2), Л ,(Ѵ )Ѵ ' (5) ПРИ Я0= Ю - 3-4-1, Ѵ " ' =10, Я.Я-1= 2,
1)1V ^10, =
Л = 0; при Я0* = 0, jfj (0) Я“ 1— Aj (0) Я“ 1= |
1 ; |
при |
|
t —>оо, Л (/) Я~’ —<• мин (о^Я“ 1, а;Я~' ) = |
11. |
Перейдем к отысканию закона распределения опре деляющего параметра X элемента или необслуживаемо го устройства. Как правило, одномерный закон распре деления X(t) близок к нормальному. Поэтому исполь зуем ряд Грама — Шарлье для разложения искомой плотности вероятностей со[х(/)] в ряд по полиномам Эрмита.
Введем нормированный случайный процесс
2 (0 = [^ (0 - 'И і(0 Н о і(0 ] - 1. |
(2-14) |
который в любой момент времени имеет нулевое мате матическое ожидание и единичную дисперсию, если про цесс X(t) не подвергался квантованию. В выражении
(2-14)
тх00 = S х *і Рі (t), а, (0 =/ |
Pi(t) ■ щ (0 |
1=9 |
i=Q |
|
( 2- 15) |
|
|
|
где |
х * і ~ і - е квантован |
|||||
|
|
|
ное |
значение |
параметра; |
||||
|
|
|
Хі — г-й |
уровень |
кванто |
||||
|
|
|
вания; |
ДіХі — величина |
|||||
|
|
|
г'-го |
кванта; |
уі — пара |
||||
|
|
|
метр, определяющий вы |
||||||
|
|
|
бор Х*і. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как в исследова |
||||||
|
|
|
ниях |
качества |
природа |
||||
|
|
|
квантуемого |
|
процесса, |
||||
|
|
|
как |
правило, |
|
априорно |
|||
|
|
|
неизвестна, возникает не |
||||||
|
|
|
определенность и в выбо |
||||||
|
|
|
ре квантованных |
значе |
|||||
|
|
|
ний, |
что в |
свою |
очередь |
|||
|
|
|
вызывает |
неопределен |
|||||
Рис. 2-1. |
Графики |
зависимостей |
ность в |
оценке вероятно |
|||||
Л (Л, |
лл- |
1 (<?) отЛ„*. |
стных характеристик из |
||||||
|
|
|
менений |
определяющих |
|||||
|
|
|
параметров. |
Чтобы |
этого |
||||
избежать, |
можно |
находить |
оптимальные |
значения у* с |
|||||
точки зрения соответствия получаемых с помощью кванто вания числовых характеристик процесса выборочным средним характеристикам. Например, применяя метод наименьших квадратов, оптимальные значения у* можно
определить |
из системы уравнений |
|
|
||
|
|
|
- 1, |
(2- 16) |
|
где |
|
|
|
|
|
U = |
Л- (5) |
I •'lt-i |
^ioЛ |
||
аіаг -1 • *♦ао |
|||||
|
1 = 0 |
S—Q |
|||
|
|
|
|||
Довольно часто для упрощения вычислений можно полагать, что Уг= Уз==у, тогда для нахождения у0Пт не обходимо решить только одно уравнение типа (2-16) и Х*і опт = Хі+ у о п т Л -Ч (уопт может быть отрицательной, по ложительной и равной нулю). Более подробно вопросы оптимизации квантования рассмотрены в § 2-7,
26