Файл: Игнатов, В. А. Статистическая оптимизация качества функционирования электронных систем.pdf

Ряд Грама—Шарлье для плотности вероятностей

Z(t) имеет вид [Л. 34]:

.о, [г(*)]=Ф<»>(г) - 4 ф(4) (г) +4ф<6)и-•••>

где А — коэффициент асимметрии; Е — коэффициент экс­ цесса распределения тоц функция Лапласа

2

2 du, ф т { г ) = * Ш .

О

Аппроксимация интегральной функции распределе­ ния нормированного процесса

Из-за погрешностей квантования процесса Х(і) мате­ матическое ожидание процесса z(t) отличается от нуля, а его дисперсия не является единичной, поэтому с уче­ том квантования

где

(2-19)

(2- 20)

3 2 ( 0 =

Так как значения Ф ^г) табулированы [Л. 2І, 35], тб определение закона '<й [х(/)] сводится к определению ко­ эффициентов ряда (2-17) по формулам (2-18) — (2-21), известными величинами в которых являются оптималь­ ные квантованные значения х*гопт и вероятности Pi(t).

Рассмотрим марковскую модель перемежающихся отказов устройств. В этом случае процесс Х(1) является стационарным [Л. 22, 26] и нас могут интересовать сле­ дующие характеристики: вероятность нормального функ­ ционирования до первого отказа, плотность этой вероят­ ности, закон распределения определяющего параметра, коэффициент готовности устройства, закон распределе­ ния времени пребывания в неработоспособном состоя­ нии (длительность сбоя), математическое ожидание и корреляционная функция определяющего параметра.

Предположим, что интервал [х0, Хі] изменений опре­ деляющего параметра X известен. Выберем промежуточ­

ния Хо, Хі, х2 с положительными и отрицательными про­ изводными соответственно через Ѳо и г)о, Ѳі и т)і, Ѳг и r\z-

Вероятности событий x0<X(t), Xi<X(t)<Xo, x2< X (t)< < x i, X(>t)<x2 обозначим черезPo(t), Pi(;t), Pz(t) и Pz\t)-

Следовательно, вероятности Pi(t) и P2(t) характеризу­ ют вероятность пребывания устройства в момент време­

p \{t) = %PAt) — ^ P 3{t)-

Решая эту систему, можно определить все вышепере­ численные характеристики качества устройства, при функционировании которого имеют место перемежаю­ щиеся отказы.

Используя изображения Р і ( s ) как производящие функции, можно простым способом найти среднюю дли­ тельность нормального функционирования

1 W A + Чо (Чі + Ѳо)(Ч2 + Ѳі) — '']оМД2+Ѳ1) - тЧоЧА

28

to среднюю продолжительность сбоя

. 6г Г7!g ("'ll —Ар) Ч~ воДг^Т — 9оѲіР2 — ѲоРі (Дг + 9і)1 ~Ь

где Рі и Р2— вероятности пребывания устройства в-со­ стояниях Si и S2 при t — 0. Такие характеристики особен­ но важны, например, для самолетных вычислительных устройств, используемых в навигационных системах.

Найдем характеристики качества устройства в со­ стоянии статистического равновесия: коэффициенты го­ товности Кѵ и простоя /Сп, закон распределения опреде­ ляющего параметра и корреляционную функцию процес­ са.

Решая систему (2-22) при условии Р'і (і)=0 и ис­ пользуя условие нормировки для предельных вероятно­ стей, получим:

где

z = ѲоѲіѲ2+ тіоѲіѲг-ртіогрѲг+ Г|оГ]іТ]2.

Коэффициент готовности устройства

димо найти оптимальные квантованные значения х*,-, і —

= 0,3. Выберем x*0=Xö+yÂXi, х*і = Хі-|-уАхі> х*2= х 2+

+уАх2, х*з— х2— уАх2, где Ахі— х0—хі, Ах2= хх—х2, и най­ дем оптимальное значение у из условия совпадения ма­ тематического ожидания тх и выборочного среднего т*х процесса (методом моментов), тогда

29

зависят от времени, например

угольных импульсов с детерминированной амплитудой А = хМакс—хтш. Длительности импульсов выберем, рав­ ными длительностям положительных выбросов X(>t) за уровень тх, а интервалы между импульсами выберем равными длительностям отрицательных выбросов за уро­ вень тх. Функцию Kx(t) найдем с помощью обратного преобразования Фурье от спектральной плотности А(ш) случайной последовательности прямоугольных импульсов с постоянной амплитудой (Л. 35]

тельностей положительного и отрицательного выбросов X(t) за уровень тх. Например,

Следовательно, для приближенной оценки качества при перемежающихся отказах устройств достаточно по

30

отрезку реализации процесса статистическим путем опре­ делить требуемые интенсивности пересечения, а затем с помощью полученных соотношений вычислить искомые характеристики.

Итак, в данном параграфе рассмотрены некоторые основные типы марковских моделей появления отказов элементов и необслуживаемых устройств, построенные с помощью квантования по уровню выходных случайных функций. Достоинство этих моделей в том, что они по­ зволяют связать изменение качества устройств с измене­ нием их параметров, учесть взаимосвязанное появление внезапных и постепенных отказов, оценить различные характеристики качества устройств при перемежающихся отказах. При построении моделей на вид случайных функций, характеризующих изменение параметров эле­ ментов и необслуживаемых устройств, не накладывается никаких ограничений. Они могут быть линейными, вы­ пуклыми вверх или вниз, иметь точки перегиба и т. п. С учетом точности исходных данных сложность структу­ ры моделей можно оптимизировать по требуемой точно­ сти расчетов характеристик качества.

Отличительная особенность рассмотренной марков­ ской аппроксимации заключается в том, что вероятност­ ные характеристики качества элементов и необслуживае­ мых устройств оценивают по минимуму статистики о времени пересечения случайными функциями фиксиро­ ванных уровней квантования. Вопросы получения и об­

Техническое обслуживание обычно изучают метода­ ми теории массового обслуживания и теории восстанов­ ления [Л. 3, 6]. Эти методы позволяют при некоторых упрощающих анализ предположениях определять веро­ ятностные характеристики длительности обслуживания: вероятность завершения технического обслуживания за фиксированное время, плотность этой вероятности, ма­ тематическое ожидание, дисперсию времени обслужива­ ния и др.

Наряду с этими характеристиками значительный ин­ терес представляют и те, которые получают с учетом

31